子群的弱m-σ-置換性在飽和群系方面的應用

施智杰，馬小箭，毛月梅

（山西大同大學數學與統計學院，山西大同 037009）

一直以來，群論學者最熱衷的研究課題之一是利用子群的可補性和置換性來探究有限群的結構。2015年，A.N.Skiba教授和郭文彬教授提出σ-可解群理論以后，可解群中有關子群的許多置換性和可補性被推廣，比如s-置換子群推廣為σ-置換子群[1]，s-條件置換性推廣為σ-條件置換性[2]，m-s-置換性推廣為m-σ-置換性[3]，弱s-置換子群推廣為弱σ-置換子群[4]等等。因此文[3]將子群的m-σ-置換性和弱σ-置換性相結合，提出了弱m-σ-置換子群這一新的概念，應用子群的弱m-σ-置換性質研究了有限群的結構，給出σ-可解和σ-超可解的一些新的刻畫。在此基礎上，通過研究子群的弱m-σ-置換性來刻畫有限群的結構。通過討論群G中σi-子群的弱m-σ-置換性，給出了群G屬于所有超可解群構成的飽和群系的充分條件。文章所討論的群G均是有限群，未交待的概念和符號參見文獻[5-7]。

1 預備知識

首先介紹σ-可解群理論中的一些基本概念和符號[1,8]。假定σ={σi|i∈I}是全部質數集合的一個劃分，并設?≠Π ?σ，同時記

設M≤G，L(G)是由群G的所有子群組成的格，并且滿足M∈L(G)，即有如下條件成立：

（1）對所有的X≤G,Z≤G且X≤Z，有

（2）對所有的Y≤G,Z≤G且M≤Z，有

定義1.1[3]假設K是G的任一子群。

（1）如果G中有模子群M和σ-置換子群S滿足K=則稱K在G中是m-σ-置換的；

（2）如果G中存在m-σ-置換子群S和σ-次正規子群T滿足G=KT，并且K?T≤S≤K，則稱K在G中是弱m-σ-置換的。

下面介紹文章中用到的一些引理。

引理1.2[3]設A,B≤G，RG，其中A在G中是弱m-σ-置換的。

（1）若R≤A或(|R|,|A|)=1，那么ARR是GR的弱m-σ-置換子群；

（2）假定A≤B,若BG或者G是具有Sylow 型的σ-完全群，那么A在B中是弱m-σ-置換的；

（3）假定G是具有Sylow 型的σ-完全群，并且R≤B。如果BR在GR中是弱m-σ-置換的，那么B在G中是弱m-σ-置換的。

引理1.3[9]如果H是群G的模子群，那么介于HG和HG之間的G的每個主因子都是循環的。

引理1.4[1,4,8]設H≤G,RG，S是G的σ-次正規子群。

（1）那么H?S在H中是σ-次正規的；

（2）SRR在GR中是σ-次正規的；

（3）如果H是一個Hall Π-子群，并且S不是Π'-子群，那么S?H是S的Hall Π-子群；

（4）若G是σ-完全群，S是一個σi-群（或σ-冪零群），那么S≤Oσi(G) (或S≤Fσ(G))；

（5）假定H是G的一個σi-子群，那么H是σ-置換的當且僅當Oσi(G)≤NG(H)。

2 主要結果

命題1設G是具有Sylow 型的σ-完全群，={H1,H2,…,Ht} 是G的一個完備Hallσ-集，其中每個Hi是冪零群。如果G的每個非循環的Hallσi-子群的每個極大子群在G中都是弱m-σ-置換的，那么G是σ-可解群。

證明假設定理不成立，對G用極小階反例。

首先說明G中不存在σ-準素的極小正規子群。假設G中存在σ-準素的極小正規子群N，下面證明GN是σ-可解群。顯然，

假定p是|G|的最小素因子，不失一般性，可設p∈σ1。若(H1)G≠1，因H1是冪零群，故H1中存在G的σ-準素的極小正規子群，與上述結論矛盾，因此(H1)G=1。顯然，H1是非循環的，若否，由[7，第II章，定理5.5]知，G是p-冪零的，并由此得G是可解的，又一矛盾，因此H1是非循環的。設M是H1的極大子群且滿足|H1:M|=p，那么由命題假設知存在G的m-σ-置換子群S和σ-次正規子群T滿足G=MT，并且M?T≤S≤M。由m-σ-置換子群定義知S=其中A是G的模子群，B是G的σ-置換子群。顯然，AG,BG≤SG≤(H1)G=1。因為G的極小正規子群是非循環的，所以由引理1.3 知A=1，從而S=B是G的σ-置換子群。進而由引理1.4（4）知Oσi(S) ≤Oσi(G)=1，即S=1，那么 有M?T=1。這就推得T含有p階Sylowp-子群，再由[7，第II 章，定理5.5]知，T是p-冪零群。設C是T的正規p-補，那么易知C是G的σ-次正規的Hallσ′1-補，因此由Feit-Thompson 奇階定理知C是可解子群，再由[1，引理2.6（10）]知C正規于G，從而得G中存在σ-準素的極小正規子群，與前面結論矛盾。命題得證。

