固體彈道導彈大氣層外彈道飛行時間控制方法

桂 航，孫瑞勝，劉宣廷

(南京理工大學能源與動力工程學院，南京 210094)

0 引 言

隨著世界主要軍事強國的反導攔截技術快速進步,反導武器的射程、速度以及機動能力等都大幅提高,各類間諜衛星、預警機、陸基和海基探測雷達構筑起海、陸、空、天多維度的偵察探測體系,對彈道導彈從遠中近界、高中低層進行全方位的電子對抗與硬殺傷攔截,這些偵察攔截手段對彈道導彈實現突防打擊帶來巨大挑戰。在這種背景下,彈道導彈的生存能力在戰場對抗中顯得尤為重要,突防能力已逐步成為衡量彈道導彈性能的核心指標。多彈協同突防被認為是提高導彈突防能力的有效手段,通過信息化和智能化手段使導彈擁有信息共享、任務分配、任務改變等能力以提高突防成功率,同時還兼顧了毀傷能力的提升。

導彈協同作戰是指由相同或者不同類型的多枚導彈組成編隊,在任務規劃系統的導引下,根據各方面要求進行時間、空間以及信息共享等方面的協同,以提高突防打擊能力,完成戰略或戰術打擊任務的一種作戰方式。國內外關于飛行器協同打擊方面的研究,目前主要集中在勻速或速度可控的無人機與戰術導彈上[1-4],以及關于助推滑翔高超聲速導彈再入制導上[5-10]。針對大氣層外的協同需求,主要集中在協同攔截上[11-15],也有一些關于彈道導彈協同的研究與探討[16-19],還有一些關于固體運載火箭入軌的多約束制導[20-21]的研究可供參考。文獻[1]為解決機動目標狀態不確定的問題,設計擴張狀態觀測器來估計機動目標的狀態,并利用李雅普諾夫穩定性理論進行分析,給出了系統一致收斂時間。文獻[2]考慮協同探測效能,利用有限時間控制理論,提出了考慮探測構形的協同制導方法。文獻[3]針對無向通信拓撲的機動目標,提出了一種分布式協同制導策略,實現角度約束的同時攻擊。文獻[4]采用“領彈-從彈”結構,提出了一種跟隨者與領導者保持一致時間的協同制導律。文獻[5]從可達域覆蓋集的角度出發,提出了一種攔截彈機動能力弱于目標情況下的協同攔截策略。文獻[8]在此基礎上將場景擴展到三維空間中,提出了一種合作覆蓋策略。文獻[6]針對高超聲速飛行器再入大氣層,考慮攻角和時間約束提出了一種協同制導律。文獻[7]針對助推滑翔高超聲速再入導彈速度不可控的特點,提出了一種通過調整速度前置角來實現時間協同的方法。文獻[9]采用固定時間控制技術與“領彈-從彈”結構,提出了一種三維協同制導律解決約束攻擊角度條件下的同時到達問題。文獻[10]面對高超聲速飛行器再入協同飛行需求,提出了一種基于序列凸優化的協同再入軌跡規劃方法。文獻[11]針對大氣層外多彈協同攔截問題,提出了帶故障診斷的協同跟蹤算法、時間協同中制導律與末制導律。文獻[12]針對導彈攔截目標問題,應用微分對策理論,研究了有限時間微分對策制導律,滿足了末端約束并實現閉環系統穩定。文獻[13]針對多枚攔截器對單目標的攔截問題,提出了一種零控脫靶量兩側逼近的協同攔截策略。文獻[14]針對多攔截器角度協同制導的問題,基于微分對策理論,推導出角度時間協同制導算法。文獻[15]針對固定末端時刻攔截機動目標的制導系統,建立了非線性有限時間微分對策框架,通過自適應動態規劃算法獲得了近似最優函數與最優控制策略。文獻[16]針對彈道導彈突防技術現狀及智能化發展進行了探討,對集群協同的關鍵技術進行了分析。文獻[17]采用GA-BP模型對彈道導彈協同突防效能進行評估。文獻[18]基于多枚彈道導彈的空中動態組網技術,提出了幾種多彈協同規劃的作戰應用方法,為彈道導彈協同作戰規劃提供了思路。文獻[19]針對彈道導彈多彈協同攻擊目標的問題,提出了一種滿足最小末速約束下指定攻擊時間的協同飛行策略。文獻[20]針對固體運載火箭末級多約束制導入軌需求,提出了一種在真空段具有速度管控能力的多約束制導方法。文獻[21]針對固體火箭耗盡關機的制導問題,設計了一種能量管理制導方法,在滿足速度和位置的約束下實現多余能量的消耗。然而彈道導彈動力學特性與無人機以及戰術導彈存在很大差異,彈道形式、狀態約束以及機動方式均存在顯著不同,這些差異使得戰術武器的多彈協同方法與約束制導方法難以直接滿足彈道導彈多彈在大氣層外的協同需求。

