3-UCU并聯(lián)驅(qū)動(dòng)式下肢外骨骼機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

陳鑄　李恒

摘要：設(shè)計(jì)了一款并聯(lián)驅(qū)動(dòng)式下肢外骨骼機(jī)構(gòu)，髖關(guān)節(jié)采用3-UCU型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，膝關(guān)節(jié)采用UCU-R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，踝關(guān)節(jié)為欠驅(qū)動(dòng)球鉸機(jī)構(gòu)，計(jì)算出機(jī)構(gòu)自由度并進(jìn)行奇異性分析，機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)不存在正、逆解奇異。采用多體系統(tǒng)理論對(duì)外骨骼機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，推導(dǎo)出同一坐標(biāo)系下各部件上任意參考點(diǎn)的相對(duì)位置計(jì)算方法，建立機(jī)構(gòu)位姿正逆解數(shù)學(xué)模型，借助MATLAB軟件對(duì)外骨骼并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間和驅(qū)動(dòng)軸行程進(jìn)行了數(shù)學(xué)編程仿真分析，結(jié)果顯示，機(jī)構(gòu)工作空間形狀緊湊連續(xù)，沒有明顯空洞，因此該機(jī)構(gòu)工作性能良好。采用PSO算法進(jìn)行位姿正解，驗(yàn)證了正、逆解算法的結(jié)果一致性。

關(guān)鍵詞：3-UCU；并聯(lián)驅(qū)動(dòng)；下肢外骨骼；運(yùn)動(dòng)學(xué)；奇異性；工作空間；PSO算法

中圖分類號(hào)：TH112 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.03.011

文章編號(hào)：1006-0316 （2023） 03-0072-09

Kinematic Analysis of 3-UCU Parallel Driven Lower Limb Exoskeleton Mechanism

CHEN Zhu，LI Heng

（ School of Mechanical Engineering， Sichuan University， Chengdu 610065， China ）

Abstract：A parallel driven lower limb exoskeleton mechanism is designed by using 3-UCU parallel mechanism for the hip joint， UCU-R parallel mechanism for the knee joint ， and underactuated spherical joint mechanism for the ankle joint. The degree of freedom of the mechanism is calculated and the singularity is analyzed. There is no forward and inverse singularity in the workspace. The multi-body system theory is used to analyze the motion of exoskeleton mechanism， and the relative position calculation method is adopted to derive any reference point on each component in the same coordinate system. The forward and inverse mathematical model of the mechanism is established. The mathematical programming simulation analysis of the workspace and the drive shaft stroke of exoskeleton parallel mechanism is carried out by using MATLAB software. The results show that the shape of the workspace of the mechanism is compact and continuous without obvious cavity， so the mechanism has good working ability. PSO algorithm is applied to the position forward solution， and the consistency of the results of the forward and inverse solution algorithm is verified.

Key words：3-UCU；parallel driven；lower limb exoskeleton；kinematic；singularity；workspace；PSO algorithm

外骨骼機(jī)器人是一種適應(yīng)人體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的可穿戴式機(jī)器人，常用以增強(qiáng)人體運(yùn)動(dòng)體能、提供運(yùn)動(dòng)防護(hù)、幫助老弱殘障人士順利行走、輔助康復(fù)訓(xùn)練以及負(fù)重搬運(yùn)操作等[1]。外骨骼機(jī)器人的關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)及驅(qū)動(dòng)方式，決定其運(yùn)動(dòng)形式和性能、控制方式及策略，是研究過程中需要首先解決的關(guān)鍵問題之一[2]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)剛度大、動(dòng)力性能好、輸出精度高、自重負(fù)荷比小、控制容易等優(yōu)點(diǎn)，將并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用到外骨骼機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中具有較好的實(shí)用優(yōu)勢(shì)和發(fā)展?jié)摿Γ部膳c串聯(lián)機(jī)器人互補(bǔ)，擴(kuò)展外骨骼機(jī)器人的應(yīng)用場景[3-4]。

機(jī)構(gòu)位姿正逆解是外骨骼機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)控制的研究基礎(chǔ)。并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿逆解相對(duì)容易，而正解通常為非線性問題，求解難度較大，可采用數(shù)值優(yōu)化方法對(duì)機(jī)構(gòu)位姿正解進(jìn)行研究。優(yōu)化方法將非線性方程組的求解轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題求解，主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[5]、遺傳算法[6]和粒子群算法[7]。其中優(yōu)化算法理論上可以根據(jù)機(jī)構(gòu)的約束關(guān)系得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的全部位置正解，但對(duì)算法設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)有一定要求。

