源于教材 挖掘應用
——三次方程根與系數的關系及應用探究

歐陽才學

(湖南省長沙市雅禮實驗中學)

高中階段,數學中經常出現一些與三次方程或三次函數有關的試題,求解“三次”問題的基本思路是“降次”,即通過配方、因式分解或換元等方法將“三次”降為“二次”,但解答過程往往比較繁瑣.而對于許多“三次”問題而言,運用三次方程根與系數的關系解答,可簡化計算.其實,三次方程根與系數的關系源于新教材的“閱讀與思考”欄目,重視挖掘它的應用顯得尤為必要.為此,本文首先給出一元三次方程根與系數的關系并予以證明,然后舉例說明在解題中的應用.

一、三次方程的根與系數的關系

普通高中教科書人教A版數學必修第二冊(2019年版)第82頁給出了一元三次方程根與系數的關系,即韋達定理:

一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0)的三個根分別為x1,x2,x3,則

【證明】因為x1,x2,x3是a3x3+a2x2+a1x+a0=0的三個根,

所以a3x3+a2x2+a1x+a0=a3(x-x1)(x-x2)(x-x3).

將右邊展開,得a3(x-x1)(x-x2)(x-x3)=a3[x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x3x1)x-x1x2x3]=a3x3-a3(x1+x2+x3)x2+a3(x1x2+x2x3+x3x1)x-a3x1x2x3,

所以a3x3+a2x2+a1x+a0=a3x3-a3(x1+x2+x3)x2+a3(x1x2+x2x3+x3x1)x-a3x1x2x3.

二、三次方程的根與系數關系的應用

應用1.求代數式的值

【例1】(2021全國高中數學聯賽福建預賽)若x1=1,x2=1-i,x3=1+i(i為虛數單位)為方程x3+ax2+bx+c=0的三個解,則a+b-c=________.

【解析】根據三次方程根與系數的關系,得

解得a=-3,b=4,c=-2,

所以a+b-c=-3+4-(-2)=3.

【例2】(2023北京大學測試)設復數a,b,c滿足a+b+c=a2+b2+c2=0,a3+b3+c3=3,則a2023+b2023+c2023的值為( )

A.0 B.3

C.2 023 D.其他三個選項均不對

【解析】因為(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,

所以結合已知得ab+bc+ca=0.

又因為a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),

所以結合已知得abc=1.

所以根據三次方程的韋達定理可知a,b,c是方程x3-1=0的三個根.

因為2 023除以3的余數為1,所以a2023+b2023+c2023=a+b+c=0,故選A.

應用2.求解方程問題

【例3】(2020全國高中數學聯賽浙江預賽)設r為方程x3-x+3=0的解,則以r2為其解的首項系數為1的整系數一元三次方程為________.

【解析】設x1,x2,x3是方程x3-x+3=0的根,則根據三次方程根與系數的關系,可得

由此可知,所求的一元三次方程為x3-2x2+x-9=0.

【例4】(2023北京大學測試)方程組x+y+z=4,x2+y2+z2=6,x3+y3+z3=10的解的個數為( )

A.0 B.3

C.6 D.其他三個選項均不對

【解析】因為(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx,所以結合已知得xy+yz+zx=5.

又因為x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx),所以結合已知得xyz=2,

又t3-4t2+5t-2=t3-1-4t2+4t+t-1=(t-1)(t2+t+1)-4t(t-1)+t-1=(t-1)(t2-3t+2)=(t-1)2(t-2),

所以x,y,z是1,1,2的一個排列,即原方程組的解有3組,故選B.

應用3.求方程根(函數零點)的范圍

【例5】(2020山東萊蕪一中月考)已知函數f(x)=x3+2的圖象與函數g(x)=kx的圖象有三個不同的交點(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),其中x1

A.k>3 B.x1<-2

C.x2+x3>2 D.x2x3>1

由f(x)=g(x),得x3-kx+2=0.

