基于數據驅動加速的隨機車流-橋梁耦合振動分析方法

楊 干，陳適之，鐘強銘，王俊峰，蔣 鑫，劉時雨

(1.長安大學公路學院，西安 710064；2.重慶城投基礎設施建設有限公司，重慶 400023；3.西安長安大學工程設計研究院有限公司，西安 710064)

作用在公路橋梁上的交通荷載往往呈現出較強的隨機性和地域性[1]。它作為主要活荷載對橋梁結構安全有著深遠影響。目前，為準確評估橋梁在交通荷載下的結構安全，對其可靠度及壽命進行分析預測，往往需要進行大量隨機車流-橋梁耦合振動模擬分析[2?3]。然而，現有的隨機車流-橋梁耦合分析方法的計算效率相對較低，相關評估所需的分析計算過程耗時較久，導致分析結果滯后。因此，探究更為高效的隨機車流-橋梁耦合振動分析方法對橋梁安全評估有著重要意義。

對作用在橋梁上隨機車流的精確模擬，一直被學者廣泛關注。其主要方法是通過收集數據以確定車流關鍵參數，進而采用隨機抽樣、元胞自動機等技術手段實現隨機車流的仿真重現。趙越等[4]通過動態稱重系統(WIM)分車道獲取車流數據，分析車流參數，利用格林希爾茲模型模擬形成高真實度車流。李游等[5]基于WIM 動態稱重系統采集的數據，明確了交通荷載特征及各車道隨機車流差異。劉煥舉等[6]進一步通過采用考慮駕駛人狀態的概率分布方法來確定車輛時距，實現了更微觀的交通流模擬。周永兵等[7]基于傳統的元胞自動機模型，對車流換道、行駛規則、邊界條件、元胞長度等做了進一步細化研究，建立了精細化的隨機車流元胞自動機模型。

隨后，對于隨機車流荷載作用下橋梁響應的精確模擬主要依賴車-橋耦合振動分析技術，常用方法包括直接求解法、分離迭代法和模態綜合法。在此基礎上，學者們提出了不同的隨機車流-橋梁耦合振動響應分析框架。周軍勇等[8]將微觀車流荷載模擬方法與經典車-橋耦合理論進行結合，形成一種精細化的隨機車流-橋梁耦合振動數值分析方法。韓萬水等[9]基于分離迭代法提出了隨機車流-橋梁耦合計算分析框架，并編制了計算程序，成功應用于各隨機車流-橋梁耦合振動相關的橋梁分析評估中[10?11]。針對現實車流的高度隨機性和地域性以及不同橋型、不同路面粗糙度工況，該方法都具有較好的計算精度。但由于計算過程中的子步迭代過程，以及收斂條件的限制，整個評估過程耗時較長。相對于子步迭代法，CHEN等[12]基于整體過程迭代法和實體有限元建立了相應的隨機車流-橋梁耦合分析框架用于橋梁可靠度分析，但也無法避免迭代收斂的求解過程，計算耗時久。為追求更快的評估效率，有學者將隨機車流簡化為等效荷載列，但相應計算精度也會降低[13 ?14]。李巖等[15]聯合模態綜合技術和整體分析法建立了車-橋耦合振動方程，并通過動態更新方程的維度來適應車流的變化，從而建立了一種時變維度的隨機車流-橋梁耦合振動的求解方法。該方法無需步內迭代，但是整體處理流程較為繁瑣，不利于工程推廣應用。也有學者為了快速得到隨機車流下的荷載效應，采用了基于影響線的計算方式，忽略了車-橋耦合引起的動力學效應，但結果精度有限[16?17]。

傳統隨機車流-橋梁耦合振動分析具有時間、空間雙重非線性的特征，計算耗時長，不利于工程直接應用[18]。近些年來，隨著人工智能技術發展，神經網絡算法逐漸興起。其通過針對性的樣本訓練可以讓算法自適應學習到輸入-輸出數據間的深層映射關系，建立起具有特定分析功能的模型，表現出強大的泛化能力，被廣大研究人員所關注。近年來，神經網絡模型及算法被越來越多的學者用來解決相關工程問題。張振浩等[19]使用BP 神經網絡算法對鋼箱梁局部連接細節腐蝕疲勞可靠度進行了預測。YANG 等[20]利用深度學習神經網絡模型并結合數據融合算法實現了車輛荷載的重構。也有很多學者采用特定的神經網絡算法來分析預測橋梁結構的響應[21?23]。但是這些方法往往是針對相對固定的荷載環境或結構，難以泛化應用于隨機車流作用下的車-橋耦合振動分析。

