廣義Jacobi恒等式與幾何括號的剛性定理的證明

王 根

（廈門大學數學與科學學院，福建廈門 361005）

Hamilton 結構起源于經典力學,它使經典力學的相空間可以在有限偶數維上得到較好的處理,任意維上的廣義Hamilton 系統(GHS)是定義在偶數維上的經典Hamilton 系統的自然推廣且擴大了經典力學的研究范圍[1-4]。它是建立在無限維廣義Ρoisson 括號(GΡB)的基礎上的。由于廣義Hamilton 系統基本理論體系框架并不完善，經常有實際問題不能用廣義Hamilton 系統表達。所以很多學者研究帶附加項的廣義Hamilton 系統[5-12]。廣義結構Ρoisson 括號(GSΡB)改進和拓展了廣義Ρoisson 括號,它具有幾何勢函數的特殊結構性，從而得到了廣義協變Hamilton 系統(GCHS),廣義協變Hamilton 系統是定義在任意維上的廣義Hamilton 系統的自然推廣，使廣義Hamilton 系統的基本理論體系框架變得更完善[2,13]。廣義協變Hamilton 系統可以廣泛地應用于物理，應用數學等領域。

1 廣義結構Ρoisson 括號與廣義Jacobi恒等式

?r上的廣義結構Ρoisson 括號(GSΡB)定義為[2,13]

其中幾何括號

式中幾何標量勢函數s只表示流形本身的屬性,以及?r上的廣義Ρoisson 括號(GΡB)[1,3,4]定義為

式中：i,j=1,2,…,n,結構矩陣Jij(x)=-Jji(x)。因此，廣義結構Ρoisson 括號分為兩部分表示如下：

廣義結構Ρoisson 括號=廣義Ρoisson 括號+幾何括號。

對于廣義結構Ρoisson 括號{f,g} 退化為廣義Ρoisson 括號{f,g}GPB有以下兩種情況：

（1）當s=0或者s=常數時，發生平凡退化；

（2）當幾何勢函數s=ln(g/f)，fg＞0 或者s=ln(-g/f)，fg＜0時，發生非平凡退化；

文章采用Einstein約定求和法。

定義1[2,13]設M為n維的光滑流形,M上的廣義結構Ρoisson 括號{},是一個光滑映射,滿足：（1）雙線性；（2）反對稱性；（3）廣義Leibniz 恒等式；（4）廣義Jacobi 恒等式，具有廣義結構Ρoisson 括號結構的流形M,稱為廣義Ρoisson流形,記為(M,{}),簡記為M。

設廣義 Ρoisson 流形的局部坐標為x=(x1,…,xn)T，關于局部坐標x的廣義協變Hamilton系統的整體形式寫為

廣義協變Hamilton 系統又由兩部分構成，完整的廣義Hamilton系統與S-動力學分別為

式中：bk=Jjk Aj=-ck，對于坐標的完整廣義Hamilton系統為dxk/dt==Jkj?jH+Hck

定義2[2,4]設C:P→? 為非常數的光滑函數.如果對所有的可微函數f:P→?,都有{C,f}GPB=0，則C稱為Ρoisson流形P上的Casimir函數。

其中由廣義結構Ρoisson 括號給出的廣義Jacobi恒等式是廣義Ρoisson 括號給出的Jacobi 恒等式I(f,g,h)=0 的自然延伸。本文將基于廣義結構Ρoisson 括號所給出的廣義Jacobi 恒等式，證明在幾何勢函數為Casimir 函數的特殊條件下的廣義Jacobi恒等式的具體表達式，同時證明了一個有關幾何括號的剛性定理以及一系列推論。

2 主要結果與證明

2.1 廣義Jacobi恒等式與Casimir 函數

定理1對于f,g,h,s∈C∞(M)，若幾何勢函數s為Casimir 函數，則廣義Jacobi恒等式為

顯然，當幾何勢函數s為Casimir 函數，廣義Leibniz 恒等式此時符合Leibniz 恒等式的一般形式，在這種界定之下，廣義Jacobi 恒等式可以得到簡化，使之具有可以計算的可能性。

推論1對于f,g,h,s∈C∞(M)，若幾何勢函數s為Casimir 函數，則有

證明：對于f,g,h,s∈C∞(M)，由于幾何勢函數s為Casimir 函數，則{s,f}GPB=0，

輪換函數f,g,h，并相加三式即可得證。

顯然，當幾何勢函數s為Casimir 函數時，易得一個與幾何括號相關的恒等式，顯然，這是一個隱性的恒等式，同時也說明了Casimir 函數的特殊角色。

2.2 幾何括號的剛性定理與推論的證明

更一般的，可以證明一個有關幾何括號的剛性定理如下：

定理2對于f,g,h,s∈C∞(M)，則恒有

證明：由于f,g,h,s∈C∞(M)，計算幾何括號

式中運用了廣義Ρoisson 括號下的Leibniz 恒等式

輪換函數f,g,h，分別得到G(s,g,G(s,h,f)),G(s,h,G(s,f,g))，相加三式即可得證。

顯然，剛性定理對于幾何勢函數沒有特別的額外要求，這是一個與幾何括號相關的更鐵的隱性恒等式。推論1是定理1的一種特殊情況。同時，這也說明幾何括號與廣義Ρoisson 括號作為兩個彼此并列的括號形式，具有相似的數學結構約束，因此，對于f,g,h,s∈C∞(M)，(1)進一步簡化為

因此，廣義Jacobi恒等式可以緊致的簡寫為

同時，可以推導出以下結論：

推論2對于f,g,h,s∈C∞(M)，則恒有

證明：對于f,g,h,s∈C∞(M)，則有

輪換函數f,g,h，則有

三式相加即可得證。

推論3對于f,g,h,s∈C∞(M)，則恒有

證明：對于f,g,h,s∈C∞(M)，則有

輪換函數f,g,h，以及代入定理2 與推論2，即可得證。

很顯然，通過分析推論2 和推論3 的表達形式，易知這完全是屬于幾何括號與廣義Ρoisson 括號相互聯系的結果，具有一定的美感性，更重要的是幾何勢函數起到了溝通橋梁的作用，將流形上的三個可微函數的相互作用聯系了起來。

3 結論與展望

基于對廣義結構Ρoisson 括號與廣義協變Hamilton系統理論的相關分析與討論，研究了幾何勢函數為Casimir 函數這一具體給定條件下的廣義Jacobi恒等式的具體表達式，以及幾何括號在Casimir 函數條件下的一個特殊恒等式。由于廣義Ρoisson 括號給出的Jacobi 恒等式具有良好的特性，證明了幾何括號在無任何限制條件下的一個普遍剛性結論，這個恒等式具有與Jacobi恒等式相似的特征，說明了幾何括號與廣義Ρoisson 括號具有并列的研究特性，基于此相似的特點，普遍地證明了有關幾何括號與廣義Ρoisson 括號相互作用的一系列推論，得到了一些結構優美的恒等式。這極大地拓廣了廣義協變Hamilton系統的應用前景與研究深度。這說明了對于廣義結構Ρoisson 括號與廣義協變Hamilton 系統理論還有待更深入的研究與討論如對稱性研究，Mei 對稱性，規范型形式研究等等。