考慮吊索拉伸效應的空間索面自錨式懸索橋無量綱連續體動力模型

王曉明，趙建領，孫 遠，汪 帆，王 歡，李鵬飛，陶 沛，賀耀北

(1.長安大學公路學院，陜西，西安 710064；2.華中科技大學土木與水利工程學院，湖北，武漢 430074；3.四川省公路規劃勘察設計研究院有限公司，四川，成都 610041；4.湖南省交通規劃勘察設計院有限公司，湖南，長沙 410008)

作為抗風抗震、車橋耦合振動控制及碰撞沖擊防護等動力災變防控的研究基點，橋梁結構自由振動模型研究持續受到廣泛關注[1?3]。這其中，基于有限元方法的離散模型常被用于實時響應的多尺度精細化分析，是結構狀態評估與損傷識別的可靠利器[4?5]。然而，有限元方法在模型前期處理過程易忽略未建模動態的關鍵細節，存在的模型誤差使獲得的動力響應難以出現一致結果，在有限元模型修正、損傷識別等反演過程中，不可避免面臨迭代路徑冗長、復雜計算耗時等瓶頸，難以實現結構實時監測與評估[6]。對比而言，基于解析方法的連續體模型不僅能夠顯著降低模型自由度，同時還可以建立關鍵參數與動力響應的全局映射關系，進行動力特性的連續參數化分析[7]。因此，建立高精度的連續體動力模型，既能夠在較廣頻率范圍內進行動力特性的全局敏感性分析，又能夠作為初步設計、模型修正與損傷識別的基準解析模型來提供必要前置數據[8]。

空間索面自錨式懸索橋因其造型輕盈靈動、結構富有張力而常被作為地標性建筑。然而，其纜索的空間耦合性以及子系統間的自平衡特性給連續體模型的建立與求解帶來很大困難。首先，不同于常規的平行纜索，空間纜索分處多個平面，主纜與吊索在交互節點處存在力流傳遞進而改變彼此構形，具有高度空間耦合性。目前，圍繞空間索面自錨式懸索橋現有文獻多集中于初始平衡狀態分析[9]、施工過程中的體系轉換[10? 11]等靜力研究，其自由振動解析方法研究文獻仍較少，HUI 等[12]針對空間索面人行橋建立了6 自由度剖面模型來分析模態參數及非線性特征；XU 等[13?14]基于增量拉格朗日公式與運動學理論建立空間索面懸索橋連續體模型來分析關鍵參數對動力特性的影響，但上述動力研究僅能分析地錨式懸索橋中跨有限階次模態，纜索空間耦合性使得能反應全橋模態參數的連續體模型難以建立。

其次，區別于傳統地錨式懸索橋，自錨式懸索橋呈現子系統間的內部自平衡特性，其柔性纜-索子系統對塔-梁子系統的壓彎變形高度敏感，塔-梁子系統作為纜索的邊界約束又進一步觸發纜索幾何構形和內力的改變，使其非線性問題更為顯著，動力特性更為復雜。針對自平衡體系復雜的動力特性，張筱雨等[15]、郭俊等[16]通過引入振動形函數來規避對復雜微分方程的直接求解，進而采用Rayleigh 法得到較為簡潔的近似解析解；但其求解精度過度依賴于振動形函數的適配性，僅能獲取較為準確的低階固有頻率，無法拓展至高階次模態參數研究。可見，如何解決上述局限性是關鍵癥結，而圍繞地錨式懸索橋的對稱性研究可以帶來重要啟示：經典解析方法融合撓度理論和運動學原理通過推導纜-索-梁振動方程并對其求解來分析模態參數，ABDEL-GHAFFAR[17]研究表明小幅度振動下可將豎向與扭轉模態解耦；HAYASHIKAWA等[18]和KIM 等[19]研究表明剪切變形和主梁轉動慣量對豎向振動特性影響有限；LUCO 等[20]研究了纜、梁相對剛度對豎向振動的影響；ZHANG 等基于D'Alembert 原理推導了豎向和扭轉模態的封閉解[21]，并研究了主纜抗彎剛度對模態的影響[22]。然而，將上述方法直接應用于自平衡體系時，仍將面臨復雜微分方程建立與求解難題，目前尚鮮有相關研究，該問題亟待解決。

