高中數學排列組合解題方法的研究*

佳木斯大學(154007) 史冰 張志旭

一、引言

排列組合模塊曾經作為人教版數學教科書選修2-3 第1章的內容.經2019 年教育課程大調整后,已被改為人教A 版選擇性必修第三冊第6 章的內容.第6 章由基本計數原理、排列與組合及二次項定理共4 個小節組成[1].其中,排列組合是本章的重點內容,需要學生深刻理解并扎實掌握.此外,排列組合在高中數學中占有重要地位,通過排列組合的學習可以促進學生抽象思維的拓展,尤其是將其應用于解決實際生活問題中,學生能夠學會從不同角度去解決數學問題.因此,高中數學教師應該對排列組合的解題方法進行研究并不斷反思改進.

高中數學中的排列組合問題通常可以從多個角度出發.從不同角度解決的問題,其復雜程度也會有所不同.因此,在解決排列組合問題時,教師應該多思考,多總結,選擇恰當的解題方法開展教學,用更少的精力發揮出最大的效果,真正的做到化繁為簡,從而使學生對排列組合相關的解題方法深刻掌握的同時,能夠巧妙的將其應用于實際問題中[2].

二、高中數學排列組合的解題方法

(一)先特殊后一般

這種類型題分為兩種情況,即元素特殊或是位置特殊.針對這種排列組合的習題,我們就需要優先考慮特殊情況,之后再進行整體思考[3].

例題1從0 到9 共十個數字中選取不同的四個數字構成一個新的數,那么構成的數為偶數的情況有多少種?

解析由于0 在本題中是一個特殊的元素,因此我們需要分情況進行討論.第一種情況,如果新構成的個位數是0,那么其符合題中要求的偶數的條件,這時只需要從剩余的九個數字中隨機選取三個數字,而這三個數字的順序不同結果也不同,所以列式應為A39.第二種情況,如果新構成的個位數不是0,要滿足構成的數為偶數的條件,因此,個位數可以取2、4、6、8 共四種情況,列式為C14,而千位數是一個特殊位置,因為其不能取0,所以要從剩余的八個數中取一個數,列式為C18,百位數是從包括0 的剩余八個數中選取一個為C18,十位數則是從剩余七個數中選取一個為C17,根據分布乘法計數原理可得第二種情況下的結果為C14C18C18C17.綜上所述,根據分類加法計數原理可得本題的結果為A39+C14C18C18C17=2296 種.

評析在講解這種類型題時,教師應該引導學生在完全掌握排列組合相關知識的基礎上善于發現題中的特殊元素或特殊位置,并教會學生正確采用先特殊后一般的解題方法,以此來幫助學生理清題目信息,從而輕松解出答案.

(二)正難則反

在排列組合中,有一些問題按照常規方法進行解答會比較困難.這時,我們可以采用正難則反的解題方法,即從相反的角度去思考問題,對不符合題干的情況進行排列組合,最后用整體的排列組合減去不符合題干情況的排列組合從而得出答案[4].

例題2某醫院皮膚科有3 名女醫生、4 名男醫生,其中小亮(男)是科室主任;眼科有3 名女醫生、2 名男醫生,其中小美(女)是科室主任.現在醫院想從兩科室中選4 人參加培訓.

(1)若至多有1 名科室主任參加,那么有多少種選法?

(2)若皮膚科至少有2 名醫生參加,那么有多少種選法?

解析本題如果采用直接法解題會相對比較復雜,這時我們就想到采用正難則反的解題方法.

(1)首先對“2 名科室主任都參加”進行排列組合,那么應從2 名主任中選2 人,從剩余10 名醫生中選2 人,列式為C22C210,而所有情況為從兩科室中任意選出4 人參加,列式為C412.所以至多有1 名科室主任參加的選法共有C412?C22C210=450 種.

(2)由(1)知所有情況為C412,若皮膚科沒有醫生參加,則從眼科中選4 人,列式為.C45,若皮膚科有1 名醫生參加,則從眼科中選3 人,從皮膚科中選1 人,列式為C35C17.所以皮膚科至少有2 名醫生參加的選法共有C412?C45?C35C17=420種.

