神機妙算破解腳印命案

王杰

巴黎郊外有一座中世紀留下的古老城堡，其年代幾乎與著名的巴黎圣母院同樣久遠，因而成了旅游觀光的勝地，吸引了來自世界各地的游客。

古堡的頂層有一座塵封的鐘樓，里面住著一個怪人，唯一對外的通道是個走起來嘎嘎響、陡峭異常的木質樓梯，大約有幾十級，但肯定不到一百級。

某日黃昏，怪人的四位互不相識的朋友阿列克賽、巴頓、克林、杜邦，幾乎在同一時間先后來訪。他們發現怪人已經被人殺害了，房間里面看起來很恐怖。當下四人大驚失色，爭先恐后地拼命逃走。從臟亂不堪的狹窄樓梯（一次只能通過一人）跑下來，阿列克賽一步下2級臺階，巴頓一步下3級臺階，克林一步下4級臺階，而杜邦的本事最大，竟然一步能下5級臺階。

出事以后，俠盜亞森·羅賓喬裝成一名體面的上流社會紳士，自告奮勇地前來偵破此案。他發現，同時印下四個人腳印的臺階僅在最高處和最低處。

為了追查兇手，腳印混亂了就不好辦，于是亞森·羅賓特別重視只留有一個人腳印的臺階。后來的結果充分證明他的看法是正確無誤的，最后終于抓獲兇手，把他繩之以法。

現在請回答，通向鐘樓的木樓梯上有多少級臺階只印下了一個人（不管是誰的）的腳印？

解密

由于4的倍數肯定是2的倍數，所以克林的情況可以不必考慮，這就省掉了一個人。2，3，4，5的最小公倍數是60，而60又小于100，所以鐘樓的木樓梯共有60級臺階。

阿列克賽的腳印落在第2，4，6，8，l0，12，……，58，60級臺階上，但應排除2×3及其倍數的各級階梯。同理，還需要排除4的倍數的各級階梯和5的倍數的各級階梯。于是剩下第2，14，22，26，34，38，46，58共八級。其一般形式為2×p（其中p=1，以及除去2、3、5以外的素數）。

巴頓的腳印落在第3，6，9，12，……，60級階梯上，但應排除混有別人腳印的第6，12，15，18，……級階梯，剩下第3，9，21，27，33，39，51，57，共八級。

前面已經說過克林的情況可以不考慮了，最后再來看一下杜邦的情況。很明顯，只留下他一個人腳印的階梯是第5，25，35，55級，共四級。

所以，問題的答案是8+8+4=20級。