在問題情境中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的深度學(xué)習(xí)
——以“正數(shù)和負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例

劉佳 上海市閔行區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)

在基于核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的新課程改革背景下，深度學(xué)習(xí)著眼于學(xué)生深入理解知識(shí)核心內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)和方法遷移，是師生共同成長的過程。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。在概念教學(xué)中，教師應(yīng)避免學(xué)生停留在機(jī)械模仿的層次上，通過精心設(shè)計(jì)的問題情境和學(xué)習(xí)任務(wù)開展深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從本質(zhì)上理解概念實(shí)質(zhì)，并能靈活應(yīng)用解決實(shí)際問題，從而提升學(xué)生的思維能力，促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成。基于此，筆者將“正數(shù)和負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)作為研究方向，淺談在深度學(xué)習(xí)的課堂上，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)與理解。

一、悉心解讀教材內(nèi)容，準(zhǔn)確把握學(xué)習(xí)起點(diǎn)

小學(xué)階段數(shù)的認(rèn)識(shí)主要有整數(shù)（自然數(shù)）的認(rèn)識(shí)、分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)、小數(shù)的認(rèn)識(shí)和正數(shù)與負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)。教材的編排遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)范圍不斷形成與擴(kuò)大的生成發(fā)展過程。《正數(shù)和負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》是滬教版五年級(jí)第二學(xué)期第二單元的內(nèi)容，負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)是小學(xué)生數(shù)概念的一次重要擴(kuò)展。負(fù)數(shù)概念源于兩條途徑，一個(gè)是出于人類生產(chǎn)和生活的需求，如“盈利與虧損”“收入與支出”等具有相反意義量的表達(dá)；一個(gè)是源于完善數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)的需要，在減法運(yùn)算或解方程的過程中出現(xiàn)“不夠減”時(shí)，提出正負(fù)數(shù)加減運(yùn)算法則，保證減法運(yùn)算的封閉性。

為了進(jìn)一步了解五年級(jí)學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)概念認(rèn)知的起點(diǎn)，我開展了課前訪談?wù){(diào)查（見表1）。

表1

從課前訪談可見，雖然負(fù)數(shù)在日常生活中應(yīng)用廣泛，卻只有天氣預(yù)報(bào)是學(xué)生最熟悉的情景。學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)停留在符號(hào)特征的表面，與“運(yùn)算符號(hào)”混為一談，對(duì)其真正意義并不了解。負(fù)數(shù)概念的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生而言是一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)樨?fù)數(shù)不同于正數(shù)，無法通過對(duì)具體事物進(jìn)行計(jì)數(shù)來理解其具體含義，負(fù)數(shù)的概念牽涉到具有相反意義的量。應(yīng)選擇怎樣的問題情境促使學(xué)生理解相反意義量？如何確定分界點(diǎn)“0”，真正掌握正、負(fù)數(shù)概念的關(guān)鍵？帶著這樣的思考，筆者嘗試精心設(shè)計(jì)問題情景和學(xué)習(xí)任務(wù)，喚起學(xué)習(xí)需求，理解感知概念本質(zhì)，鼓勵(lì)學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上不斷建構(gòu)與完善對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)。

二、精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)發(fā)生

（一）在豐富的情境中，產(chǎn)生區(qū)分相反意義量的需求

在對(duì)比不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材后，發(fā)現(xiàn)幾乎都用學(xué)生熟悉的溫度計(jì)作為載體，引入負(fù)數(shù)在讀溫度的過程中，體會(huì)零上溫度和零下溫度是一對(duì)具有相反意義的量。然后，通過相關(guān)的實(shí)例來豐富學(xué)生對(duì)于具有相反意義量的認(rèn)識(shí)，再來記錄這對(duì)具有相反意義的量。按教材的編排引入，能有效達(dá)成相關(guān)教學(xué)目標(biāo)，但學(xué)習(xí)過程過于“按部就班”，學(xué)生只是一步步被動(dòng)學(xué)習(xí)新知，沒有產(chǎn)生學(xué)習(xí)的需求與欲望。因此，筆者嘗試融創(chuàng)新于傳統(tǒng)，期望在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)需求，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性。