評析正難則反是高中數學比較普遍的研究方法,當問題難以分析時,通過相反的角度去思考問題,那么許多困難的數學問題都會迎刃而解.在解決這種類型題時,教師應該培養學生分辨正向解答和反向解答哪種更簡單,使學生在解答此類數學題時能夠及時想到正難則反的解題方法,從而更快速更準確的得出答案.

(三)元素相鄰,先捆綁為一

如果幾個元素彼此是相鄰的,那么可以把這些元素看作為一個整體,我們把排列組合的這種解題方法叫做捆綁法,這是解決復雜排列組合問題的有效途徑.即把相鄰的元素看作一個整體并與其他元素進行排列組合,最后再對相鄰元素之間進行排列.通過以這種方式解決排列組合的問題,學生可以輕松解決相鄰情況下幾個元素的排列問題.

例題3假如讓你給高三年級的學生排一天的課表,要求數學、語文、英語、化學、物理、生物、自習各上一節,并且數學和語文兩門課要連著上,那么試著思考共有多少種排列的方法?

解析根據題干中要求的數學和語文兩門課連著上可以想到這是元素相鄰的問題,因此需要用捆綁法來解答此題.首先把數學和語文兩門課捆綁在一起看作一個整體,再與其他五門課進行排列組合,由于順序對結果有所影響,所以列式應為A66,而數學和語文兩門課也需要進行排列,列式為A22,根據分布乘法計數原理,最終結果應為A66A22=1440 種排列的方法.

評析把相鄰的元素先捆綁為一個整體來觀察,這種先整體后局部的解題方法有助于解決排列組合中相對較復雜的問題.教師在向學生教授運用捆綁法解決排列組合問題時,要重點強調應該考慮到剩余的元素之間是組合的問題還是排列的問題,當剩余元素之間是排列問題時,我們就要考慮到順序對結果的影響,而當剩余元素之間是組合問題,我們就應該考慮到要排除順序對結果的影響.

(四)元素不相鄰,最后插空

插空法是解決元素不相鄰的排列組合問題的一種典型方法.當需要排列多個元素時,插空法可以有效地簡化排列過程.當元素不相鄰時,首先應該排列沒有限制的元素,之后將有所限制的相關元素插入排列好的元素中.

例題4在一節體育課上,體育老師要求每八人為一組站成一排,其中小明和小紅想要站在一起,但他們又都不想和小強站在一起,那么他們這一組共有多少種站法?

解析本題既包含元素相鄰的情況又包含元素不相鄰的情況,這時我們要優先考慮元素相鄰的情況,由于小明和小紅想要站在一起,因此小明和小紅是兩個相鄰的元素,根據方法(三),把小明和小紅捆綁在一起看作一個整體,小強單獨看作一個整體,我們先排列剩余的五個人,列式應為A55,接下來我們進行插空,五個人有六個空,有兩個元素需要插進去,列式應為A26,最后小明和小紅之間也要排列,列式為A22,根據分布乘法計數原理,最終答案應為A55A26A22=7200種站法.

評析教師在給學生講解本題時,首先要引導學生分辨哪些是相鄰元素,哪些是不相鄰元素,之后讓學生獨立思考每種情況所對應的解題方法是什么,通過數形結合的思想,可以畫簡圖讓學生直觀感受插空法是如何進行插空的.此外教師要向學生強調不能有遺漏的情況,即要考慮全面.

(五)平均分成n 組,要除以n!

這種類型題主要是將幾個元素分成n組,這里的n是某個具體的數.對于這類問題,我們需要根據題意對元素進行分組,而重點在于要除去重復的部分,即除以n!.

例題5學校組織全體師生進行班級大掃除,高三一班班主任要將班里的十二名男生平均分成四組,共同完成大掃除的工作,那么該班主任可以有多少種分組的方式?

