靜電場邊值問題有限差分法的仿真分析

霍文曉

（青島農業大學理學與信息科學學院，山東 青島266109）

在電磁場理論中，已知場量在場域邊界上的值，求場域中的場分布稱為邊值問題。通常將靜態場邊值問題的求解簡化成：在一定邊界條件下對位函數的泊松方程或拉普拉斯方程的求解[1]。在電磁場與電磁波課程教學中，邊值問題的求解既是重點又是難點。教材中主要講了三種方法：鏡像法、分離變量法和有限差分法。隨著計算機技術的發展和模擬軟件的進步，有限差分法得到了迅速發展和廣泛應用。因此，為了與實際接軌，在課堂講授中，我們將有限差分法作為邊值問題這部分的重點內容。并采用理論講解與模擬演示的教學方法，同時提高學生對理論知識的理解和應用能力。

1 有限差分法的原理

有限差分法的基本思想是將場域劃分成網格，把求解場域內連續的場分布用求解網格節點上的離散的數值解來代替，即用網格節點的差分方程近似代替場域內的偏微分方程來求解。

1.1 位函數的差分方程

在一個邊界為L的二維無源區域S內，電位函數φ(x,y)滿足拉普拉斯方程和邊界條件為：

通常將場域分成足夠小的正方形網格,網格線之間的距離為h,節點(xi,yi)處的電位φi,j可由其周圍直接相鄰的四個節點的電位表示，即二維拉普拉斯方程的差分形式。

同時將邊界條件進行離散化，成為邊界節點上的已知數值。在這些已知節點條件下，求解各節點的差分方程，整個區域中的節點上電位值即可求出。

1.2 差分方程的求解方法

在求解實際問題時，為了達到足夠的精度，需將網格劃分的充分細，節點的個數很多，建立的差分方程數量大，一一求解工作量大。因此如果節點數量較多，通常使用迭代法。

1.2.1 簡單迭代法

進行反復迭代(k=0,1,2,…)。若當第N次迭代以后，所有內節點的相鄰兩次迭代值之間的最大誤差不超過允許范圍，則終止迭代，并將最后一次迭代的結果作為內節點上電位的最終數值解。

1.2.2 超松弛迭代法

簡單迭代法的收斂速度較慢，為了加快收斂速度，實際中常采用超松弛迭代法[3-4]。迭代公式為

式中：α稱為加速收斂因子，其取值范圍是1≤α＜2，當α≥2時，迭代過程將不收斂。

加速收斂因子α有一個最佳取值問題，但隨具體問題而異。對于第一類邊值問題，若求解區域為矩形場域，且由正方形網格分割（每邊結點數分別為m和n），則最佳收斂因子α可按下式計算。

2 模擬演示

以一個正方形截面的無限長金屬盒為例，演示用MATLAB對有限差分法的仿真。盒子的兩側及底的電位為零，頂部電位為100V，求盒內的電位分布。

由于場域內不存在電荷，其電位分布必滿足拉普拉斯方程。將正方形區域劃分成10×10的網格。

2.1 簡單迭代法仿真結果

為簡單起見，將場域內部節點上的電位初始值全部取為零，利用式（3）求出各內部節點電位值的一次解。原來零次解中的各節點電位值將被一次解中的相應電位值所取代。重復上述步驟，令每一個內部節點上的第k+1次解電位值等于該節點周圍四個相鄰節點（或邊界點）第k次解電位值的算術平均值。直到相鄰兩次的迭代值相差不超過設定的誤差范圍（1e-6）后，退出迭代。

仿真結果：迭代次數為150次，迭代后各節點的電位如圖1所示。

圖1 仿真后各節點電位

根據節點電位畫出電位分布曲線如圖2所示。

圖2 正方形場域內電位分布圖

由得出的數值解可以看出，金屬盒內點電位分布是越靠中間電位越高，越靠近金屬盒頂部電位越高，這是由于金屬盒底部和兩邊的電位都為零，而頂部最高。由此表明此方法計算出的電位值，符合金屬盒內的電位分布情況。

2.2 超松弛迭代法仿真結果

超松弛迭代法的關鍵在于收斂因此的取值，合適的收斂因子可以減少迭代次數。

由式（5）可知，當網格節數為10×10時，收斂因子取值為1.56迭代次數最少。通過MATLAB仿真，可得收斂因子與迭代次數的關系，如表1所示。從結果可知，收斂因子選擇1.56迭代次數最少。與理論計算所得結果相等。

表1 收斂因子對迭代次數的影響

通過簡單迭代法和超松弛迭代法對比發現，兩種方法求出的數值解相同，得到的等電位線分布一樣，但超松弛迭代法比簡單迭代法收斂速度更快，迭代次數更少，計算時間更短。

3 結論

利用MATLAB軟件對有限差分法分析邊值問題進行了仿真分析，不但讓學生對有限差分法這種分析方法有了直接的接觸和了解，同時對邊值問題的處理方法和結果有了更深的認識。通過這種教學方法，使抽象的電磁場問題變得直觀、形象，既可以活躍課堂氣氛，同時可以加深學生對理論知識的理解，并進一步為將來接觸時域的有限差分法打下了良好的基礎。對培養學生學習的主動性和積極性有著重要的作用。

［1］謝處方,饒克謹.電磁場與電磁波[M].4 版.北京：高等教育出版社,2006：128-165.

［2］王潔,陳超波.基于MATLAB的靜態場邊值問題有限差分法的研究[J].微計算機應用,2010(03).

［3］何紅雨.電磁場數值計算法與MATLAB實現[M].武漢：華中科技大學出版社,2004：4210.

［4］趙德奎,劉勇.MATLAB在有限差分法數值計算中的應用[J].四川理工學院學報：自然科學版,2005,18(4)：61-64.