2023年高考數學北京卷平面解析幾何解答題的多解探究

甘志國(正高級教師 特級教師)

(北京市豐臺區第二中學)

2023年高考數學北京卷第19題是一道平面解析幾何解答題,本文給出了四種常規解法,揭示了其背景是帕斯卡定理,還給出了該題結論的一般情形.

注本題第(2)問對應的圖形(圖1)較復雜:涉及一個橢圓、四個定點A,B,C,D及三個動點P,M,N,兩條定直線BC,y＝－2及兩條動直線AP,PD.

本題第(2)問的運算量也較大:除了要求出四個定點A,B,C,D及三個動點P,M,N的坐標,一條定直線BC及兩條動直線AP,PD的方程,動直線MN的斜率,還要證明兩條直線CD,MN不重合,而且這里的運算多是含兩個參數的復雜運算(比如繁分式的化簡).

這道高考題第(2)問的背景是帕斯卡定理“二次曲線內接六邊形(包括退化的情形)的三組對邊的交點共線”.

如圖1 所示,橢圓E的退化內接六邊形ABCCDP的三組對邊AB與CD,BC與DP,CC(即直線y＝－2)與AP的交點為無窮遠點,M,N,這三點共線,即AB∥CD∥MN.

由此,還可給出該題的一般情形的結論:

由帕斯卡定理,可編擬出很多類似于2023 年北京卷第19題的題目,本文不再贅述.

(完)