解析本題是一道典型的平均分組的問題,我們首先對十二名男生進行分組,十二名男生平均分成四組,那么每組有三人,先從十二名男生中隨機選取三人,列式為C312,再從剩余九名男生中隨機選取三人,列式為C39,以此類推,列式有C36,C33,根據分布乘法計數原理,可得分組結果為C312C39C36C33.由于四組都為三人的分組,所以要除去重復的部分,即除以4!,綜上,最終答案應為=15400種分組的方式.

評析教師在講解本題前,可以給學生舉一個簡單的平均分組的例子,例如“將a、b、c、d平均分成兩組,共有多少種組合方式? ”由于本例中元素數量少,可以讓學生直接進行排列分組,以此讓學生感受為什么會出現重復的情況.在此基礎上再對本題進行講解,這樣可以使學生更容易理解平均分組的問題要在最后除以n!的原因.

(六)先分組后分配

這種類型題主要是將元素進行分配,其重點在于分配后每一組都不止一個元素.這時我們就需要先對元素進行分組,之后再將分好的組進行分配.

例題6學校將在教師節這天舉辦聯歡晚會,現有五名教師要分別去唱歌組、舞蹈組以及演講組進行表演,且每組節目至少要有一人,那么共有()種情況.

A.60 B.180 C.300 D.120

解析本題要分情況進行討論,第一種情況為三名教師去一組表演,剩余兩名教師各自到另外兩組表演,首先從五名教師中隨機選取三人,列式為C35,將這三人看作一個整體,再從剩余二人中選取一人,列式為C12,將三組進行排列組合.此時順序對結果有影響,因此列式應為A33,根據分布乘法計數原理,這種情況的結果為C35C12A33=120 種.第二種情況為有兩組分別有兩名教師,有一組為一名教師,首先從五名教師中隨機選取兩人到一組表演,列式為C25,再從剩余三名教師中隨機選取兩人,列式為C23,最后對三組進行排列組合,列式為A33,根據分布乘法計數原理,這種情況的結果為C25C23×A33=180 種.將兩種情況相加得出最終答案為選項C.

評析學生在解答這種類型題時可能會想不到分類討論的方法,因此教師要培養學生善于運用分類討論的解題方法,以此使復雜的問題簡單化.當遇到既要分組又要分配的類型題時,運用先分組后分配的解題方法往往能事半功倍.

(七)先選后排

有一些排列組合的題不僅要從多個元素中選取幾個元素,還要對選取的元素進行排列,針對這種類型題我們要采取先選后排的解題方法,即首先對選取的元素進行列式,再進行排列,最后根據分布乘法計數原理,將式子相乘得出答案.

例題7幼兒園老師在課堂上和小朋友們做游戲,老師讓小明在1、3、5、7、9 共五張數字卡片中選出三張,又讓小紅在0、2、4、6、8 共五張數字卡片中選出兩張,試著思考將五張卡片放在一起能構成多少個不同的五位數的奇數?

解析由于0 在本題中是一個特殊的元素,因此要分類討論,第一種情況為選取的卡片中不含0 這張,即從四張偶數卡片中選取兩張為C24,從五張奇數卡片中選取三個為C35,而題中要求構成的數為奇數,因此個位數為一個特殊位置,應該從選取的三張奇數卡片中選一張排列在個位數,列式為A13,最后將剩余四張卡片進行排列為A44,根據分布乘法計數原理,第一種情況列式應為C24C35A13A44=4320.第二種情況為選取的卡片中含有0 這張,這時從剩余四張偶數卡片中選取一張為C14,從五張奇數卡片中選取三個為C35,再從選取的三張奇數卡片中選一張排列在個位數,列式為A13,而這種情況下首位也是一個特殊位置,因此先對首位進行排列,即從除0 外剩余三張中選取一張為A13,最后對其他三張進行排列為A33,根據分布乘法計數原理,第二種情況列式應為C14C35A13A13A33=2160.兩種情況相加最終答案為6480 個.

評析本題較為復雜,不僅需要運用先選后排的方法,而且題中還包含了特殊元素和特殊位置,教師在講解本題時要把每一個步驟運用的方法及列式給學生講解清楚,幫助學生理清思路的同時能夠恰當運用各種排列組合的解題方法.