通過對(duì)機(jī)構(gòu)位姿正解可求得機(jī)構(gòu)的工作空間，用于分析機(jī)構(gòu)工作靈活性、確定驅(qū)動(dòng)部件行程范圍、避開機(jī)構(gòu)奇異形位等[12-14]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間相比同行程的串聯(lián)機(jī)構(gòu)較小，常采用數(shù)值法求解，在一定精度范圍內(nèi)可作為設(shè)計(jì)參考。

對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行位姿正逆解，需先建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，便于機(jī)構(gòu)描述和計(jì)算，此處機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法采用多體系統(tǒng)理論。多體系統(tǒng)是由多個(gè)剛體或柔體通過某種方式連接而成的機(jī)械系統(tǒng)，在多體系統(tǒng)中根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)將任一個(gè)體通過低序體陣列追溯到慣性參考系中，得到它在慣性參考坐標(biāo)系中的位置和運(yùn)動(dòng)關(guān)系[8]。大量實(shí)踐證明，多體系統(tǒng)理論能較為全面綜合地對(duì)復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析[9]。

1 建模理論

采用經(jīng)典的多體系統(tǒng)理論建立外骨骼機(jī)構(gòu)的綜合運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。根據(jù)所設(shè)計(jì)的外骨骼結(jié)構(gòu)空間形狀與幾何尺寸關(guān)系，建立用于全局參考的基準(zhǔn)坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系?；鶞?zhǔn)坐標(biāo)系建立在相對(duì)人體骨盆靜止的部件上，局部坐標(biāo)系建立在其他可獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的部件上。在各運(yùn)動(dòng)部件上依次建立基準(zhǔn)及局部坐標(biāo)系S1、S2、S3、S4，其原點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)部件上關(guān)節(jié)球心初始位置，采用右手笛卡爾坐標(biāo)系，且初始位置各局部坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸方向與基準(zhǔn)坐標(biāo)系的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸方向一致。

多體系統(tǒng)中相鄰個(gè)體之間的局部坐標(biāo)系變換使用Denavit-Hartenberg齊次變換矩陣描述，局部坐標(biāo)系中的位置和方向關(guān)系均可通過坐標(biāo)變換矩陣轉(zhuǎn)化為基準(zhǔn)坐標(biāo)系S1中的相應(yīng)關(guān)系。多體系統(tǒng)中的變換矩陣包括理想位置變換矩陣 、位置誤差變換矩陣 、理想運(yùn)動(dòng)變換矩陣 以及運(yùn)動(dòng)誤差變換矩陣 ，則坐標(biāo)系Si到坐標(biāo)系Sj的變換矩陣可以表示為：

式中，每個(gè)矩陣都可以由基本的運(yùn)動(dòng)變換矩陣或誤差矩陣得到。

根據(jù)基本運(yùn)動(dòng)變換矩陣可知，若坐標(biāo)系Si先沿X軸平移距離x，再沿Y軸平移距離y，最后沿Z軸平移距離z，按先繞Z軸、再繞Y軸、最后繞X軸的順序分別旋轉(zhuǎn) 、 、 角度得到坐標(biāo)系Sj，則Si到Sj的平移旋轉(zhuǎn)綜合變換矩陣為：

式中：c為cos；s為sin。

系統(tǒng)中個(gè)體Bi沿著低序體Bj的特定坐標(biāo)軸方向做平移運(yùn)動(dòng)時(shí)，其在各軸方向上的實(shí)際位移與理想位移存在三個(gè)軸方向上的位置誤差 、 、 ，同時(shí)還存在繞三個(gè)軸旋轉(zhuǎn)的角度誤差 、 、 ；以及制造安裝的精度導(dǎo)致裝配完成后存在位置誤差 、 、 ，垂直度誤差 、 、 ，相鄰個(gè)體部件裝配完成的坐標(biāo)系原點(diǎn)距離Sx、Sy、Sz，在建模時(shí)將垂直度誤差當(dāng)做轉(zhuǎn)角誤差元素處理。將以上誤差代入基本運(yùn)動(dòng)變換矩陣中，并近似取cos ＝1、sin ＝ ，忽略 高階無窮小量，得到B2沿著B1運(yùn)動(dòng)時(shí)的4個(gè)變換矩陣如式（3）～（6）所示。