上述經典解析方法均忽略了吊索彈性剛度對纜-索-梁振動系統的作用，通過假定纜-梁位移一致，使得振動方程較易于求解。此假定的局限性在地錨式懸索橋的相關研究中已有體現：TURMO等[23]以地錨式懸索橋為研究對象，在振動方程推導過程中考慮了吊索的拉伸效應，表明當主梁相對彈性抗彎剛度更大時，吊索彈性剛度對較高階次模態頻率有較大影響；在此基礎上，GWON 和CHOI[24]以不同主梁支撐形式的地錨式懸索橋為對象，分析了吊索能否拉伸對模態參數的影響規律，表明吊索拉伸與否會顯著影響半漂浮體系懸索橋高階次反對稱模態頻率。然而，對于具有纜索空間耦合性和子系統間自平衡性的空間索面自錨式懸索橋，如何在動力連續體模型中考慮吊索彈性變形效應，面臨著多體系耦合等因素制約，目前尚未見相關研究報道。

本文將撓度理論推廣至振動形態，推導纜-索-梁空間耦合變形方程與相容方程，建立可考慮吊索拉伸效應的空間索面自錨式懸索橋自由振動連續體模型，并將其無量綱化；采用伽遼金方法將模型轉化為矩陣形式，求解連續體模型的模態頻率及振型；分別利用文獻中的平行索面自錨式懸索橋數值算例，以及空間索面自錨式懸索橋有限元算例，驗證無量綱連續體模型的精確性與適用性，并對特征參數進行敏感性分析以識別動力特性變化規律。

1 空間索面自錨式懸索橋的無量綱連續體模型

1.1 連續體模型

1.1.1 主纜的空間線形方程

空間索面自錨式懸索橋連續體模型遵循以下假設：① 恒載沿全橋均勻分布，主纜承擔全部恒載；② 恒載作用下，主纜線形為拋物線；③ 吊索無質量，主梁不發生縱橋向漂移；④ 由于振動引起的主纜附加水平力遠小于初始恒載水平力，因此假設各跨附加水平力相等；⑤ 振動過程中由于吊索可沿軸向拉伸，纜-梁位移不等，但都遵循小位移假定；⑥ 空間索面傾角沿全橋一致，振動中傾角變化量可忽略。

如圖1 所示，主纜空間線形投影在豎平面的方程，可依次表示為[23]：

圖1 空間索面自錨式懸索橋參數Fig.1 Parameters of a self-anchored suspension bridge with spatial cables

圖1 中：mc、mg分別為單位長度主纜、主梁質量；Ec、Ic和Ac分別為主纜彈性模量、慣性矩和面積；Eg、Ig和Ag分別為主梁彈性模量、慣性矩和面積；Eh、Ah分別為吊索彈性模量、面積；Lhz、Lhy分別為主纜IP 點至橋面側在豎平面、水平面的長度分量；dh為吊桿間距；θ 為空間索面傾角；Lj為各跨跨長；fzj、fyj和foj分別為各跨豎平面、水平面和傾斜平面內的主纜垂度；zcj、ycj和ocj為初始平衡狀態下各跨主纜在豎平面、水平面和傾斜平面的坐標。

由假設⑥可得其余兩平面主纜線形：

1.1.2 考慮吊索拉伸效應的纜-索-梁空間耦合變形方程

針對其中單跨，Hw為初始平衡態下主纜初始水平力，Hp為振動引起的主纜附加水平力。由假設式(1)、式(2)可得主纜初始平衡態下豎平面、水平面平衡方程為[25]：

式中，hz、hy為吊索豎直、水平分力。在初始平衡態下，hz=mgg/2、hy=mgg/(2tanθ)，則主纜初始水平力：

吊索初始平衡態和振動變形態，如圖2 所示，振動過程中豎平面、水平面吊索平衡方程為：

圖2 吊索橫截面受力圖式Fig.2 Load conditions of the hanger in cross-sectional view

式中，hp為振動引起的吊索附加索力，可表示為：

其中，由假設③可得吊索沿主梁方向單位長度的分布彈性軸向剛度kho為：

式中，lho為吊索傾斜長度，lho=Lhz/sinθ?oc。其中，振動引起的吊索伸長量δho，可表示為[26]：

式中：wc、vc為振動引起的主纜豎向、橫向位移，wg為振動引起的主梁豎向位移，如圖3 所示。

圖3 纜-索-梁空間變形圖式Fig.3 Spatial deformation conditions of the main cable-hanger-girder