(八)同種的n 個元素不加以區分: 占位法或除以n!法

這種類型題中包含了相同的元素,此時對元素進行排列組合就會出現重復的部分,可以采用與方法(五)同樣的解題方法,即除以n!法,也可以采用占位法.

例題8某高三一班的學生想在教師節這天送給老師們一朵花,現有三朵同樣的康乃馨和兩朵同樣的郁金香,學生們要從中選出四朵分別送給四位老師,每位老師一朵,那么共有()種送法

A.10 B.12 C.9 D.11

解析采用占位法的解答思路為: 首先要進行分類討論,第一種情況為將三朵康乃馨和一朵郁金香送給四位老師,選擇其中一位老師送給他郁金香,其他老師送康乃馨,列式為C14,第二種情況為將兩朵康乃馨和兩朵郁金香送給四位老師,選擇其中兩位老師送給他們郁金香,其他老師送康乃馨,列式為C24,根據分類加法計數原理,將兩式相加得出答案為10 種.也可以采用除以n!法,此時第一種情況的列式為=4,第二種情況的列式為=6,最后根據分類加法計數原理,將兩式相加得出答案為10 種.故本題答案為A.

評析在講解這種類型題時,教師應該引導學生善于觀察題中是否有相同元素,當看到題中含有相同元素時,能夠快速想到運用占位法或除以n!法,這樣便能使問題簡單化,從而更有助于學生正確解答.

(九)涂色法

這類問題是排列組合問題比較經典的一類問題,通常會給出一個圖形,并要求在圖中進行著色.這類問題也屬于復雜的排列組合問題,需要先涂好一個位置,再對其他位置進行分類討論.

例題9學校在勞動節這天組織全體師生共同為校園種樹種花,高二一班被分配到種花的活動中,學校要求在如圖所示的一個花壇中進行種花,并且相鄰的區域要種不同顏色的花,現有四種顏色的花可供選擇,那么高二一班共有多少種種法呢?

解析首先對區域A進行分析,共有四種顏色可以選擇,此時區域B 剩三種顏色可以選擇,區域C 剩兩種顏色可以選擇,由于區域D 與區域A 不相鄰,此時我們就要分類討論,假設區域D 與區域A 同色,那么區域D 顏色確定,區域E 還剩兩種顏色可以選擇.假設區域D 與區域A 不同色,那么區域D 剩一種顏色可以選擇,區域E 還剩兩種顏色可以選擇.根據分布乘法計數原理以及分類加法計數原理,最終答案為4×3×2×1×2+4×3×2×1×2=96 種種法.

評析這種類型題基本都要用到分類討論的思想,教師在講解這種類型題時要幫助學生分清在什么地方應該進行分類討論,學生在掌握這種方法后再去解題就會更加輕松.也可以把某些區域同時進行涂色,再思考剩余的區域.

(十)求冪法

排列組合中有一些類型題,采用求冪法來解決會更清晰便捷.

例題10學校為了實現勞逸結合并促進師生之間和同學之間的友誼,在周末組織了春游活動,學校共提供了三個地點供師生們選擇,其中高一年級共有八個班,他們要去三個地點游玩,那么:

(1)如果每班去一個地點,共有多少種情況?

(2)如果每個地點來一個班,共有多少種情況?

解析第一問是班級去選擇地點,所以班級數應為冪指數,地點數為底數,列式為38=6561 種情況.第二問是地點進班級,因此地點數應為冪指數,班級數為底數,列式為83=512 種情況.

評析教師在講解這種類型題時,只需要教會學生分辨冪指數及底數的位置應該是哪個元素,在此基礎上問題便能夠迎刃而解.

三、結語

通常情況下,排列組合問題不僅考察學生的數學邏輯,還考察他們解決現實生活中數學問題的能力[5].因此,數學教師需要有效地將排列組合的解題與現實生活相結合,使學生掌握哪種類型題應該用哪種解題方法去解決,以及如何選擇恰當的解題方法更準確地解決排列組合相關問題.