初中數學問題鏈的設計與實踐

劉艷杰 上海市松江二中（集團）初級中學

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》中指出，課程目標以學生發展為本，以核心素養為導向，進一步強調學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗（簡稱“四基”），發展運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），形成正確的情感、態度和價值觀。如何在課堂教學中有效落實“四基”，獲得“四能”，形成數學核心素養，成為優化課堂教學的著手點。教師借助問題鏈為學生的思考指明方向，通過數學問題鏈的設計與實踐，將課程標準實施自然地嵌入教學過程中。深化學生對所學內容的理解。通過對問題鏈的解決，讓學生學會數學基本思想方法，發展數學關鍵能力，為數學核心素養的培養提供行之有效的途徑。

一、概述

數學家哈爾莫斯說過：“問題是數學的心臟，是學生進行數學思維活動的源泉和動力。”但是，并不是課堂上有了數學問題和用了常見的“師生一問一答”教學行為就能稱為問題鏈教學。數學問題鏈教學指在教學活動中，教師在課程標準和教學目標引導下，把一節課的一個或幾個知識、技能等構建成問題系列，把數學知識的形成、鞏固和鍛煉學生的數學思維鏈接在一起，從而激活學生的數學思維，優化課堂結構，提高課堂效率。

二、數學問題鏈設計的意義

1.促進學生思維發展。數學是思維的體操，思維是數學的靈魂。問題鏈教學用問題引發思考，用鏈把問題引向深入，能幫助學生打開思維的閘門，逐步形成良好的思維品質。

2.建構知識間的聯系。“問題鏈”并不是幾個問題的簡單羅列，而是將教材知識轉化為層次分明、相互關聯的一系列精心設計的問題，能讓學生從中發現知識的形成和發展脈絡，構建知識間的聯系。

3.增強學生參與探究意識。學生是學習的主體，教學過程中始終堅持以生為本，充分發揮學生學習意識的能動作用。以問題為導向，學生不再被動學習，而是主動參與，積極探索，極大地調動了學習的積極性。

三、數學問題鏈設計的原則

精心設計教學中的每一個問題，串“問”成“鏈”，才能提高課堂效率。設計有價值的問題鏈要遵循一定的原則。

（一）基于教材原則

要圍繞教學目標，針對教學內容的重難點、關鍵點和中心點進行設計。設計的問題要有邏輯性和遞進性。問題之間需要環環相扣，以舊引新，從學生原有的認知水平中逐漸引出新的問題，在新問題之間建立聯系，促進認知結構的逐漸完善。還要先易后難、層層深入，引導學生深入思考，建構出新的認知結構。

（二）面向學生原則

問題要有一定的挑戰性，符合學生的最近發展區；注重學生深層學習；注重學生思維品質的培養；注重學生核心素養的培養。

（三）應用性原則

問題鏈的設計要具有應用性。我們在課堂上所教、所學的東西都是非常有限的。因此，設計的問題鏈要讓學生能夠舉一反三，引導學生進行拓展遷移，將所學知識和技能應用到其他領域和其他學科當中。

四、數學問題鏈設計的實施策略

（一）指向核心目標，有尺度

教學目標是教學活動的出發點和歸宿，是課堂教學的靈魂。一切教學活動都應圍繞教學目標來進行。因此，問題鏈的設計不能盲目隨意，而是要緊緊圍繞教學目標，以核心教學目標為衡量尺度。

案例1：在講授因式分解法解一元二次方程x2-3x=0 時，圍繞著“降次”解一元二次方程這一核心目標，設計了如下問題鏈：

問題1：解一元二次方程的指導思想是什么？我們學過的方法是什么？

問題2：應用學過的開平方方法可以解這個方程嗎？（讓學生產生認知沖突，激發求知欲。）

問題3：觀察此方程的特點，怎樣進行降次呢？

問題4：能否把方程左邊分解成兩個一次因式的積？

問題5：這兩個因式的積是零，這兩個因式都一定是零嗎？

問題6：像這樣解一元二次方程的方法叫因式分解法。

和學生一起提煉總結出因式分解法解一元二次方程的方法，然后再讓學生通過幾道題目進行鞏固訓練，這樣就順利完成了這節課的核心教學內容?？梢?，圍繞核心目標設計問題鏈，學生有了“問題”，教師有了“尺度”，教學效率大大提高。