1.1.3 振動形態撓度理論

文獻[27]通過建立大位移不完全廣義勢能泛函，并通過約束變分推導出平行索面自錨式懸索橋豎向振動微分方程，研究表明，忽略主梁剪切應變能，豎向可與縱橫向及扭轉等模態解耦。據此，本文基于撓度理論并將其拓展至振動形態，主纜振動微分方程可表示為[28]：

主梁振動微分方程可表示為[28]：

由假設式④，Hw+Hp≈Hw；將式(6)～式(8)依次代入式(9)～式(10)化簡，重排并拓展至多跨，得到纜-索-梁體系空間耦合振動微分方程組：

式中，方程未知量為主纜豎向位移wcj、主纜橫向位移vcj、主梁豎向位移wgj和主纜附加水平力Hp。

1.1.4 考慮自平衡性的相容方程

變形協調作為求解耦合振動微分方程的補充條件[29]，依據自錨式懸索橋纜-索-梁體系受載變形下主纜伸長水平分量與主梁壓縮量一致的條件，空間纜-梁變形相容方程可表示為：

將式(12)化簡，振動引起的主纜附加水平力可表示為：

式中：

1.2 無量綱化

為更好識別動力特性的控制參數，將式(11)無量綱處理[23]，基本變量無量綱變換可表示為：

將式(14)代入式(11)，得無量綱振動微分方程組：

式中的無量綱參數分別為：

每跨吊索相應的無量綱長度為：

式(15)表明，纜-索-梁體系豎向自由振動特性由式(16)中6 個無量綱特征參數和空間索面傾角共同控制。式中：為主梁相對質量；為邊跨相對長度；為主纜相對垂度；λ2為Irvine 剛度系數[30]，表征主纜幾何與彈性剛度的關系，即主纜相對彈性軸向剛度；α2為Steinman 剛度系數[31]，是主梁彈性抗彎剛度與主纜重力剛度的比值，即主梁相對彈性抗彎剛度；χ2反映主梁相對質量與吊索恒載應變的關系，即吊索相對彈性軸向剛度[23]。

2 伽遼金求解方法

2.1 纜梁的邊界與形函數

主梁為3 跨連續梁，有12 個邊界條件，即各支點處豎向位移為0，跨內支點兩端轉角及彎矩相等，以及邊支點彎矩為0：

主纜和主梁的無量綱位移設定為：

式中：N為形函數階次；為待定系數；是滿足式(18)幾何和力學邊界的主纜振動形函數，可表示為：

2.2 求解流程

建立求解流程如圖4 所示，其中各公式推導過程如下。

圖4 無量綱連續體模型求解流程Fig.4 Solution procedure of the dimensionless continuum model

將式(20)代入式(15)后乘主纜、主梁相應形函數并積分，可到7N 個方程和7N 個未知數(cj1,cj2, …,cjN、g1, g2, …, gN 和rj1, rj2, …, rjN)，格式如下：

將式(22)化簡并重排成矩陣形式，可表示為：

式中：

其中：

式(23)中無量綱質量矩陣M7N×7N為對角矩陣，可表示為：

式中：

其中：

式(23)中無量綱剛度矩陣K7N×7N可表示為：

[Kcg]7N×7N主纜無量綱幾何剛度矩陣 為對角矩陣，可表示為：

式中：

其中：

式中：

其中：

可表示為：

式中：

其中：

式中：

其中：

連續體模型對應的振型可通過式(20)獲得，連續體模型固有頻率為：

3 算例分析

將本文提出的無量綱連續體模型編制成程序，利用現有數值算例和有限元模型驗證連續體模型的普適性與準確性。程序運行環境為：MATLAB R2016a，處理器Intel(R) Core(TM) i7-6700HQ CPU@ 2.60 GHz、內存8 GB。

