從函數觀念到函數思想:代數式的結構化整體性教學*

劉志昂

(江蘇省蘇州市高新區第五初級中學校 215151)

1 函數觀念與函數思想

觀念是指思想意識,函數觀念即函數的思想意識．函數觀念是指數學學習中,在沒有學習函數概念及相關性質之前,用函數的對應關系、定義域和值域及函數的性質等去理解、感悟一些潛在的函數關系,加深對數學知識的理解,是函數思想的滲透．

函數思想是人類在長期的社會實踐及理論推理中得出來的現實世界與數學公式之間的關系,是學習了函數的概念和性質后,根據生活實際或者數學問題中的變量間的對應關系,構建函數模型,再運用函數知識解決問題．函數思想是解決數學問題最重要、最基本的思想方法之一．

2 結構化整體性教學

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(下稱《課標2022》)指出:教學內容是落實教學目標,發展學生核心素養的載體．在教學中要重視對教學內容的整體分析,幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系．一方面了解數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義,了解課程內容和教學內容的安排意圖;另一方面強化對數學本質的理解,關注數學概念的現實背景,引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發,建立起有意義的知識結構．通過合適的主題整合教學內容,幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題,形成科學的思維習慣,發展核心素養．[1]85

數學結構化整體性教學強調數學知識之間的內在關聯,探尋結構化的知識體系,重視“通性通法”的教學．引導學生在學習的過程中從整體上把握學習內容,積累學習的一般方法和基本思維經驗,并遷移到后續的學習中,達到問題解決的目的．

3 基于函數觀念的代數式結構化整體性教學

數與代數是數學知識體系的基礎之一,是學生認知數量關系、探索數學規律、建立數學模型的基石,可以幫助學生從數量的角度,清晰準確地認識、理解和表達現實世界[1]53．

用字母表示數,拉開了代數式學習的序幕．在代數中,用字母表示數意味著字母可以像數一樣進行運算和推理而得到一般性的結論,進而用字母來表示數學中最基本的數量關系(相等關系和不等關系)以及兩個變量之間的關系,從而進行代數式、方程、不等式和函數的學習．

代數中的用字母表示數,連接了各類代數式、方程、不等式和函數之間的內在關聯,形成結構,因而教學中更應關注數學的整體性和運算的一致性．

3.1 代數式教學中函數觀念的滲透

3.1.1 用字母表示數的教學

用基本運算符號(基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方)把數或表示數的字母連接起來的式子叫做代數式．由此可見,用字母表示數是代數式學習的基石．

《課標2022》對第三學段(5～6年級)數量關系的學業要求中指出:能在具體情境中,探索用字母表示事物的關系、性質和規律的方法,感悟用字母表示的一般性[1]25．對第四學段(7～9年級)數與式的內容要求中指出:借助現實情境了解代數式,能進一步理解用字母表示數的意義[1]55．

在用字母表示數的教學中,許多版本的教材都選用了從特殊到一般的生活實例來引入．

人教版教材在章頭引言中給出這樣的實例與問題進行引入:

例1青藏鐵路線上,在格爾木到拉薩之間有一段很長的凍土地段．列車在凍土地段、非凍土地段的行駛速度分別是100 km/h和120 km/h,請根據這些數據回答下列問題:

(1)列車在凍土地段行駛時,2 h行駛的路程是多少?3 h呢?th呢?[2]53

在《2.1 整式》的開始部分,給出如下的內容:

我們來看本章引言中的問題(1)．

列車在凍土地段的行駛速度是100 km/h,根據速度、時間和路程之間的關系“路程等于速度乘以時間”,列車2 h行駛的路程(單位:km)是 100×2=200,列車3 h行駛的路程(單位:km)是100×3=300,列車th行駛的路程(單位:km)是100×t=100t①．

在式子①中,我們用字母t表示時間,用含有字母t的式子100t表示路程．[2]54

在教學中,教師會引導學生列出如上的算式,然后強調是一個從特殊到一般的過程,用字母來表示一個個具體的數．

再如蘇科版教材中有如下的一個問題:

例2用同樣大小的兩種不同顏色的正方形紙片,按圖1的方式拼成正方形．

第(1)個圖形中有一個小正方形．

第(2)個圖形比第(1)個圖形多個小正方形．

第(3)個圖形比第(2)個圖形多個小正方形．

第(4)個圖形比第(3)個圖形多個小正方形．

第(10)個圖形比第(9)個圖形多幾個小正方形?第(100)個圖形比第(99)個呢?第(n)個圖形比第(n-1)個呢?[3]66-67

在教學中,教師同樣會引導學生解答上述問題,然后強調這是一個從特殊到一般的過程,用字母來表示數和數量關系．

但是,如上的教學是不夠的．

上述的兩個例子中,都是從特殊的、具體的實例到一般的、抽象的用字母表示,這是一個非常典型的數學抽象．可是我們的教學不能僅僅停留在此,應該滲透函數觀念．

我們知道,例1中的100t是t的函數,第2個例子中n2是n的函數．建議例1的教學應形成如下的表格:

時間…23…t路程…200300…100t

然后設計如下的追問:

1．路程和時間之間有什么樣的數量關系?(路程是時間的100倍,如果路程用s表示,則s=100t)

2．時間的變化對路程有什么影響?(路程隨時間的變化而變化,路程隨時間的增大而增大)

如上的設計,既明確了兩個變量(路程和時間)之間的對應關系(路程隨時間的變化而變化),滲透了函數的概念,又明確了路程隨著時間的增大而增大,滲透了函數的單調性．

例2的教學應形成如下的表格:

圖形序號1234…910…n-1n小正方形個數14916…81100…(n-1)2n2

然后設計如下的追問:

1．小正方形的個數與圖形序號之間有什么樣數量關系?(小正方形的個數是圖形序號的平方,如果第n個圖形中小正方形的個數用m表示,則m=n2)

2．圖形序號的變化對小正方形的個數有什么影響?(小正方形的個數隨圖形序號的變化而變化,小正方形的個數隨圖形序號的增大而增大)

3．相鄰兩個大正方形,后一圖形中的小正方形個數減去前一圖形中小正方形的個數,其結果與圖形序號之間有什么樣的數量關系?圖形序號的變化對結果有什么影響?

教學中,教師可以引導學生通過圖形的拼接與算式的規律探究,還可以概括出第(n)個圖形比第(n-1)個圖形多2n-1個小正方形．

如上的設計,依然明確了兩個變量之間的對應關系,滲透了函數的概念,又明確了兩個變量之間的變化規律,滲透了函數的單調性．

當然,上面的兩個例子還可以從數列的視角進行滲透與教學,而數列則是建立在自然數集上的特殊的函數,依然是函數觀念的滲透．

上述兩個變量之間對應關系(函數關系)的存在與成立,不僅僅是表示特定情境中的實際問題,還可以表示其他的實際問題與數學問題,所以人教版數學教材七年級上冊中明確指出:用字母表示數后,同一個式子可以表示不同的含義．其本質上說明兩個變量之間的對應關系(函數關系)可以賦予不同的實際情境來表示不同的實際問題．因而這樣的數學抽象的符號階段,可以擺脫具體的情境而去表示所有的具有同類特征的數學關系．正如史寧中教授所言:符號的表達必須擺脫具體內容,否則這種表達將不具有一般性,在這種表述基礎上的計算和推理,也將不具有普適性[4]．

正是學習了用字母表示數(包括函數觀念的滲透),才使得代數式表示數與數量關系更具有抽象性、一般性與普適性,為其他代數式(整式、分式與二次根式等)的學習奠定了基礎．

3.1.2 “列代數式”的教學

《課標2022》對第四學段(7～9年級)數與式的內容要求中指出:分析具體問題中的簡單數量關系,并用代數式表示[1]55．這是對列代數式的要求．各個版本的教材均沒有單獨的列代數式的章節,大多散落在用字母表示數或代數式的內容之中,故在教學中容易不被重視而一帶而過．

在實際教學中,應該重視列代數式的教學,它與列方程、不等式和函數表達式一樣,可以描述實際生活問題或者其他數學問題中的數量關系,是最基礎、最簡單、最一般的,與列方程、不等式和函數表達式有著內在的關聯．

如滬科版數學教材中有這樣一道例題:

例3用代數式表示:把a本書分給若干名學生,若每人5本,尚余3本,求學生數[5]60．

在后續的教學中,若給出具體的學生數求a的值,則轉化為列方程解決問題;若給出學生數的范圍,則轉化為列不等式解決實際問題;若給出學生數為x,則轉化為a與x之間的函數關系．

3.1.3 “求代數式的值”的教學

用數值代替代數式里的字母,按照代數式中的運算關系計算得出的結果叫作代數式的值．《課標2022》對第四學段(7～9年級)數與式的內容要求中指出:會把具體數代入代數式進行計算[1]55．這是對求代數式的值的要求．許多版本的教材有專門的代數式的值的章節．

如滬科版教材部分內容如下:

算一算,你每天需要多少睡眠時間?[5]65

這里的關系式表示的是睡眠時間與年齡這兩個變量之間的對應關系,是它們之間的函數關系表達式,而求30歲人的睡眠時間則是已知自變量的值(n=30)求對應的函數值(t),是對函數對應關系的滲透．

后面的算一算,由于學生的年齡會存在著差異,所以計算時自變量的值會有不同,因而計算的結果也會有所差別,說明“對于x的每一個值,y都有唯一確定的值與它對應”,又是函數對應關系的滲透．

蘇科版教材在相應位置設置了如下的一個探究過程:

填表:

x-3-2-101232x-1-3xx2

根據所填表格,討論下列問題:

(1)當x為何值時,代數式2x-1的值等于-1?

(2)隨著x的值的增大,代數式2x-1,-3x的值怎樣變化?

(3)隨著x的值的增大,代數式x2的值怎樣變化?[3]75

如上的探究活動中,(1)是對函數對應關系的滲透,(2)和(3)則是對函數單調性的滲透．接著教材中明確指出:一般的,代數式的值隨著代數式中字母取值的變化而變化．教學時,教師應該帶著學生深刻理解它的數學內涵,用函數觀念去分析、理解它,厘清代數式與函數之間的內在關聯,形成結構化的整體性教學．

3.2 代數式教學中函數思想的統領

3.2.1 用代數式的知識促進對函數的理解

學習了函數之后,已知函數表達式和自變量的值求對應的函數值,就是將自變量的確定值代入解析式求代數式的值;求函數值等于零、大于零或小于零時的自變量的值或取值范圍,可以將函數表達式(代數式)大于零、等于零和小于零轉化為方程或者不等式來求解．從這個角度來說,代數式是構成函數的基本單位,是連接函數與方程、不等式的紐帶．用代數式的知識促進對函數的理解也是一種結構化的整體性教學．

3.2.2 用函數的思想促進對代數式的理解

學習了函數之后,學生便具備了函數思想．在復習,尤其是總復習時,對于代數式便可以明確地說,代數式的值與代數式所含字母是變量之間的對應關系,代數式的值是代數式所含字母的函數,它隨著字母取值的變化而變化．此時,教師帶著學生用函數的思想重新審視學習過的代數式內容,加深學生對代數式的理解,有利于他們高階思維的形成．

至此,在代數式、方程和不等式中滲透函數觀念,以及用函數思想統領代數式、方程和不等式的學習,便構建了如圖2的一個學習結構．

圖2

用函數的思想統領代數式的學習,關聯著方程和不等式的相關知識,將初中階段學習的數與式內容連成一體,讓學生感悟一般的思維策略和學習策略,促進學生的深度學習．

4 結束語

代數式教學中函數觀念的滲透和函數思想的統領,使代數式、方程、不等式和函數組成了結構化的有機體,有利于從整體上認識數學知識及其內在關聯,形成知識結構與知識體系．利用數學對象的發生發展過程和相互聯系而使學生認識它的內容,利用內容的各種表現形式及其運動變化,而使學生深刻理解并掌握數學知識的精神實質和數學思想方法,是數學教學中提高數學課堂教學質量的根本保證[8]．

鄭毓信教授認為:“(數學)深度教學”的主要含義是數學教學必須超越具體知識和技能深入到思維的層面,由具體的數學方法和策略過渡到一般的思維策略與思維品質的提升[9]．由此,從函數觀念到函數思想的代數式的結構化整體性教學是深度教學．