根據三次方程根與系數的關系,可得

因為x1<0

解得x1<-2,B正確;

x2+x3=-x1>2,C正確;

【解析】三次函數f(x)=x3+ax2+bx+c有三個零點x1,x2,x3,即一元三次方程x3+ax2+bx+c=0有三個根x1,x2,x3,

由三次方程根與系數的關系,得

因為f(-1)=f(1),

所以-1+a-b+c=1+a+b+c,

解得b=-1;

因為f(0)=f(2),所以c=8+4a+2b+c,

應用4.求系數的范圍

【例7】(浙江卷)已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,且0

A.(-∞,3] B.(3,6]

C.(6,9] D.(9,+∞]

【解析】令f(-1)=f(-2)=f(-3)=t,

則0

即方程x3+ax2+bx+c-t=0的三個根.

根據三次方程根與系數間關系得

c-t=-(-1)·(-2)·(-3)=6,

所以c=t+6.

由0

所以c的取值范圍是(6,9],

故選C.

【例8】(2023廣東深圳一調)已知函數f(x)=x(x-3)2,若f(a)=f(b)=f(c),其中a

A.1

C.a+b>2 D.abc的取值范圍是(0,4)

【解析】因為f(x)=x(x-3)2=x3-6x2+9x,

所以f′(x)=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1).

令f′(x)=0,即3(x-3)(x-1)=0,

解得x=1或x=3.

當f′(x)>0時,有x<1或x>3,

所以f(x)的單調遞增區間為(-∞,1)和(3,+∞);

當f′(x)<0時,有1

所以f(x)的單調遞減區間為(1,3).

又因為f(3)=0,f(1)=f(4)=4,

所以函數大致圖象如圖所示,

令f(a)=f(b)=f(c)=t,

因此0

又a,b,c是方程f(x)-t=0的三個根,

即x3-6x2+9x-t=0的三個根,

因為3

解得2

故選BCD.

應用5.求解最值問題

【例9】(2019北大綜合營試題)實數x,y,z滿足x+y+z=x2+y2+z2=2,求xyz的最大值和最小值.

得m′=3t2-4t+1=(3t-1)(t-1).

當t=0或t=1時,m=xyz取得最小值為0,

此時x=y=1,z=0,

無獨有偶,2016年清華大學自主招生暨領軍計劃第13題:已知實數x,y,z∈R,x+y+z=1,x2+y2+z2=1,則下列結論正確的有( )

A.xyz的最大值為0

【答案】ABD.該題與例9如出一轍,請讀者自行完成該題的解答.

應用6.求解綜合問題

【例10】(2023南京、鹽城一模)已知f(θ)=cos4θ+cos3θ,且θ1,θ2,θ3是f(θ)在(0,π)內的三個不同零點,則( )

B.θ1+θ2+θ3=π

【解析】由cos4θ+cos3θ=0,得cos4θ=-cos3θ,

所以在(0,π)內4θ+3θ=π或3π或5π,

因為cos4θ+cos3θ=2cos22θ-1+4cos3θ-3cosθ=2(2cos2θ-1)2-1+4cos3θ-3cosθ=8cos4θ+4cos3θ-8cos2θ-3cosθ+1=(cosθ+1)·(8cos3θ-4cos2θ-4cosθ+1),

故選ACD.

【例11】(2023北京大學測試)設三角形ABC的三個頂點為復平面上的三點z1,z2,z3,滿足z1z2z3=0,z1+z2+z3=8+2i,z1z2+z2z3+z3z1=15+10i,則三角形ABC內心的復數坐標z的虛部所在區間為( )

A.(0.5,1)

B.其他三個答案都不對

C.(1,2)

D.(0,0.5)

【解析】根據三次方程根與系數的關系可知,z1,z2,z3為x3-(8+2i)x2+(15+10i)x=0的三個根,首先必定有一個為0,不妨設z1=0,則z2,z3為x2-(8+2i)x+15+10i=0的兩個根,分解因式得(x-5)(x-3-2i)=0,所以z2=5,z3=3+2i,所以三角形ABC的三個頂點為A(0,0),B(3,2),C(5,0).

由于r就是I點縱坐標,也就是z的虛部,故選A.

【例12】(2013全國高中數學聯賽四川預賽)若實數x0滿足f(x0)=x0,則稱x=x0為f(x)的不動點.

已知函數f(x)=x3+ax2+bx+3,其中a,b為常數.