【教學(xué)片段1】

你能嘗試記錄生活中的這些信息嗎？（見圖1、圖2、圖3）

圖1

圖3

T：讓我們看看大家是怎么記錄的？

呈現(xiàn)資源：

①零上15 ℃、零下20 ℃

②8 844.43米、10 767米

③+200元、-86.4元、-36.8元

T：不同的記錄方式，你們都同意嗎？

S：我不同意第二組。因?yàn)檫@樣記錄就分不清是海平面以上還是海平面以下了。

T：那怎么辦？

S：在8 844.43前面填上“+”，在10 767前面填上“-”。

T：填上不同的符號(hào)，你到底是想要區(qū)分什么啊？

S：區(qū)分海拔是比海平面高還是低。

T：再看另外兩組，你們在記錄時(shí)都想到了添上文字或符號(hào)，又是為什么呢？

S：第一組是為了分清零上溫度和零下溫度，第三組是為了區(qū)分支出的錢和收入的錢。

T：你們都很厲害哦，都在想辦法來區(qū)分海平面以上的高度和海平面以下的深度、零上溫度和零下溫度、收入和支出。感受一下，每組的兩個(gè)量之間都有什么關(guān)系？

S：相反關(guān)系。

T：像這樣的兩個(gè)量，我們可以稱為具有相反意義的量。

教學(xué)背景：知道如何正確表達(dá)一對(duì)具有相反意義的量。

以傳統(tǒng)教學(xué)素材為基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)全新的問題情境，讓學(xué)生在經(jīng)歷記錄信息的過程中主動(dòng)產(chǎn)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的需求。其一，在原有單一的溫度模型引入中，融入海拔模型和收入支出模型，讓學(xué)生在豐富的情境中，整體感知零上溫度和零下溫度、海平面以上高度和海平面以下深度、收入的錢和支出的錢，都是具有相反意義的量。其二，溫度模型和海拔模型表示靜止?fàn)顟B(tài)下相反意義的量，其分界點(diǎn)0 是人為規(guī)定的。收入支出模型是自然意義下的動(dòng)態(tài)模型，0 點(diǎn)是平衡點(diǎn)。豐富的情境能促使學(xué)生初步感知相反意義量的兩種不同類型。其三，在表達(dá)相反意義量時(shí)，學(xué)生感受到用已學(xué)過的數(shù)不能區(qū)分具有相反意義的量，便創(chuàng)造出添加文字或各類符號(hào)等新的表達(dá)方式，產(chǎn)生區(qū)分相反意義量的需求。在表達(dá)方式上，數(shù)學(xué)家們也經(jīng)歷了很長時(shí)間的研究。通過歷史介紹，學(xué)生不僅豐富數(shù)學(xué)文化，還知道在數(shù)的前面添上正號(hào)和負(fù)號(hào)來表示一對(duì)具有相反意義的量。在用正、負(fù)數(shù)表達(dá)的過程中，初步感知分界點(diǎn)的含義。

（二）在對(duì)比與溝通中，加深對(duì)正、負(fù)數(shù)意義的理解

1.對(duì)比2個(gè)-1的含義，理解正、負(fù)數(shù)的實(shí)際含義

用正、負(fù)數(shù)所表示的具體量的實(shí)際含義是本課的難點(diǎn)。為了加深學(xué)生對(duì)于負(fù)數(shù)意義的理解，形成數(shù)感，我們設(shè)計(jì)了如下學(xué)習(xí)材料：