因此,本文針對大氣層外彈道導彈時間協同需求,開展大氣層外固體發動機耗盡關機的彈道飛行時間控制方法研究。首先,針對彈道導彈末級采用無推力終止的固體發動機,考慮推力大小無法調節與被動關機的特點,設計導彈增速方向交替變換規律,實現固體發動機能量管理。然后,推導能量管理對終端狀態造成耦合影響的解析式,設計耗盡關機的制導律,對能量管理造成的耦合影響進行了修正補償,使各導彈發動機關機時刻速度矢量與位置矢量達到滿足飛行時間約束與位置約束的零控狀態。最后,進行了不同制導算法對比驗證以及同地/異地同時/不同時發射情況下的多彈時間協同仿真驗證。

1 耗盡關機制導問題描述

彈道導彈時間協同作戰的核心問題是導彈彈道的飛行時間控制,而約束大氣層外飛行時間需要在三級閉路制導階段實現。由于大氣層外沒有氣動力的影響,導彈在三級發動機關機后就進入了無動力的慣性滑行階段,因此需要使發動機關機時刻的速度矢量與位置矢量達到滿足飛行時間約束與位置約束的零控狀態,才能實現大氣層外飛行時間控制。由于固體彈道導彈采用耗盡關機這種模式,其發動機產生的總視速度模量是一定的,因此為了滿足導彈飛行彈道的位置約束與時間約束,需要通過能量管理算法產生附加姿態變化去消耗多余能量。然而,能量管理過程中的附加姿態變化會對終端狀態造成耦合影響,導致交班點時間與位置狀態偏差較大。典型彈道導彈飛行彈道示意如圖1所示。

圖1 典型彈道導彈飛行彈道

2 帶能量管理的時間控制制導律設計

對于彈道導彈而言,若想實現大氣層外時間協同需求,需要對彈道的飛行時間進行嚴格約束。根據軌道動力學原理[22],如果已知導彈在空間中兩點K,HP的位置矢量rK,rH以及規定的飛行時間TC,則可以確定連接兩點的飛行彈道,以及彈道上任意一點的位置和速度。因此,導彈飛行時間的控制問題可以轉換為導彈速度矢量的控制問題,當導彈的速度矢量達到需要速度矢量時,便能達到對飛行時間進行控制的效果。受限于篇幅,本文不給出約束飛行時間的需要速度具體求解方法,可參考文獻[22-23]進行推導。固體發動機為了結構簡單以提高可靠性,通常不會配備推力調節裝置與推力終止裝置,只能采用耗盡關機方式,這使得制導算法必須考慮發動機提供的速度增量與需要速度之間的匹配關系。

2.1 耗盡關機能量管理問題

能量管理本質是通過控制推力矢量與待增速度矢量之間的夾角來消耗多余的視速度模量,使得導彈在增速過程中視速度模量到達WM時,導彈速度增量為Vg,而導彈速度恰好達到需要速度VR,K。為了便于能量管理過程的描述,在導彈需要速度計算點OK處建立速度控制坐標系OK-Γεη,其中Γ為待增速度矢量方向,ε為速度控制方向,η軸與Γ軸、ε軸構成右手坐標系,附加姿態角在平面OK-Γε內進行變化,其示意圖如圖2所示。

圖2 能量管理算法原理示意圖

在速度控制面OK-Γε內微分方程組為

(1)

式中:vΓ,vε為Γ與ε方向上的速度;uem(t)由能量姿態模型產生;rΓ,rε為Γ與ε方向上的位置;T為發動機推力;m為導彈當前質量。

由于導彈增速過程中存在位置矢量的變化,以及能量管理過程中交變姿態會產生附加位置量,這些附加的位置變化量會對終端狀態產生耦合影響,造成制導精度的下降,因此要在需要速度求解過程中考慮耦合影響并對其進行抑制。

