關(guān)于解決導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)問題的方法

尹子銘

(黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院)

1 相關(guān)概念

1.1 函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于一般函數(shù)y＝f(x),我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)解,也就是函數(shù)f(x)＝0的圖像與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).

1.2 隱零點(diǎn)

若函數(shù)y＝f(x)存在零點(diǎn)x0,但無(wú)法精確解出x0的值,則稱x0為隱零點(diǎn).

注:1)此類函數(shù)一般為超越函數(shù)(含ex,lnx,sinx等)或高次函數(shù);

2)有時(shí)通過觀察函數(shù)特點(diǎn)或帶入特殊值即可猜出零點(diǎn)的情況,如f(x)＝ex－sinx－1,其零點(diǎn)x＝0不能稱為隱零點(diǎn).

1.3 函數(shù)零點(diǎn)存在定理

若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,且有f(a)f(b)＜0,那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)上至少有一個(gè)零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解.

2 解題步驟

首先,用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性,列出零點(diǎn)方程f′(x)＝0,并結(jié)合f(x)的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍.然后,以零點(diǎn)為分界點(diǎn),說明導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)情況,進(jìn)而得到f(x)的最值表達(dá)式.最后,求解問題.注:隱零點(diǎn)代換的兩個(gè)關(guān)鍵步驟是“虛設(shè)零點(diǎn)(并縮小范圍)”和“整體代換”.

3 實(shí)例分析

3.1 整體代換

例1設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－alnx.

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(2)證明:當(dāng)a＞0時(shí),

解析

(1)由已知得f′(x)＝當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)＞0 恒成立,f′(x)無(wú)零點(diǎn).下面討論當(dāng)a＞0時(shí),f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

當(dāng)a＞0 時(shí),f′(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,且f′(a)＝2e2a－1＞0,根據(jù)零點(diǎn)存在定理:難點(diǎn)是要找到一個(gè)0＜x1＜a,使得f′(x1)≤0,從而證明f′(x)存在唯一零點(diǎn).

(2)由(1)知f′(x)有唯一零點(diǎn),設(shè)零點(diǎn)為x0,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,＋∞)時(shí),f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增,故f(x)在x＝x0處取得最小值,即fmin(x)＝f(x0)＝e2x0－alnx0.

點(diǎn)評(píng)

本題通過整體代換將超越式轉(zhuǎn)化為普通式降低問題難度.在本例中,將得到的普通式2x0＝lna－ln2x0整體代入f(x0),再利用基本不等式將其化簡(jiǎn),從而得到結(jié)論.

3.2 反代消參

例2已知f(x)＝x3－3x2＋ax＋2,曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2.

(1)求a;

(2)證明:當(dāng)k＜1時(shí),曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個(gè)交點(diǎn).

解析

(1)易求得f′(x)＝3x2－6x＋a,f′(0)＝a,則y＝f(x)在(0,2)處的切線方程為y＝ax＋2.因?yàn)榍芯€與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2,所以－2a＋2＝0,解得a＝1.

(2)當(dāng)a＝1時(shí),f(x)＝x3－3x2＋x＋2.令

由題設(shè)知1－k＞0,當(dāng)x≤0時(shí),有

g(x)單調(diào)遞增,又g(－1)＝k－1＜0,g(0)＝4＞0,所以由零點(diǎn)存在定理得存在x0∈(－1,0),使得g(x0)＝0,故g(x)在(－∞,0]有唯一零點(diǎn).

當(dāng)x＞0時(shí),令h(x)＝x3－3x2＋4,則h′(x)＝3x(x－2),故h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,＋∞)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x＝2時(shí),h(x)取得最小值h(2)＝0.又g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x),所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0,故g(x)在(0,＋∞)上無(wú)零點(diǎn).

綜上,當(dāng)k＜1時(shí),曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個(gè)交點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)

若問題要求證的結(jié)論與參數(shù)無(wú)關(guān),這時(shí)我們一般不用參數(shù)表示零點(diǎn),而是反過來(lái)用零點(diǎn)表示參數(shù),然后把極值函數(shù)變成關(guān)于零點(diǎn)的單一函數(shù),再次求導(dǎo)即可解決相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式證明等問題.

3.3 降次留參

例3已知函數(shù)f(x)＝alnx－ax＋1.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

解析

(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得

當(dāng)a＝0時(shí),f(x)＝1(x＞0)為常值函數(shù),不具有單調(diào)性.

當(dāng)a＞0 時(shí),由f′(x)＞0,可得0＜x＜1;由f′(x)＜0,可得x＞1,故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,＋∞)上單調(diào)遞減.

當(dāng)a＜0時(shí),由f′(x)＞0,可得x＞1;由f′(x)＜0,可得0＜x＜1,故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增.

由題意可得g′(x)＝0 有兩個(gè)不同的正根,則x2－ax＋a＝0有兩個(gè)不同的正根,故

可得a＞4.又

點(diǎn)評(píng)

本題要求證的結(jié)論與參數(shù)有關(guān),因此可以利用關(guān)系式f′(x0)＝0(大部分情況下可轉(zhuǎn)化為二次方程),在保留參數(shù)的情況下,不斷把零點(diǎn)的次數(shù)降到不可再降為止,再結(jié)合其他條件,建立含參數(shù)的方程(或不等式),即可求出參數(shù)的值或范圍.

通過實(shí)例及真題可以得出:函數(shù)的隱零點(diǎn)問題經(jīng)常出現(xiàn)在與極值有關(guān)的不等式的證明題中,我們通常利用隱零點(diǎn)代換的手段對(duì)函數(shù)的極值進(jìn)行適當(dāng)變形,從而完成相關(guān)函數(shù)不等式的證明.

(完)