3.1 文獻算例驗證

本算例校驗不同類型索面下連續體模型的普適性。采用文獻[27]中平行索面混凝土自錨式懸索橋作為算例，結構參數詳見文獻中的表1“構件材料特性和截面特性”。

表1 文獻與連續體模型固有頻率結果對比Table 1 Comparison of natural frequencies between reference and the continuum model

連續體模型中將空間傾角設定為θ=90°，使其退化為平行索面連續體模型，形函數階次設定為N=10，求解本算例的固有頻率及振型，程序運行共耗時25.24 s。固有頻率結果對比見表1，其中數值解1 為大連理工大學專用程序DDJ-W 計算結果，數值解2 為ANSYS 計算結果；解析解1 為文獻[27]利用大位移不完全廣義勢能泛函推導出的經典解析結果，解析解2 為文獻[15]利用Rayleigh法推導出的計入主塔剛度的近似解析結果，解析解3 為本文考慮吊索拉伸效應的連續體模型給出的經典解析結果。以數值解均值為參考對比三類解析解準確性，連續體模型固有頻率與文獻結果基本吻合，保證了連續體模型在退化為平行索面時依然具有普適性；連續體模型計算的1 階對稱、反對稱振型示于圖5。

圖5 平行索面自錨式懸索橋算例振型Fig.5 Example of a self-anchored suspension bridge with parallel cables mode shapes

3.2 有限元模型驗證

本算例校驗空間索面連續體模型的準確性。采用MIDAS CIVIL 建立有限元模型進行特征值分析，如圖6 所示，橋塔、主梁均采用梁單元模擬，主纜、吊索均采用索單元模擬；吊索-主梁剛性連接，主纜-梁端剛性連接且主梁全橋連續，橋塔塔底固結，結構參數見表2。

表2 空間索面自錨式懸索橋算例參數Table 2 Example parameters of a self-anchored suspension bridge with spatial cables

圖6 空間索面自錨式懸索橋有限元模型Fig.6 Finite element model of a self-anchored suspension bridge with spatial cables

為便于后續特征參數敏感性分析時驗證吊索相對軸向彈性軸向剛度的貢獻，按照是否考慮吊索拉伸效應，連續體模型分為2 類：CM-Ext 為考慮吊索拉伸效應的連續體模型，χ2為實際參數計算值；反之，CM-InExt 則不考慮吊索拉伸效應，認為吊索剛度足夠大而無法變形，設定χ2=1×106。

連續體模型形函數階次設定為N=24，求解固有頻率及振型，程序運行共耗時90.49 s。前8 階對稱與反對稱模態的固有頻率，與有限元模型固有頻率結果對比見表3，1 階反對稱模態固有頻率誤差為?6.47%，2 階反對稱模態固有頻率誤差為?7.89%，其余各階次模態固有頻率誤差均在±6%以下，連續體模型與有限元模型結果基本吻合，用于動力特性的連續參數化分析是可靠、準確的；限于篇幅，僅展示前3 階對稱、反對稱振型，如圖7、圖8 所示。

表3 連續體模型與有限元模型固有頻率結果對比Table 3 Comparison of natural frequency between the continuum model and finite element model

圖7 連續體模型與有限元模型對稱振型對比Fig.7 Comparison of symmetric mode shapes between the continuum model and finite element model

圖8 連續體模型與有限元模型反對稱振型對比Fig.8 Comparison of antisymmetric mode shapes between the continuum model and finite element model

3.3 特征參數敏感性分析

在研究相對剛度特征參數和空間索面傾角對動力特性的影響時，僅改變既定分析參數，保證其他參數維持不變。分別將主梁相對彈性抗彎剛度設定為 α2/5、α2、5 α2；主纜相對彈性軸向剛度設定為λ2/2、λ2、2λ2；空間索面傾角設定為60°、70°、80°、90°。除此之外，將同時采用CM-Ext與CM-InExt 分別進行動力計算，來分析吊索相對彈性軸向剛度的貢獻。