為此，在傳統隨機車流-橋梁耦合振動響應計算分析方法的基礎上，本文提出了一種基于BiLSTM模型加速的隨機車流-橋梁耦合振動分析方法。文章具體內容如下：首先對車-橋耦合系統以及BiLSTM模型的基本理論進行闡述；隨后提出基于BiLSTM加速的隨機車流-橋梁耦合振動響應分析流程及框架；最后，選擇1×16 m 空心板橋、1×40 m T 梁橋、4×20 m 箱梁橋以及4×40 m 箱梁橋為算例，基于相關改進評價指標，對本文方法在不同工況下的計算精度和計算效率進行全面驗證。

1 車-橋耦合系統模擬

1.1 橋梁及車輛模型

在車-橋耦合模擬中，橋梁模型通常采用經典的梁格模型或精細化實體有限元模型。精細化實體有限元橋梁模型節點數量多，相應的有限元求解矩陣較大，對計算力要求高，而空間梁格模型在保證一定精度的前提下，在計算效率方面有很大的優勢，故空間梁格模型是分析隨機車流下車-橋耦合振動響應最常用的橋梁模型。對于車輛的動力學模型，經歷了從二維到三維逐步精細化的過程。目前，常用的三維多質點車輛模型中，將車輪和車體看作獨立剛體，車輪只考慮豎向自由度，忽略車體在行駛方向上的自由度[12]。

1.2 路面粗糙度模擬

路面粗糙度是車-橋耦合振動最主要的激勵源。在數值模擬過程中，一般假設路面粗糙度為平穩高斯隨機過程，可表示為式(1)：

式中：S(ω)為路面粗糙度的功率譜密度函數；Ar為粗糙系數，根據路況不同取值不同；ω為分散頻率；ω0為截斷頻率；指數ω1 和ω2 取值范圍為1.36～2.28；N為較大的正整數；?ω為頻率的增量；φk為第k個頻率對應的相位。

1.3 數值求解方法

隨機車流-橋梁耦合響應數值求解方法中，子步迭代法最為經典。其分別從橋梁子系統和車輛子系統出發，基于車輛-橋梁接觸點的位移協調關系和力平衡條件建立車-橋耦合動力學方程，見式(3)和式(4)。進而，基于Newmark-β 等數值積分方法來求解。這種方法較為穩定，被廣泛采用，但因需要反復迭代，耗時往往較長。

式中：Mb、Cb、Kb分別為橋梁子系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；u¨b、u˙b、ub為橋梁子系統的加速度、速度和位移列向量；Mv、Cv、Kv分別為車輛子系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；u¨v、u˙v、uv為車輛子系統的加速度、速度和位移列向量；Fbg、Fvg為橋梁和車輛自重列向量；Fbv、Fvb為車-橋之間的相互作用力列向量；上述各變量的具體表達可參見文獻[12]。

2 雙向長短期記憶(BiLSTM)模型

隨機車流-橋梁耦合時變系統的響應存在較強的時間相關性，具有典型的時間序列特征。在深度學習領域，循環神經網絡(RNN)通過學習時序數據的前后映射關系，可以實現基于前序數據的后序數據預測[24]。但RNN 在學習過程中，對較遠時間步的數據往往無法建立有效的依賴關系，故對具有長程依賴關系的時序數據的預測效果不佳。RNN 在經歷多層訓練后，還容易出現梯度消失或梯度爆炸的現象。為解決這些問題，長短期記憶模型(LSTM)被提出[25]。它已被廣泛應用于各類時序數據的遞推預測中[26?28]，成為最成功的時序預測模型之一。其通過“門”的結構來調整循環神經網絡中每個時刻的狀態，其總體框架包括了遺忘門、輸入門和輸出門三個部分，見圖1。其中遺忘門和輸入門通過選擇性的丟失無效的舊信息和保留有效的新信息來使得LSTM 具備對較遠時間步數據的“記憶”，進而可以有效的處理長程時序信息。遺忘門、輸入門和輸出門的處理過程可用下列公式表示：

