以形釋數，構圖求最值

王遠征

(廣東省深圳市高級中學南校區)

數與形是數學研究對象的兩個方面,高校強基測試題和數學競賽題十分重視對數形結合思想方法在解題中靈活運用能力的考查.求函數的最值(或值域)問題是強基校考試題和數學競賽試題中的熱點,這類試題設計新穎別致、巧妙靈活,其解題方法豐富多彩、靈活多變,富有挑戰性.對解題者的觀察能力、聯想能力、化歸意識、靈活運用數學思想解決問題能力的考查十分到位.本文結合例題介紹數形結合思想在解答求函數最值問題中的應用,以期讀者體會數形結合思想在解題中發揮的化難為易、化繁為簡、化抽象為具體的作用.

1 構造兩點間的距離公式求最值

2 構造點到直線的距離公式求最值

當待求目標式中出現了|ax＋by＋c|的形式時,我們可以構造點P(x,y)到直線l:ax＋by＋c＝0的距離公式來求最值.

3 構造直線的斜率公式求最值

4 構造直線和圓求最值

將已知條件和待求式適當地恒等變形,根據直線與圓有公共點時,圓心到直線的距離不大于圓的半徑來列不等式求最值.

它表示以a,b為變量的直線方程,以a,b為變量可以構造圓a2＋b2＝r2.當圓與直線有公共點時,由直線與圓的位置關系得

5 構造直角三角形求最值

數形結合思想是常用的解題技巧,本文中的例題主要介紹了化“數”為“形”的解題策略和方法,解題時要求解題者善于觀察式子的結構特征,進而產生聯想、發現和揭示隱含在式子背后的幾何意義,再借助幾何圖形的直觀性解題,但解題過程中仍然需要利用代數知識進行嚴格論證和計算.值得注意的是,在解題中數形結合思想是探究解題思路時使用的,不可以利用圖形的直觀性代替計算和推理論證,畫函數圖像時,應該注意函數自變量的取值范圍.

(完)