一道導數壓軸填空題的多思維探究

張會敏

(吉林省長春市十一高中)

函數、導數以及不等式的交會問題是近年高考數學考查的熱點問題,尤其是涉及兩個變量x1,x2(要么是函數的零點,要么是函數的極值點)的問題.此類問題因具有一定的抽象性,導致求解思維往往會受阻,從而不易分析、求解.基于此,本文特選取一道典型試題進行多思維探究,旨在幫助學生厘清常用解題思路(包括解題的切入點、關鍵點等),進一步提高分析、解決此類問題的實際能力.

題目已知函數f(x)＝e2x－e－2x－ax,若函數f(x)有兩個不同的極值點x1,x2,且0＜x2－x1＜ln2,則實數a的取值范圍是_______.

分析本題具有一定的綜合性,涉及函數、導數以及不等式知識的交會,側重考查學生分析、解決問題的能力.因題設給出了雙變量x1,x2滿足的不等式0＜x2－x1＜ln2,導致求解實數a的取值范圍具有一定的難度.

解先對題設條件進行分析.

因為函數f(x)＝e2x－e－2x－ax,且求導可得f′(x)＝2e2x＋2e－2x－a,所以根據題意可得關于x的方程2e2x＋2e－2x－a＝0有兩個不同的實數根x1,x2,且0＜x2－x1＜ln2.

接下來,從不同的角度加以探究,以便順利求解實數a的取值范圍.

思路1可采取最基本的方法,先求得x1,x2(利用實數a表示),再結合不等式0＜x2－x1＜ln2獲得關于實數a的不等式,解之,即可得到實數a的取值范圍.

方法1因為方程2e2x＋2e－2x－a＝0,即2e2x＋2e－2x＝a,據此可知a＞0.

對方程2e2x＋2e－2x－a＝0,變形得2(e2x)2－ae2x＋2＝0,因為該方程有兩個不同的實數根,所以Δ＝a2－16＞0,即a2＞16.又a＞0,所以a＞4.

于是,由一元二次方程的求根公式可得e2x＝所以

綜上,實數a的取值范圍是(4,5).

點評

該解法盡管看起來計算量較大,但是解題思路比較流暢、自然.此外,學生解題時需要關注一元二次方程的求根公式與對數運算法則以及解不等式知識的靈活運用.

思路2由于經過換元(設e2x＝t)之后,可將方程2e2x＋2e－2x－a＝0轉化為關于“t”的一元二次方程,從而可借助根與系數的關系加以靈活分析、轉化目標問題(轉化為求解相關函數的值域),最后利用函數的單調性即可使問題順利獲解.

思路3注意到函數h(x)＝2e2x＋2e－2x－a是偶函數,其圖像關于y軸對稱,所以可知方程2e2x＋2e－2x－a＝0的兩個不同的實數根x1,x2互為相反數.據此,可充分借助“消元”技巧分析、轉化目標問題,最后利用函數觀點即可使問題順利獲解.

方法3設函數h(x)＝2e2x＋2e－2x－a,則因為h(－x)＝h(x),所以h(x)是偶函數,故根據該函數圖像關于y軸對稱可知h(x)的兩個不同零點互為相反數,即方程2e2x＋2e－2x－a＝0的兩個不同的實數根x1,x2互為相反數,所以x1＋x2＝0.

綜上,實數a的取值范圍是(4,5).

點評

該解法的切入點是靈活運用函數h(x)＝2e2x＋2e－2x－a圖像的對稱性,獲得x1＋x2＝0,解題關鍵是通過消元(消去x1)將原問題等價轉化為求解函數g(x)＝2ex＋2e－x(0＜x＜ln2)的值域,體現了函數思想、轉化思想在解題中的靈活運用,顯然對學生的數學抽象思維能力的考查比較深刻、到位.進行類似分析(消去x2)可知,本題亦可等價轉化為求解函數g(x)＝2ex＋2e－x(－ln2＜x＜0)的值域.

此外,該解法在得到0＜2x2＜ln2之后,也可這樣求解:因為所以2x2是方程2ex＋2e－x－a＝0的實數根,故2x2是函數m(x)＝2ex＋2e－x的圖像與直線y＝a的交點的橫坐標.于是,結合0＜2x2＜ln2即知在區間(0,ln2)上,函數m(x)＝2ex＋2e－x的圖像與直線y＝a有交點.又易知在區間(0,ln2)上,函數m(x)＝2ex＋2e－x單調遞增,所以可得m(0)＜a＜m(ln2),即4＜a＜5,故實數a的取值范圍是(4,5).

總之,在函數、導數以及不等式的交會問題中,若涉及兩個變量x1,x2,且目標是求解參數的取值范圍,則處理問題的關鍵就是想辦法先轉化問題,再靈活運用函數觀點分析、求解.值得關注的是,通過此類問題的求解,能夠提高學生對函數、導數以及不等式知識的綜合運用能力,同時能夠較好地培養學生數學抽象與數學運算等核心素養.

鏈接練習

鏈接練習參考答案

1.A. 2.C. 3.D. 4.(－11,3).

(完)