式中： 、 為肢體末端固定參考點(diǎn)位置齊次向量； 為 轉(zhuǎn)換為基準(zhǔn)坐標(biāo)系下理論位置齊次向量； 為 轉(zhuǎn)換為基準(zhǔn)坐標(biāo)系下實(shí)際位置齊次向量；齊次向量末元素1參與矩陣計(jì)算；n為肢體運(yùn)動(dòng)部件數(shù)；i＝1， 2， …， n－1。

2 外骨骼機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

2.1 機(jī)構(gòu)描述

根據(jù)人體骨骼結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)特性，可將單腿骨骼簡化為SRS型連桿機(jī)構(gòu)（SRS表示由2個(gè)球副S和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R按字母順序串聯(lián)而成的運(yùn)動(dòng)鏈），分別對(duì)應(yīng)髖關(guān)節(jié)球面副3個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度[16]、膝關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)副1個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度、踝關(guān)節(jié)球面副3個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，單邊下肢一共7個(gè)自由度。雙下肢結(jié)構(gòu)左右對(duì)稱，如圖1所示。

為保證隨人體運(yùn)動(dòng)的靈活性，外骨骼機(jī)構(gòu)自由度應(yīng)不小于人體骨骼自由度。以股骨運(yùn)動(dòng)為例，骨盆為機(jī)架，股骨繞髖關(guān)節(jié)球心作一定范圍內(nèi)的3自由度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，由于人體肌肉等軟組織干涉限制，外骨骼機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)無法與人體骨骼關(guān)節(jié)球心重合，股骨固定部件需相對(duì)骨盆固定部件有空間6自由度，才能滿足協(xié)調(diào)隨動(dòng)需求。理想簡化情況下膝關(guān)節(jié)只有一個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，可使外骨骼膝關(guān)節(jié)軸線與其共線，即可滿足隨動(dòng)需求。根據(jù)以上思路設(shè)計(jì)了下肢外骨骼機(jī)構(gòu)簡圖，如圖2所示[10]，其中髖板連接外骨骼骨盆環(huán)與人體骨盆相對(duì)固定，作為機(jī)架，髖板與股骨板之間為3-UCU型并聯(lián)機(jī)構(gòu)（UCU表示由2個(gè)虎克鉸U副和1個(gè)圓柱C副按字母順序串聯(lián)而成的運(yùn)動(dòng)鏈），提供5個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度和1個(gè)直線自由度，易知股骨板相對(duì)髖板有6個(gè)空間自由度。并聯(lián)UCU鏈為冗余約束，可任意擴(kuò)展數(shù)量或位置而不增加股骨板的自由度，便于布置驅(qū)動(dòng)軸。股骨板與脛骨板之間為UCU-R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)（即1個(gè)UCU鏈和1個(gè)R副并聯(lián)），脛骨板相對(duì)股骨板有1個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度。脛骨板與鞋板之間通過球鉸連接，有3個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，由于踝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)幅度和機(jī)構(gòu)布置空間較小，采用欠驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，鞋板隨足部運(yùn)動(dòng)時(shí)僅保證鞋板支撐面與足底平行，以滿足直立行走等大部分運(yùn)動(dòng)情況下的支撐需求。根據(jù)修正G-K（Grubler-Kutzbach，格魯布利爾準(zhǔn)則與庫茲貝奇準(zhǔn)則）公式計(jì)算為[17]：

式中：F為下肢外骨骼機(jī)構(gòu)的自由度；d為機(jī)構(gòu)階數(shù)；n為構(gòu)件總數(shù)；g為運(yùn)動(dòng)副總數(shù)； 為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)；v為機(jī)構(gòu)中并聯(lián)冗余約束； 為機(jī)構(gòu)局部自由度。

已知：d＝6，n＝8，g＝14， ＝28，v＝24，ζ＝0。

計(jì)算得：F＝10。

即，整個(gè)下肢外骨骼機(jī)構(gòu)需要10個(gè)原動(dòng)驅(qū)動(dòng)軸才能完全確定機(jī)構(gòu)姿態(tài)。

而此處踝關(guān)節(jié)為欠驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，則需股骨板和脛骨板上共7個(gè)驅(qū)動(dòng)軸。

2.2 坐標(biāo)系建立

以人體髖關(guān)節(jié)球心連線中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直立狀態(tài)下，豎直向上為z軸方向、水平向人體右側(cè)為x軸方向、水平向前為y軸方向建立骨盆基準(zhǔn)坐標(biāo)系S1。右股骨坐標(biāo)系S2原點(diǎn)在股骨頭球心、右脛骨坐標(biāo)系S3原點(diǎn)在膝關(guān)節(jié)球心（膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)簡化為單旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）、右足坐標(biāo)系S4原點(diǎn)在踝關(guān)節(jié)球心。類似地有左股骨坐標(biāo)系S2L、左脛骨坐標(biāo)系S3L、左足坐標(biāo)系S4L。