3.3.1 空間索面傾角

圖9 展示了空間索面傾角對固有頻率的影響。總體而言，空間索面傾角對各階次模態頻率的影響甚為微弱，僅對低階次(1 階～3 階)模態影響稍強，θ從60°增至90°過程中，如圖9(a)所示，1S 頻率增長分別為3.76%、2.22%和0.73%；如圖9(b)所示，1AS 頻率增長分別為3.74%、2.28%和0.76%，變化幅度逐漸放緩。高階次(4 階～8 階)模態頻率增長均低于0.55%，基本不受索面傾角影響。值得注意的是，改變空間索面傾角的同時，關于主纜的積分項LE也會同步變動，進而導致主纜相對彈性軸向剛度 λ2變更，但其在懸索橋面內的分量仍保持近似一致，這也是模態頻率基本不受空間索面傾角影響的原因所在。

圖9 空間索面傾角變化對固有頻率的影響Fig.9 Influence of horizontal angle of the inclined hanger plane on natural frequencies

3.3.2 主梁相對彈性抗彎剛度

圖10 給出了主梁相對彈性抗彎剛度對固有頻率的影響。總體而言，α2增大將顯著提升結構整體剛度，使得各階次頻率均隨著 α2而增長。圖10(a)中，較之高階次(4 階～8 階) 對稱模態而言，低階次 (1 階～3 階)對稱模態頻率增幅較為緩和，其中，3S 頻率自 α2/5 增大到 α2時僅增大38.51%，2S 頻率自 α2變至5 α2時僅增大64.82%；而高階次對稱模態，各階次增幅均高于110%，其中，8S 頻率自 α2/5 增大到 α2時提升124.85%。如圖10(b)所示，與之不同的是，反對稱模態頻率隨著 α2增大均普遍得到顯著提升，其各階次頻率增幅均高于115%，且低階次頻率較高階次增幅稍大。

圖10 主梁相對彈性抗彎剛度對固有頻率的影響Fig.10 Influence of relative elastic bending stiffness of the main girder on natural frequencies

除此之外，當自 α2/5 增大到 α2時，先后出現的前6 階模態自“1S-1AS-2AS-2S-3AS-3S”變動至“1S-1AS-2AS-2S-3S-3AS”，其中的3AS、3S發生交叉，分別自0.3054 Hz、0.3607 Hz 遷移至0.6922 Hz、0.4996 Hz；后隨著 α2增大到5 α2時，先后出現的前6 階模態自“1S-1AS-2AS-2S-3S-3AS”變動至“1S-1AS-2S-2AS-3S-3AS”，其中的2AS、2S 模態發生交叉(cross-over)，分別自0.2732 Hz、0.3545 Hz 遷移至0.6135 Hz、0.5843 Hz，在結構抗風抗震等動力設計過程中尤其應注意由主梁相對彈性抗彎剛度變化引起的模態交叉現象。

3.3.3 主纜相對彈性軸向剛度

圖11 反映了主纜相對彈性軸向剛度對固有頻率的影響。與2不同，λ2對各階次模態頻率影響有限，對于提升結構整體剛度的效果稍弱。圖11(a)中，λ2對于低階次(1 階～3 階)對稱模態影響較為明顯，其中，2S 頻率自λ2/2 變至λ2時提升15.51%，3S 頻 率 自λ2變 至2λ2時 增 大17.99%；高 階 次(4 階～8 階)模態增長率均低于0.2%，基本不受λ2影響。圖11(b)中，各階次反對稱模態頻率增長均為0，與λ2無關，原因在于在反對稱模態下式15 第 1、3 分 式 中 與 λ2相 關 聯 的 積 分 項結果為0，這反映了反對稱模態下主纜并不能提供相對彈性軸向剛度。

圖11 主纜相對彈性軸向剛度對固有頻率的影響Fig.11 Influence of the relative elastic axial stiffness of the main cable on natural frequencies

3.3.4 吊索相對彈性軸向剛度

圖12 反映了空間索面傾角與是否考慮吊索拉伸效應的兩類連續體頻率差的變化關系。總體而言，不同空間索面傾角下，各階次模態頻率差變化規律基本一致，其中，對稱模態最大頻率差為索面傾角60°時的0.0069 Hz(圖12(a))，反對稱模態最大頻率差為索面傾角90°時的0.0040 Hz(圖12(b))。結果表明，吊索相對彈性軸向剛度與空間索面傾角敏感度甚為微弱。