圖1 LSTM 結構圖Fig.1 Architecture of LSTM

式中：ht?1為t?1 時刻的隱藏狀態；xt為此時刻的輸入；ft為遺忘門的輸出，它也是舊信息重要程度的衡量因子；it為新信息的被保留的概率；為t時刻的候選記憶細胞；Ct為t時刻的記憶細胞；ot為t時刻輸出層的輸出；ht為t時刻的隱藏狀態;yt為當前時刻的網絡輸出；σ( )為Sigmoid 函數；?為Hadamard 積；Wf、Wi、Wc、Wo和Wy為權重參數；bf、bi、bc、bo和by為偏置參數。

在LSTM 的基礎上，雙向長短期記憶模型(BiLSTM)可以進一步充分利用時間序列數據的前后有效信息，更適合處理具有高隨機性的時間序列數據[29]。給定時序數據x=[x1,x2, …,xT]，基于式(5)～式(10)，可以計算出從時刻1～時刻T的前向隱藏層。同理，后向隱藏層也可以從時刻T～時刻1 被計算出來。通過整合，就可以得到BiLSTM 的隱藏層輸出，圖2 給出了BiLSTM 的網絡結構示意圖。

圖2 BiLSTM 結構圖Fig.2 Architecture of BiLSTM

3 基于BiLSTM 模型提升的隨機車流-橋梁耦合振動響應分析框架

傳統方法求解隨機車流-橋梁耦合動力響應，因涉及大量迭代過程與矩陣更新，需要較強的計算力，耗時較長。然而，基于數據驅動的BiLSTM模型可以根據前序有限數據，直接預測出后序的時間序列，十分適用于快速預測計算車-橋耦合時程響應?；诖?，本節提出了基于BiLSTM 提升的隨機車流-橋梁耦合振動響應分析框架，其流程見圖3。首先，利用基于車-橋耦合理論的分析程序計算有限時間內的隨機車流下橋梁初始動態響應，其結果的準確性和可靠性已經被多次驗證[12]，將這些樣本作為BiLSTM 模型的初始輸入。隨后利用訓練好的BiLSTM 模型直接遞歸預測出后序的橋梁動態響應。本文以100 s 為一個基礎計算段進行遞歸預測，段后自主循環，進而在保證計算精度和效率的情況下，實現長期隨機車流作用下的橋梁響應計算。下文僅針對一個計算階段內的分析情況進行。

圖3 計算流程圖Fig.3 The process of calculation

4 實例應用分析

4.1 橋梁概況

為更好的驗證本文所提出方法的魯棒性，選擇1×16 m 空心板橋、1×40 m 的T 梁橋、4×20 m箱梁橋以及4×40 m 箱梁橋為算例，其均為預應力混凝土橋梁，典型橫斷面見圖4。在ANSYS 中基于梁單元建立起相應的空間梁格模型，并用耦合約束來模擬鉸縫，通過施加初始應力的方式來考慮預應力作用。

圖4 典型橫斷面圖 /cmFig.4 Typical cross section

4.2 隨機車流-橋梁耦合響應計算

4.2.1 隨機車流的模擬

本文為了保證隨機車流的高真實性，基于現場WIM 的實測數據作為本文計算所用的隨機車流模型，并假設車輛在橋梁上不進行變速和變道。車流數據來源為某高速上WIM 收集的為期一個月的記錄數據，其中車型的占比如圖5。從數據中隨機抽取了三種不同密度的車流，分別為密集車流、正常車流和稀疏車流，其劃分標準為表1。圖6展示了三種隨機車流在縱向5000 m 距離上的分布。

表1 隨機車流類型Table 1 The types of random traffic

圖5 車型占比情況Fig.5 Ratio of different vehicles

圖6 隨機車流分布Fig.6 Random traffic distribution

4.2.2 計算分析設置

本文在基于車-橋耦合理論計算隨機車流下的橋梁響應時，時間步長設置為0.01 s。圖7 展示了1 ×16 m 空心板橋在正常隨機車流工況下100 s內的主梁跨中撓度時程?？梢钥闯?，考慮車-橋耦合的動力效應與否對橋梁的響應時程有顯著的影響。因此，探究準確高效的隨機車流-橋梁耦合計算方法是十分必要的。

圖7 不同方法計算結果的對比Fig.7 Comparison of calculation results through different methods

4.3 BiLSTM 模型精度量化指標

為了更好的量化本文提出BiLSTM 模型的效果，需要引入相應的評價指標。評價指標包含有量綱指標和無量綱指標兩大類。本節在傳統評價指標的基礎上，提出了針對性更強的改進指標。