理想穿戴情況下，外骨骼髖板部件與人體骨盆相對(duì)位置固定，外骨骼基準(zhǔn)坐標(biāo)系Sp與人體骨盆坐標(biāo)系S1重合。根據(jù)零部件結(jié)構(gòu)形狀，右髖板坐標(biāo)系SHip原點(diǎn)在髖板關(guān)節(jié)球心，右股骨板坐標(biāo)系SThigh原點(diǎn)在股骨板頭關(guān)節(jié)球心，右脛骨板坐標(biāo)系STibia原點(diǎn)在脛骨板頭關(guān)節(jié)球心，右鞋板坐標(biāo)系SShoe原點(diǎn)在鞋頭關(guān)節(jié)球心。類似地有左肢部件坐標(biāo)系SHipL、SThighL、STibiaL、SShoeL。根據(jù)零部件尺寸、裝配關(guān)系和人體運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)確定外骨骼各機(jī)構(gòu)局部坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣[13-15]。如圖3、圖4所示。

2.3 參考點(diǎn)與驅(qū)動(dòng)軸長度

為描述股骨板運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并假定其與人體股骨運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一致以便計(jì)算并聯(lián)驅(qū)動(dòng)軸的長度，先選定股骨板上一參考點(diǎn)P，可令其位于股骨板上靠近膝關(guān)節(jié)固定環(huán)位置。參考點(diǎn)在股骨坐標(biāo)系中的位置 由股骨板固定。根據(jù)股骨繞骨盆旋轉(zhuǎn)的角度 、 、 和股骨頭球心在骨盆坐標(biāo)系中的位置 ，可得：

式中： 為參考點(diǎn)在骨盆坐標(biāo)系中的位置。

股骨板與骨盆之間3個(gè)直線驅(qū)動(dòng)軸 、 、 （下標(biāo)ABC表示并聯(lián)的不同軸），在骨盆上連接端點(diǎn) ＝ 、 ＝ 、 ＝ ，其中 、 表示 與S1、Sp部件連接點(diǎn)。在股骨板上連接端點(diǎn) ＝ － 、 ＝ － 、 ＝ － ，其中 為 與SThigh部件連接點(diǎn)距離、 為S2與SThigh原點(diǎn)距離， 、 可在初始狀態(tài)下由股骨板結(jié)構(gòu)尺寸和股骨板頭與髖關(guān)節(jié)距離測得，轉(zhuǎn)換到同一坐標(biāo)系下計(jì)算驅(qū)動(dòng)軸長度，為：

同理，脛骨板與股骨板之間1個(gè)直線驅(qū)動(dòng)軸 ，在股骨板固定環(huán)上連接端點(diǎn) ＝ － ，在脛骨板上連接端點(diǎn) ＝ ，在同一坐標(biāo)系下計(jì)算驅(qū)動(dòng)軸長度，為：

2.4 機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)軸逆解

外骨骼機(jī)構(gòu)的位姿逆解即根據(jù)人體下肢各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度 、 、 （i＝1， 2， 3，j＝i＋1）和人體與機(jī)構(gòu)尺寸關(guān)系，求得人體運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換矩陣及各關(guān)節(jié)空間位置，進(jìn)而求得機(jī)構(gòu)各驅(qū)動(dòng)軸定位數(shù)值的過程。反之，通過機(jī)構(gòu)各驅(qū)動(dòng)軸直線或旋轉(zhuǎn)行程求得人體下肢各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度的過程為位姿正解。