【教學(xué)片段2】

你知道下面2 個(gè)“-1”各表示什么意思嗎？（見圖4、圖5）

圖4

圖5

S：-1層，就是地下1層。

T：為什么-1 就是地下1 層呢？想一想這里是以什么為分界點(diǎn)，具有相反意義的量又是什么呢？

S：以地面為分界點(diǎn)，地上層數(shù)和地下層數(shù)是具有相反意義的量。

T：真棒，能找到分界點(diǎn)和相反的量來理解-1。那另外兩個(gè)呢？

S：-1 元表示沒有錢了，還欠1 元。分界點(diǎn)是0 元，有余額和欠費(fèi)是相反的量。

T：是啊，-1在不同情境中表示的含義不同。

T：一年級(jí)學(xué)習(xí)數(shù)時(shí)，我們知道1個(gè)蘋果，1塊橡皮，1個(gè)人都能用“1”來表示。這里情境不同，含義不同，也都能用-1這個(gè)數(shù)來表示。

“能夠在真實(shí)情境中理解數(shù)的含義”是數(shù)感的表現(xiàn)之一。學(xué)生在真實(shí)情境的學(xué)習(xí)素材中表達(dá)2 個(gè)“-1”的不同含義，通過對(duì)比與辨析，逐步體會(huì)用正、負(fù)數(shù)表示一對(duì)具有相反意義量時(shí)，先要確定分界點(diǎn)，規(guī)定其中一個(gè)量為正，則另一個(gè)量為負(fù)。另外，在對(duì)比2 個(gè)“-1”表示含義的過程中，期望學(xué)生意識(shí)到“-1”在不同的情境中可以表示不同的實(shí)際含義，但這些情境中的量都可以用抽象的數(shù)“-1”來表示，加深學(xué)生對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)數(shù)感的養(yǎng)成。

2.對(duì)比不同的分界點(diǎn)，進(jìn)一步理解正、負(fù)數(shù)的含義

在用正、負(fù)數(shù)正確表示相反意義的量時(shí)，學(xué)生對(duì)分界點(diǎn)“0”的理解是有挑戰(zhàn)性的。因?yàn)榉纸琰c(diǎn)“0”有時(shí)是約定俗成的，如0 ℃，海拔0 米等，而有時(shí)是可以人為規(guī)定的。為了讓學(xué)生體會(huì)“0”所表示的對(duì)象發(fā)生了變化，那么其他對(duì)象與它的相對(duì)關(guān)系，也隨之變化。練習(xí)環(huán)節(jié)中，結(jié)合東南西北方位圖，改編了練習(xí)冊P14的A級(jí)題：

填空：小胖家、小丁丁家、圖書館和學(xué)校在同一條直線上，以向東為正，圖6 上的一格長度表示100 米。

圖6

（1）如果以學(xué)校的位置記作點(diǎn)0。

①小巧從學(xué)校門口向東行了200 米，那么小巧的位置可以記作（ ）米。

②小亞的位置是-300 米，說明小亞從學(xué)校門口向（ ）行了（ ）米。

③小胖家的位置可以記作（ ）米。

（2）如果以圖書館的位置記作點(diǎn)0，小胖家的位置可以記作（ ）米。

確定哪一點(diǎn)是分界點(diǎn)是負(fù)數(shù)教學(xué)的關(guān)鍵所在。拓展練習(xí)中，對(duì)比小胖家的位置不變，而兩次記錄的結(jié)果不同，讓學(xué)生初步體會(huì)在用正、負(fù)數(shù)表示相反意義的量時(shí)分界點(diǎn)的重要性。過程中通過數(shù)形結(jié)合，將抽象的問題直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生在用正、負(fù)數(shù)正確表示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步理解正、負(fù)數(shù)的意義。

（三）在生活應(yīng)用中，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系

本課始終結(jié)合生活情境，通過溫度、海拔、收支等情境，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)的產(chǎn)生源于生活的需求。為了讓學(xué)生更深刻地體會(huì)正、負(fù)數(shù)在生活中的應(yīng)用，我們還設(shè)計(jì)了小胖1分鐘跳繩達(dá)標(biāo)情況的統(tǒng)計(jì)（見圖7）。