圖13 給出了 α2、λ2與是否考慮吊索拉伸效應的兩類連續體模型頻率差的變化關系。總體上，CM-Ext 計算得到的頻率均低于CM-InExt，這反映了增大吊索相對彈性軸向剛度會提升部分結構剛度。對于對稱模態而言，如圖13(a)所示，當主纜相對彈性軸向剛度為2λ2時，3S 頻率差達0.0231 Hz；而當主梁相對彈性抗彎剛度為5 α2時，8S 頻率差達0.1088 Hz，其余各階次頻率差均低于0.0125 Hz。對于反對稱模態而言，如圖13(b)所示，各階次頻率差均不受λ2變動影響，當主梁相對彈性抗彎剛度為5 α2時，8AS 頻率差則高達0.2128 Hz，CMExt 得出的頻率6.9633 Hz 也更接近FEM 得出的6.8173 Hz，其余各階次頻率差均低于0.015 Hz。結果表明，吊索相對彈性軸向剛度與主纜相對彈性剛度關聯并不密切，且僅影響低階次對稱模態；與主梁相對彈性抗彎剛度敏感度更為顯著，尤其當 α2較大時，對高階次模態影響較為強烈，反對稱模態尤甚。相比于CM-InExt，CM-Ext 與FEM 計算結果更為吻合，結果也更為準確、可靠。

圖13 主梁相對彈性抗彎剛度、主纜相對彈性軸向剛度與兩類連續體模型(CM-InExt, CM-Ext)頻率差的關系Fig.13 Relationship between relative elastic bending stiffness of the main girder, relative elastic axial stiffness of the main cable and frequencies difference of two types of continuum models (CM-InExt, CM-Ext)

4 結論

本文基于振動形態撓度理論，結合纜-索-梁空間耦合變形方程與相容方程，建立了考慮吊索拉伸效應的空間索面自錨式懸索橋連續體模型；為便于識別其動力特性，通過無量綱處理得到包含6 個無量綱特征參數和空間索面傾角在內的無量綱連續體模型；采用伽遼金求解方法求解模態頻率與振型，結合數值算例和有限元模型驗證其準確性，并對其中特征參數進行敏感性分析。得出以下結論：

(1) 空間索面自錨式懸索橋因其空間纜索耦合特性與子系統間的內部自平衡性與彈性協調性，使得建模分析過程冗長復雜；解析方法基于振動形態撓度理論，結合吊索拉伸效應的纜-索-梁空間耦合變形方程與考慮自平衡性的相容方程推導出可考慮吊索拉伸的無量綱連續體模型；力學機理清晰明確，高效解決了因其特性而造成非線性求解的難題。

(2) 吊索相對彈性軸向剛度χ2與主纜相對彈性軸向剛度λ2關聯并不密切，僅影響低階次對稱模態頻率；而與主梁相對彈性抗彎剛度 α2敏感度更為顯著，尤其 α2較大時，是否考慮吊索拉伸效應將顯著影響高階次模態頻率的準確性，反對稱模態尤甚，故考慮吊索拉伸效應的連續體模型結果更為準確可靠。

(3) 吊索相對彈性軸向剛度χ2與空間索面傾角θ關聯度較為微弱；各階次頻率受傾角的影響甚微，低階次模態頻率增幅隨傾角增大而漸緩，高階次模態頻率則基本不受其影響，原因在于懸索橋面內主纜相對彈性軸向剛度仍近似一致。

(4) 主梁相對彈性抗彎剛度 α2將顯著提升各階次模態頻率，且對高階次對稱模態頻率與各階次反對稱模態頻率影響更為強烈，隨著 α2增大，模態間會出現交叉現象，需在動力設計中引起重視；主纜相對彈性軸向剛度僅對低階次對稱模態影響較為顯著，而對反對稱模態頻率無影響。

與有限元模型相比，本文提出的連續體模型能高效準確地計算不同類型索面自錨式懸索橋的模態參數，進行動力特性的連續參數化敏感性分析，并作為工程初步設計、有限元模型修正和損傷識別的基準解析模型來提供必要前置數據。