由于參考點(diǎn)通過連接件與人體骨骼在骨骼關(guān)節(jié)坐標(biāo)系中相對(duì)位置固定，人體骨骼正常狀態(tài)下只相對(duì)人體關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)而不會(huì)相對(duì)參考點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，在參考點(diǎn)位置固定時(shí)，人體骨骼理論上只能以人體關(guān)節(jié)球心與參考點(diǎn)連線為軸線旋轉(zhuǎn)，在實(shí)際情況下由于人體骨骼、肌肉生理構(gòu)造與外骨骼關(guān)節(jié)部件的運(yùn)動(dòng)干涉，這種旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)范圍很小且阻力臂較大，可以作為欠約束的冗余自由度，由人體關(guān)節(jié)或其他不承受主要負(fù)載的運(yùn)動(dòng)副約束[11]。則參考點(diǎn)位置與參考點(diǎn)連接件相對(duì)肢體部件的三維角度，可以是由人體運(yùn)動(dòng)約束確定的完全映射關(guān)系，只需通過3個(gè)驅(qū)動(dòng)軸定位數(shù)值確定參考點(diǎn)位置，即可通過映射關(guān)系確定參考點(diǎn)連接件的3個(gè)旋轉(zhuǎn)約束角度，這樣就可減少自由驅(qū)動(dòng)數(shù)量，減少運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求解的計(jì)算量。

實(shí)際機(jī)構(gòu)中，外骨骼的髖板部件和骨盆環(huán)與人體骨盆相對(duì)位置固定，外骨骼骨盆環(huán)坐標(biāo)系與人體骨盆基準(zhǔn)坐標(biāo)系重合，右側(cè)下肢關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)軸逆解方程為：

式中：af、bt、gm為對(duì)于特定人體的映射關(guān)系。

式（13）左邊為各驅(qū)動(dòng)軸直線及角度位置。由于股骨板、肱骨板參考點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)約束角度 、 、 是通過3個(gè)驅(qū)動(dòng)軸確定的映射關(guān)系，則af、bt、gm可通過實(shí)驗(yàn)采集作為初始參數(shù)。

2.5 機(jī)構(gòu)奇異性分析

機(jī)構(gòu)的奇異位形是指在運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)極限點(diǎn)、死點(diǎn)、增加或失去自由度等導(dǎo)致機(jī)構(gòu)不穩(wěn)定或失去控制的情況，當(dāng)機(jī)構(gòu)處于奇異形位時(shí)速度反解不存在，且其對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣行列式為0。以髖關(guān)節(jié)3-UCU并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，有式（14）。

式中： 為以人體關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角表示的末端執(zhí)行廣義速度； 為各并聯(lián)支鏈驅(qū)動(dòng)軸伸縮速度；J為機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行速度對(duì)各支鏈驅(qū)動(dòng)軸速度的一階影響系數(shù)矩陣，即雅可比矩陣； 和 分別為機(jī)構(gòu)的逆、正雅可比矩陣。

根據(jù)機(jī)構(gòu)雅克比矩陣的奇異性，可將并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異位形分為三類[18]：

式中： 、 、 、 、 、 分別為3個(gè)驅(qū)動(dòng)軸兩端點(diǎn)在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系中初始位置向量； 為旋轉(zhuǎn)位移矩陣。 ～ 表示根據(jù)式（18）分離 后的未知矩陣元素。

可以看出，機(jī)構(gòu)的逆雅可比矩陣的行列式不可能為0，故需以正雅可比矩陣為基礎(chǔ)分析機(jī)構(gòu)的奇異位形[19]。由于正雅克比矩陣的解析解比較復(fù)雜，采用迭代優(yōu)化法求機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)軸行程范圍內(nèi)的所有位姿數(shù)值正解，見3.2節(jié)，進(jìn)而通過同一位姿的不同速度取值解得正雅克比矩陣J2各項(xiàng)元素?cái)?shù)值解，速度取值以L和X的微分增量近似表示。計(jì)算結(jié)果顯示，在機(jī)構(gòu)的工作空間內(nèi)，不存在相應(yīng)的驅(qū)動(dòng)軸長度L和位姿X能夠滿足det（J2）≤10-5。因此，該機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)不存在正解奇異。

3 測量尺寸與仿真實(shí)驗(yàn)

上一節(jié)公式中可通過結(jié)構(gòu)尺寸測得的數(shù)據(jù)，及可假定的人體和裝配參數(shù)，如表1所示。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)測得各驅(qū)動(dòng)軸 、 、 、 、 、 值，可繪制各個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)取值點(diǎn)的映射空間，映射關(guān)系也可由機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解得出。

3.1 逆解仿真與驅(qū)動(dòng)軸行程范圍

已知3-UCU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和末端執(zhí)行器的位姿 ，求解各驅(qū)動(dòng)軸長度 ，即為運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，其數(shù)學(xué)模型為：

根據(jù)人體髖關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)限制給定取值范圍為 ∈[-20°， 110°]、 ∈[-60°， 20°]、 ∈[-20°， 20°]， 、 值變化時(shí)，分別確定 、 、 的邊界取值，以右下肢髖關(guān)節(jié)為例，插值擬合得理想末端工作空間形狀如圖5所示。