（二）契合認知水平，現梯度

問題鏈的設計要切合學生的實際，要從學生已有的知識與能力出發，爭取“跳一跳能摘到桃子”。遵循科學的認知規律，按照層層深入、梯度推進的思想設計，體現數學學科的特點，使學生進行真正意義上的數學學習。

案例2：第七章“線段與角的畫法”是初中階段幾何學習的起始內容，本章學習的是平面幾何中最基本的圖形——線段和角的有關概念、大小比較、計算、畫圖等知識和技能。小學階段，學生對于這些知識的獲得是直觀的、形象的和感性的，所以學生還處于對幾何知識的直觀體驗階段。而初中階段，對于幾何課程的學習更加注重發展學生的空間觀念，訓練學生的抽象思維和邏輯關系，以及更有條理的表達能力。

其中，“7.1線段大小的比較”這節課的核心任務是：讓學生從直觀體驗階段過渡到操作幾何階段，提升由感性到理性的認知水平，為今后的推理幾何打下基礎。在這節課的教學中進行了這樣的問題鏈設計：

1.基于舊知設計“問題鏈”

復習環節的“問題鏈”設計為：

如圖，問題1：哪個是線段？

問題2：你判斷的依據是什么？

問題3：其他的圖形是什么？

問題4：直線、射線和線段之間的區別與聯系？

通過辨析線段、射線和直線，重構三線的區別和聯系，引出線段的兩種表示方法，并為接下來研究線段做好知識鋪墊。

2.基于學生的認知規律設計“問題鏈”

（1）活動一環節的“問題鏈”設計為：

問題1：老師和某某同學（選取身高差明顯的同學）比身高，誰高？

問題2：老師和某某同學（身高差不明顯的同學）比身高，誰高？

問題3：能用哪些方法來比較？

問題4：（教師站到臺階下）這樣是不是我變矮了？

問題5：比身高時要注意什么？

通過課前訪談發現，對于長短差異明顯的兩只鉛筆都選擇直接觀察；對于長短差異不明顯的放到一起比；當物體不能移動時，會想到借助尺或其他的工具?？梢娪^察法和度量法都是學生所熟知的。課上借助比身高，歸納出第三種方法——疊合法。從熟悉的實例出發引出新知，學生更易接受，同時也直觀地感受疊合法的關鍵是一端對齊。

（2）活動二環節的“問題鏈”設計為：

如圖5，問題1：請同學們利用身邊的工具，比一比這三條線段，哪條最長？哪條最短？

圖5

問題2：有沒有其他的方法來比較呢？小組間從可行性、便利性、準確性、獨創性這幾個角度進行相互評價。

從比身高引出線段長短的比較，將熟悉的實際問題轉化為數學問題（即線段大小的比較），然后借助身邊（除尺子外）的工具（圓規等）進行線段長短的比較，從猜想到實驗，從而理解疊合法比較線段的大小，并為接下來用尺規畫一條線段等于已知線段埋下伏筆。

3.基于生活常識設計“問題鏈”

如圖6，在公園景點甲、乙之間有三條路，小杰想盡快地從景點甲趕到景點乙，請你幫他判斷該選擇走哪條路，為什么？

圖6

問題1：走哪條路？

問題2：你可以得到什么結論？

學生在小學已經直觀獲得“兩點之間有很多連線，最短的那條是線段”，其實，這就是數學“公理”。此處，只要在具體情境中，直接喚醒學生原有經驗，并充分認識即可。本課未按照教材上的設計，而是通過實際生活中的情景，直觀引出了“兩點之間，線段最短”的公理。