證明假設定理不成立，并設(G,E)是使得|G|+|E|最小的反例。設P是E的Sylowp-子群，其中p是|E|的最小素因子。不失一般性，可設P≤H1?E。按以下步驟完成證明：

（1）若N是G的包含于E的極小正規子群，那么N是非循環的且是唯一的，同時有N?Φ(G)。

（2）E是超可解群。

假設E是非超可解群。如果E≠G，那么由引理1.2（2）知(E,E)滿足定理條件，從而知E是超可解群，與假設矛盾，所以E=G，那么由命題1知，G是可解的，所以G的極小正規子群N是素數階交換群。不妨設N是一個q-群，且q∈σi，那 么N≤Hi。由（1）知N?Φ(G)，因此存在G的極大子群M滿足G=N?M，從而有Hi=N?(Hi?M)。因為Hi是冪零群，所以存在N的極大子群N1滿足N1Hi。顯然，V=N1(Hi?M)是Hi的極大子群，因此由定理假設知存在G的m-σ-置換子群S和σ-次正規子群T滿足G=VT，并且V?T≤S≤V。易見，V?T=S?T，從而有N?V=N1，且VG=1。因為G是可解的，所以Hi在G中有補，不妨設其補子群為C。又|σ(G) |＞1，并且|G:T|=|V:V?T|是一個σi-數，所以N≤CE≤T，從而有

因為S=其中A是G的模子群，B是G的σ-置換子群，所以AG≤VG=1。因此由（1）和引理1.3 知A=1，故此時S=B是G的σ-置換子群，那么由N1=N?S知，N1是G的σ-置換子群。因此對任意的σj∈σ(G)，當σj≠σi時，均有N1Hj=HjN1，即N1Hj成群，從而有

進一步知，Hj≤NG(N1)，又N1Hi，所以得N1G，這就迫使|N|=q，與（1）中N是非循環的矛盾，所以假設E是非超可解群不成立，故E是超可解群。

（3）設q是 |E|的最大素因子，Q是E的Sylowq-子群。不失一般性設Q≤Hi，那么Q=N=(E)=E?(G)是G的極小正規子群。

（4）最后矛盾。

首先說明Q=E=P。若Q＜E，那么顯然有Q≤Hi?E。因為Hi是冪零群，所以可令Q1是Q的極大子群且滿足Q1Hi。首先假定Q=Hi?E，由（1）和（3）知Q是非循環的，那么由定理假設知存在G的m-σ-置換子群S和σ-次正規子群T滿足G=Q1T，并且Q1?T≤S≤Q1。因為S=其中A是G的模子群，B是G的σ-置換子群，因此由（1）和引理1.3知A=1，故此時S=B是G的σ-置換子群。由引理1.4（3）知，對任意的x∈G，當j≠i時都有≤T，即Hj≤TG，這表明TG≠1，從而由（1）和（2）知Q≤T，故G=T，從而Q1=S是G的σ-置換的σi-群，那么由引 理1.4（5）知(G) ≤NG(Q1)，又Q1Hi，所 以Q1G，由Q是G的極小正規子群知Q1=1，即Q循環，這與（1）矛盾。因此假定Q ＜Hi?E。因為Hi?E是冪零群，所以Hi?E=Q×U，其中U是Q在Hi?E中的正規q-補。令V=Q1U，那么

所以V是Hi?E的極大子群，由定理假設知存在G的m-σ-置換子群S和σ-次正規子群T滿足G=VT，并且V?T≤S≤V。類似于前面的討論有Q≤T，所以

從而知Q1是G的σ-置換的σi-群，類似于上面的討論知Q循環，又是一矛盾，所以Q=E。從而知Q=E=P是G的極小正規子群。

設P1是P的極大子群且滿足P1-?Hi，由定理假設知存在G的m-σ-置換子群S和σ-次正規子群T滿足G=P1T并且P1?T≤S≤P1。類似于上面的討論可得P是循環的，再一次與（1）矛盾。定理得證。

本定理的結論可以推廣文[11]中的定理1 和文[12]中的定理1.3。

3 結束語

文章將可解群中應用子群的廣義置換性研究有限群結構的問題推廣到σ-可解群中，應用σ-置換群和σ-次正規群的定義和相關性質以及有限群論常用的研究方法，結合模子群的概念和性質，通過討論群G中Hallσi-子群的極大子群的弱m-σ-置換性，給出了G屬于所有超可解群構成的飽和群系的結論，并且推廣了之前的部分成果。