根據(jù) 、 、 的取值和式（19）、式（20），在MATLAB軟件中遍歷計(jì)算各驅(qū)動(dòng)軸的長度逆解值，其部分結(jié)果如表2所示。驅(qū)動(dòng)軸行程范圍的三維空間形狀如圖6所示。

3.2 正解仿真與機(jī)構(gòu)工作空間

已知3-UCU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和驅(qū)動(dòng)軸長度 ，求解末端執(zhí)行器的位姿 ，即為運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，其數(shù)學(xué)模型為：

式中： 為位姿X的多維非線性函數(shù)。

可根據(jù)多維函數(shù)優(yōu)化求解的思想，采用PSO（Particle Swarm Optimization，粒子群優(yōu)化算法）[21]，通過MATLAB迭代計(jì)算位置正解數(shù)值解[22]。

PSO算法通過初始化一群隨機(jī)粒子，然后迭代優(yōu)化找到全局最優(yōu)解。在每一次迭代中，粒子通過跟蹤共享個(gè)體最優(yōu)解pBest和種群全局最優(yōu)解gBest的信息來更新粒子。PSO算法具有收斂速度快、參數(shù)少、簡單易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)高維優(yōu)化問題相比遺傳算法收斂速度更快。

在MATLAB中編程計(jì)算得部分結(jié)果如圖7所示，可見適應(yīng)度在50次迭代內(nèi)達(dá)到收斂水平，多次計(jì)算驗(yàn)證均可達(dá)到收斂，具有較好穩(wěn)定性。圖8顯示了相應(yīng)的粒子群運(yùn)動(dòng)遺跡圖，可見粒子逐漸匯集到目標(biāo)位姿X附近（圖中藍(lán)色密集區(qū)域）。

根據(jù)表2所計(jì)算的驅(qū)動(dòng)軸長度逆解值，采用PSO算法正解其位姿結(jié)果如表3所示。對(duì)比可見，除了工作空間邊界較遠(yuǎn)處正解位姿誤差較大外，其他位姿正逆解角度誤差均在0.5°之內(nèi)，考慮到數(shù)值取舍和計(jì)算誤差，可認(rèn)為PSO算法正解3-UCU并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿具有較好的計(jì)算效率和精度。

由3.1節(jié)逆解所得的驅(qū)動(dòng)軸行程范圍，確定驅(qū)動(dòng)軸機(jī)械設(shè)計(jì)的行程為 ∈[120， 260]、 ∈[200， 260]、 ∈[30， 300]，在MATLAB中遍歷計(jì)算位姿正解值，最終得到機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)工作空間，如圖9所示。

對(duì)比圖9和圖5可見，機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)工作空間與理想工作空間基本一致，即機(jī)構(gòu)正解算法和逆解算法結(jié)果具有較好一致性。

4 總結(jié)

采用UCU型機(jī)構(gòu)作為基本驅(qū)動(dòng)軸部件設(shè)計(jì)了一款并聯(lián)驅(qū)動(dòng)式下肢外骨骼機(jī)構(gòu)，采用多體系統(tǒng)理論對(duì)外骨骼機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，并建立數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出同一坐標(biāo)系下各部件上任意參考點(diǎn)的相對(duì)位置計(jì)算方法。

借助MATLAB軟件對(duì)外骨骼并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間和驅(qū)動(dòng)軸行程進(jìn)行了數(shù)學(xué)編程仿真分析，結(jié)果顯示，機(jī)構(gòu)工作空間形狀緊湊連續(xù)，沒有明顯空洞，因此該機(jī)構(gòu)工作性能良好。

基于多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換矩陣和PSO算法對(duì)機(jī)構(gòu)位姿正逆解進(jìn)行數(shù)值求解，為并聯(lián)驅(qū)動(dòng)下肢外骨骼機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、位姿仿真、優(yōu)化設(shè)計(jì)以及下一步的運(yùn)動(dòng)控制研究奠定了基礎(chǔ)，也為開發(fā)新型外骨骼機(jī)械結(jié)構(gòu)積累了一定設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)。

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收稿日期：2022-09-28

作者簡介：陳鑄（1999－），男，四川達(dá)州人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閿?shù)字化設(shè)計(jì)與制造，E-mail：2020223025146@stu.scu.edu.cn；李恒（1998－），男，安徽六安人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械電子工程，E-mail：2020223020033@stu.scu.edu.cn。