4.3.1 傳統評價指標

有量綱指標難以進行橫向的比較，本文采用無量綱指標進行評價。

傳統無量綱指標包含平均絕對百分比誤差MAPE(Mean absolute percentage error)以及決定系數R2(coefficient of determination)。MAPE 是 衡 量模型準確性的統計指標，計算公式為式(12)。R2反應了自變量對因變量的解釋程度，它的取值范圍為[0, 1]，計算公式為式(13)：

4.3.2 改進指標

用傳統的評價指標進行評估時，每一個時間步產生的誤差都具有相同的權重，而實際上峰值處的預測精度對本文更具有價值。故本文提出相應的改進指標。以MAPE 為例，引入權重wi，稱為加權平均絕對百分比誤差WMAPE(Weighted mean absolute percentage error)，見式(14)：

在引入的權重函數中，越小的橋梁響應其誤差的權重越小，權重的大小見式(15)：

式中，|y|max為真實樣本中的絕對最大值。

同理，提出了加權決定系數WR2，見式(16)：

此外，還引入了峰值絕對誤差PAE(Peak absolute error)，來評價模型在峰值點處的誤差水平，見式(17)：

式中，|y?|max為預測值中的絕對最大值。

4.4 隨機車流-橋梁耦合振動響應遞歸預測

模型的輸入數據是橋梁響應的時程序列Di=[di?m?1,di?m,di?m+1, …,di]，輸出為下一時刻的響應值di+1。接著將di+1作為已知數據，組成下一時 刻 的 輸 入 時 程 序 列Di=[di?m,di?m+1,di?m+2, …,di+1]，進而得到后一時刻的響應值di+2。如此遞推，就可以實現整個時程數據的預測。BiLSTM 模型在對時程序列數據的學習過程中，得到了該時序數據反映的物理現象在高維空間內的隱含表達式。假設這個映射關系記為f( )，則上述過程可以記為：

式中，m為滑動窗口的大小，它表示遞推預測中需要輸入的時間序列的長度?；瑒哟翱谠叫?，遞推預測的效率就會更高。然而，小的滑動窗口很難從較短的時間序列內提取到有效信息，減低了遞推預測的準確率；大的滑動窗口，容易累計遞推誤差，造成結果的發散。因此，在保證效率和精度的前提下，需要設定合適的滑動窗口大小來獲取充備的信息。綜合考慮時間步長和遞推精度，經過多次對比分析后，本文的滑動窗口選擇為60 步，即本文的輸入數據維度為[60, 1]。

本文采用的模型結構為堆疊式結構。為了使得特征具有相同的度量尺度，將輸入的數據進行歸一化處理。然后，將其作為輸入，經BiLSTM網絡以及全連接層映射，最終通過歸一化的反算得到遞歸預測的最終結果，整個過程如圖8 所示。為了實現更高的收斂速度，在算法訓練中采用了Adam 優化器，其對應的學習率為0.001。隱藏層的神經元個數為30 個。在前向和反向傳播中，整個數據集進行了40 輪的訓練迭代，即Epochs 為40。整個訓練過程基于Tensorflow 機器學習平臺，在搭載有Intel(R) Core(TM) i7-10750H CPU @ 2.60GHz 和NVIDIA GeForce GTX 1070Ti GPU 的個人計算機上完成。

圖8 基于BiLSTM 的預測過程Fig.8 The prediction process based on BiLSTM

BiLSTM 模型的數據集由第1 節的車-橋耦合數值模擬提供。在預測過程中，為兼顧計算效率與精度，需要優化數值模擬生成數據的占比。在相對應的模型訓練過程中，該比例即為訓練集和測試集間的比例。為確定適宜的比例，將訓練集和測試集的劃分比例分成了5 組，分別是4∶6、5∶5、6∶4、7∶3、8∶2。表2 列出了BiLSTM模型在一個計算工況中，不同比例訓練集下的評價指標值。從結果可以看出，當訓練集和測試集的比例為6∶4 時，模型的預測效果已可以滿足要求。故在一個計算階段內，設定前60 s 的橋梁響應數據由車-橋耦合數值模擬生成，隨后由BiLSTM模型完成后40 s 的遞歸預測。圖9 為BiLSTM 在一個計算工況的訓練中損失函數的下降曲線圖。從圖9 中可以看出，在迭代次數為10 次時，損失函數已經收斂，未出現過擬合和欠擬合的情況。