（三）啟發自主探究，重參與度

自主學習能力是從平時學習中逐步培養的，不是一朝一夕就能做到的。教師在問題鏈設計時要重視學生自主學習的參與度和能力的培養。

案例3：在探究反比例函數圖像與性質這節課時，引導學生帶著問題思考：

問題1：正比例函數圖像是什么？有什么性質？

問題2：猜猜反比例函數的圖像會是什么？有什么性質？

問題3：怎樣畫函數圖像，具體步驟是什么？要注意什么？

（1）函數圖像分別位于哪幾個象限內？

（2）在每一個象限內，隨著x值的增大，y的值是怎樣變化的？能說明這是為什么嗎？

（3）反比例函數的圖像可能與x軸相交嗎？可能與y軸相交嗎？為什么？

通過設計此問題鏈把學習自主權交給學生。類比正比例函數，在已有知識基礎上利用問題層層引導學生自主探究，逐步抓住問題的本質，讓學生自主構建反比例函數的圖像與性質，能促進學生積極參與，幫助學生自主有效地構建數學知識。這樣具有探究性、層次性的問題，能激發學生的思考，使學生對數學學習產生興趣。

（四）提高推理能力，拓深度和廣度

思維永遠是從問題開始的。在數學課堂教學中，要精心設計開放性的問題鏈，用以鏈成串的問題為載體，激發學生的探究熱情，提高推理能力，拓展思維的深度和廣度，逐步培養學生的數學核心素養。

案例4：在初三二模復習中，對于一道綜合題的問題鏈設計如下：

在⊙O中，AB、AC是兩條弦，且AB=AC，D是AO延長線上的一點。

（1）求證：BD=CD；

（2）如果AB2=AO·AD，求證：四邊形ABDC是菱形；

（3）延長BO交AC邊于點E，求證△ABE∽△OAE；

（4）如果△COE是直角三角形，且圓O的半徑為1，求B、C兩點間的距離。

本題改編自2017年、2019年的兩道中考題，由于這兩道題都是以同圓中的兩條等弦為主要條件，因此作了整合，改編成4 個小題，由易到難，同時結合了四邊形、相似三角形的知識，最后一問還涉及分類討論的方法。通過這道題的設計，讓學生學會中考題中以圓為背景的綜合題的解題思路和分析策略，提高學生的思維品質。為了解決班級學生遇到綜合性題目就犯難、無從入手的困境，在解決這道題目時，設置了這樣的問題鏈：

問題1：證明線段相等的基本方法有哪些？

這一問完成度很高，基本都能做出來，但是90%的同學用的方法是聯結半徑，通過二次全等來證明，也有同學利用線段垂直平分線的逆定理來證明。其實這個題目通過聯結BC，用垂徑定理的推論證明更加簡潔。這一小問體現出，學生總是對三角形青睞有加，用起來也得心應手，對于圓的基本性質理解不夠透徹和深刻，而這一小問的本質其實就是圓的軸對稱性的具體體現。通過這個問題，總結基本方法，拓寬思維的廣度，引導學生優化解法，并逐步探索知識的本質，進一步深化理解。

問題2：第（2）小問見到等積式想什么？證明菱形有哪些方法？

第（2）小問在問題引導下基本解題思路比較清晰，利用等積式化比例式，尋找相似三角形。但是，對于怎么利用相似三角形的結論去證明四邊形ABDC是菱形，有些同學會出現解題思路不明晰的問題。是用邊還是角？是先證平行四邊形還是直接證四邊相等？問題解決時，要教會學生分析問題的方法，思路清晰，優化解法。

問題3：第（3）小問如何尋找兩個三角形相似的條件？

問題4：△COE是直角三角形有幾種情況？

問題5：不同情況的分類依據分別是什么？

第（4）小問是特定條件的分類討論，對大部分學生來說，本身就是個比較難突破的點。因此，在課堂上以問題引導學生，讓學生有方向可尋。師生一起分析完成、當堂反饋的時候，能夠理解的同學占到了75%，基本達到預期。

以發展學生數學思維為核心目標，遵循學生認知發展規律，從知識結構本身入手，通過課堂中數學問題鏈的設計和實踐，激發學生學習興趣，促進思維發展，幫助他們養成勤于思考，不斷探究的好習慣，提高分析和解決問題的能力，不斷提升學生數學核心素養，提高課堂教學效率。