圖7

【教學(xué)片段3】

T：對(duì)比小胖自己每年的跳繩情況，你們覺得小胖的成績怎么樣？

S1：小胖跳繩的個(gè)數(shù)越來越多，他進(jìn)步了。

S2：不一定哦，雖然每年越跳越多，但是我們要對(duì)比達(dá)標(biāo)情況來看。一年級(jí)超過達(dá)標(biāo)成績5 下，可以記作+5，二年級(jí)不到達(dá)標(biāo)成績1 個(gè)，可以記作-1。小胖跳繩退步了。

T：聽懂了嗎？這位同學(xué)已經(jīng)嘗試在用正、負(fù)數(shù)做新的記錄了。請你們試著幫小胖完成新的記錄。

記錄結(jié)果：+5、-1、-4、0、+1

T：看了小胖的新記錄，你有什么想說的嗎？

S：一年級(jí)小胖跳繩能達(dá)標(biāo)，二、三年級(jí)成績不太理解，四年級(jí)開始有進(jìn)步，正好達(dá)標(biāo)，五年級(jí)能超過標(biāo)準(zhǔn)。

T：看來，你們已經(jīng)能靈活運(yùn)用正、負(fù)數(shù)的知識(shí)解決生活實(shí)際問題了，真棒。

依托真實(shí)情境的支撐，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)調(diào)用所學(xué)知識(shí)解決真實(shí)問題的意識(shí)。通過創(chuàng)設(shè)“小胖一至五年級(jí)跳繩達(dá)標(biāo)情況”這一情境，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到只用以往學(xué)習(xí)的數(shù)來分析問題，有時(shí)不夠全面。可以將各年級(jí)的達(dá)標(biāo)成績作為標(biāo)準(zhǔn)量，用正、負(fù)數(shù)記錄，能較為簡潔地表示出小胖各年級(jí)跳繩成績與標(biāo)準(zhǔn)量之間的關(guān)系。根據(jù)實(shí)際需求，體會(huì)用正、負(fù)數(shù)分析問題的優(yōu)勢。學(xué)生在經(jīng)歷體驗(yàn)式、探索性的學(xué)習(xí)過程中，深入理解，靈活應(yīng)變，提升應(yīng)用意識(shí)。

三、用心追溯概念本質(zhì)，孕育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

（一）立足概念本質(zhì)，讓學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生

核心概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂，問題情境是深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。本節(jié)課基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，立足概念本質(zhì)，采用循序漸進(jìn)、由淺入深的教學(xué)策略，促使學(xué)生全身心地投入學(xué)習(xí)過程。通過教師適時(shí)引導(dǎo)、及時(shí)點(diǎn)撥，在有機(jī)的師生互動(dòng)和生生互動(dòng)中，期待學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸學(xué)習(xí)，初步理解正、負(fù)數(shù)的意義，并能感知“0”作為分界點(diǎn)的意義，實(shí)現(xiàn)對(duì)“0”的再認(rèn)識(shí)，不斷建構(gòu)、完善對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，體會(huì)數(shù)系的擴(kuò)充，有利于中小學(xué)數(shù)學(xué)的銜接。

（二）創(chuàng)設(shè)問題情境，落實(shí)核心素養(yǎng)

本節(jié)課以學(xué)生熟悉的、有趣的事物作為豐富的學(xué)習(xí)素材，不僅點(diǎn)燃學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的激情，產(chǎn)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的需求，還初步感悟數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。學(xué)生在不同的問題情境中，表達(dá)正、負(fù)數(shù)的含義，提升數(shù)學(xué)抽象能力，發(fā)展數(shù)感。在解決小胖跳繩的問題情境中，學(xué)生有效遷移已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，靈活解決實(shí)際問題，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。教師們在發(fā)展專業(yè)素養(yǎng)的同時(shí)，還要多觀察，善發(fā)現(xiàn)，勤思考，用教育智慧將日積月累的生活素材打造成促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的活動(dòng)素材，落實(shí)核心素養(yǎng)于課堂。