表2 不同比例訓練集的模型評價結果Table 2 Model evaluation results of different proportions of training sets

圖9 損失函數變化趨勢Fig.9 Tendency of loss function

5 方法檢驗

5.1 計算工況的設置

在4.2.1 節中已經給出三種不同的隨機車流工況，即密集車流、正常車流以及稀疏車流，在此分別記為V1、V2 和V3。路面粗糙度是車-橋耦合振動中的重要激勵源。國際標準化組織(ISO)根據路面狀況由好到差，依次將路面劃分為A～H 共計8 個等級，本文選擇了A、C 和E 三種路面粗糙度等級進行分析，并用好(G)、一般(M)、差(P)進行描述，典型粗糙度樣本如圖10 所示。共設計了五種檢驗工況：V1_M、V2_M、V3_M、V2_G 以及V2_P。對于每一個計算工況，按照上述的模型參數以及訓練方法，得到最為適宜的模型權重。在實際的應用中，應首先判斷出相應的計算工況，并選擇出最為適宜的權重，進而得到最佳的計算結果。圖11 展示了BiLSTM 模型在一個計算時段內，V1_M 工況下對上述四座橋梁的撓度預測效果。從圖11 中可以看出，計算值和預測值較為吻合。

圖10 路面粗糙度模擬結果Fig.10 Road surface roughness simulation results

圖11 撓度預測結果Fig.11 Prediction results of the deflection

5.2 計算結果分析

不同的響應類型反映了橋梁的不同受力狀態。在本文的算例中，對于簡支梁，對其跨中撓度、正彎矩以及支點剪力進行分析；對于連續梁，對邊跨L/4 處的撓度、正彎矩以及邊跨支點處的負彎矩和剪力進行分析。圖12 和圖13 分別給出了模型在四座橋梁不同工況下，對不同響應類型遞推預測結果的WAPE、WR2和PAE 值。從圖中可以看出，本文提出的方法在不同的橋梁、不同的計算工況下，對不同的響應類型，其遞推預測結果的WAPE 均小于3.2%，PAE 均小于2.9%，WR2均大于0.98。這說明本文所提出的方法具有良好的精度和魯棒性。

圖12 不同響應類型下的模型的WAPE、WR2 值Fig.12 The values of WAPE、WR2 of the model under different types of responses

圖13 不同響應類型下的模型的PAE 值Fig.13 The values of PAE of the model under different types of responses

5.3 計算效率對比

本節對所提出方法的計算效率進行討論分析。對于上述四座橋梁，考慮密集、正常和稀疏三種隨機車流工況，采用傳統隨機車流-橋梁耦合數值模擬和本文提出的方法分別計算，路面粗糙度選擇為一般。其計算用時對比情況見表3。從表3 中可以看出，本文所提出的方法較傳統方法的計算效率平均提升了37.98%，這說明本方法在提升計算效率上有顯著的效果。

表3 計算效率對比Table 3 Comparison of calculation efficiency

6 結論

本文以車-橋耦合振動響應計算分析方法為基礎，提出了一種基于BiLSTM 模型、數據驅動加速的隨機車流-橋梁耦合模擬分析方法，并選取四種常見類型的橋梁，對本方法在不同路面粗糙度、不同隨機車流作用下的橋梁響應計算結果進行測試，得到以下結論：

(1)本方法在不同車流密度、不同的路面粗糙度作用下對橋梁動態響應都有很好的預測精度，具有很好的魯棒性。

(2)本方法可以在WAPE 小于3.2%，PAE 小于2.9%以及WR2大于0.98 的情況下，將計算效率平均提高37.98%。即該方法可以在保證計算精度的情況下，顯著提高隨機車流-橋梁耦合振動的分析計算效率。

(3)本文提出的BiLSTM 模型還可與其他的隨機車流-橋梁耦合振動計算系統進行融合，進而提升計算效率，但目前僅限于隨機車流處于正常演化的工況下。對于隨機車流的異常突變，比如突發事件造成的擁堵，本方法將不再適用。未來還需針對性的進行改進。

(4)本文提出的方法在橋梁結構快速分析評估方面擁有良好的應用潛力，但其可靠性仍需更進一步地驗證。