(Ⅰ)若a=0,求函數f(x)的單調遞增區間;

(Ⅱ)若a=0時,存在一個實數x=x0,使得x=x0既是f(x)的不動點,又是f(x)的極值點,求實數b的值;

(Ⅲ)求證:不存在實數組(a,b),使得f(x)對互異的兩個極值點皆為不動點.

【解析】(Ⅰ)若a=0,則f(x)=x3+bx+3,

所以f′(x)=3x2+b.

當b≥0時,顯然f(x)在R上單調遞增;

故當b≥0時,f(x)的單調遞增區間為(-∞,+∞);

(Ⅲ)證明:假設存在一組實數(a,b)滿足條件,由條件知f′(x)=3x2+2ax+b.

因為f(x)有兩個不同極值點,則Δ=4a2-12b>0,即a2>3b.①

令g(x)=2x3+9x-162,

則g′(x)=6x2+9>0,

所以g(x)在R上單調遞增,從而g(x)=0至多有一個實根.

又因為g(0)=-162<0,g(4)=2>0,從而g(x)=0至少有一個實根.

所以g(x)=0恰有一個實根x=a∈(0,4).

故不存在實數組(a,b),使得f(x)對互異的兩個極值點皆為不動點.

三、教學啟示

隨著高考命題改革的不斷深化,教材已成為高考數學命題一個重要的生長點.因此,在一輪復習教學中,要摒棄將教材“束之高閣”的舍本逐末、本末倒置的做法,引導學生重視對教材內容、題目乃至“閱讀與思考”等方面的復習和挖掘,使得“回歸教材”成為復習備考的一種常態.在數學一輪復習備考中,注重回歸教材的教學是至關重要的,回歸教材、細品教材,更能讓學生體會到“書中自有黃金屋”的妙處.高考命題離不開教材,教材是高考命題的依托.教材決定了試題的穩定,也決定了試題的創新.“從教材中尋求支撐”成為高考數學命題的“潛規則”.要多回到教材,對教材內容、典型例、習題多做挖掘的工作.回歸教材,不僅是備考者應對命題者的策略,也是備考者提升應考能力水平的手段.

1.數學高考,首先需要的是閱讀能力,要能讀懂問題的背景、讀出隱含在文字表述中的信息等,都需要閱讀能力.而閱讀能力只有通過閱讀來培養,其中教材是培養閱讀能力的基本素材,我們不能想象,一個沒有教材閱讀經歷的人,能夠讀懂考卷中的嶄新材料.

2.每次專題訓練,不少學生的失分是由于概念混淆、定義不清造成的,回歸教材吃透其中的概念、定義、公式、例題,并將相關知識點進行橫向、縱向比較、歸納,就不會出現冤枉失分.也就是說,回歸教材實際上落實基礎,盡力為自己攬分,減少無謂的失分.

3.回歸教材,讓學生自主梳理知識,可以使學生的知識結構網絡化、系統化,這樣做到具體題目時,會有一種“一覽眾山小”的感覺,不至于“一葉障目,不見泰山”,縮手縮腳,打不開思路.

4.解決數學問題,常用到一些“小結論”.除課本命名的性質、定理或公式外,這些“二級結論”散見于教材的例、習題或“閱讀與思考”欄目中.通過回歸教材,熟悉和掌握這些“二級結論”,對于解答選擇、填空題可以節省時間,增加準確性.在處理解答題時,它也是探尋解題思路、進行合理推理的依據.

5.許多基本的解題思想、方法就存在課本結論、公式的推導過程中,通過回歸教材,能讓學生更深刻地理解、掌握和靈活運用.

6.規范作答,是重要的高考增分點.哪些定理不能直接套用、哪些過程不能省略、哪些表述不能隨意、哪些符號不能承認,這些都只能依據教材,需要靠教材做示范.

7.回歸教材,可以幫助學生查缺補漏.通過回歸教材,彌補沒有掌握好的概念、知識和方法技巧.

通過回歸教材,可以消除學生在復習備考的過程中由于自信心程度不夠而造成的空洞感、恐懼感或浮躁情緒.應在系統的高度重新審視教材,站在數學整體的高度與教材對話,讓不同領域的知識交匯.

課題A—179《新教材改革下數學應用題的教學研究》的成果材料.