2.2 交變姿態能量管理模型設計

本文擬采用交變姿態能量管理模型(AEM),通過附加姿態角的正負變換實現能量管理,同時使得在ε方向上產生的速度分量相互抵消,模型設計的附加姿態角變化規律如圖3所示。

圖3 交變姿態模型的姿態角變化規律示意圖

將發動機的總視速度模量WM分為兩個部分:第一部分(W0～W6),通過交變姿態實現能量管理;第二部分(W6～WM),采用定軸飛行保持穩定,避免因發動機秒耗偏差造成模型尾段姿態角速率過大的問題。姿態角變化的數學模型如式(2)所示:

(2)

2.3 能量管理耦合影響的解析推導與驗證

由于導彈增速以及能量管理過程中產生的附加位置量會對終端狀態造成耦合影響,進而造成制導精度下降。為更好地補償耦合影響,提高制導精度,需要對這些耦合影響進行分析推導。

由式(1)與式(2)可以得到能量管理過程中Γ方向與ε方向上的速度量為

(3)

(4)

式中:t*為時間積分變量;W*為視速度積分變量。

將式(2)代入式(3)與式(4)進行分段函數積分可以得到關于vΓ(W)與vε(W)的解析解。由于uem(W)為分段函數,因此在進行每一段積分時,需要將上一段的結果代入,即

(1)W0≤W

(5)

(2)W1≤W

(6)

vΓ(W)的W2≤W

對Γ方向與ε方向上的速度進一步積分可以得到能量管理過程中Γ方向與ε方向上的位置量為

(7)

(8)

(9)

通過式(9)對式(7)與式(8)進行換元得到

(10)

(11)

將vΓ(W)與vε(W)的解析式代入式(10)與式(11),進行分段函數積分,其推導過程與式(5)和式(6)對vΓ(W)的推導過程類似,這里不再贅述,最終可得到關于rΓ(W)與rε(W)的解析解。

為驗證能量管理過程中,因交變姿態產生Γ方向與ε方向上的速度量與位置量解析解推導結果的正確性,利用數值積分法與解析法分別進行計算,以數值積分解為標準值,解析解與標準值之差為解析法誤差,對解析解推導結果進行對比驗證,結果如圖4～5和表1所示。

表1 速度與位置的解析解精度

圖4 速度vΓ與速度vε隨視速度W的變化曲線

從圖4可以看出在速度曲線vΓ與vε上解析解與數值解重合,從圖5可以看出在位置曲線rΓ與rε上解析解和數值解重合。從表1可以看出,速度解析解精度可達到10-5～10-6m/s量級,位置解析解精度可達到10-4～10-5m量級。上述內容驗證了能量管理耦合影響解析式推導的正確性,為后續補償耦合影響提高制導精度奠定了基礎。

圖5 位置rΓ和位置rε隨視速度W的變化曲線

2.4 制導姿態角指令的確定

(12)

參考彈體坐標系到發射慣性坐標系轉換矩陣[24]與矩陣(12)可以求出Γ方向對應的姿態角:

(13)

ψΓ=-arcsinc13

(14)

(15)

(16)

式中:

(17)

(18)

2.5 時間控制算法求解流程

傳統閉路制導理論[22-23]根據導彈當前位置矢量rK、交班點位置矢量rT以及一個軌道約束條件(關機點速度傾角或交班點速度傾角或軌道飛行時間),便可實時計算出導彈當前的需要速度矢量VR,K,再利用導彈需要速度矢量VR,K、當前速度矢量VK以及導彈當前視速度W,進一步計算出導彈姿態角指令。帶有能量管理的閉路制導算法則是在導彈姿態角指令上附加一個消耗多余能量的附加調姿角實現的。

本文的創新之處在于,在閉路制導算法基礎上利用導彈能量管理的姿態角變化的數學模型和最大調姿角計算出能量管理造成的附加耦合位置量,得到發動機關機時刻的位置矢量,并用其計算導彈需要速度矢量,形成制導系統的閉環反饋,通過對位置矢量進行修正補償,進而抑制耦合影響,實現對飛行時間的精確控制。其飛行時間控制的閉環反饋制導系統框圖如圖6所示。

圖6 飛行時間控制的閉環反饋制導系統框圖

通過上述分析推導得到了關于時間約束條件下的橢圓軌道參數與需要速度矢量,可以將導彈飛行時間的控制問題轉換為導彈速度矢量的控制問題。同時針對導彈速度矢量控制問題,推導出了交變姿態耦合影響解析式以及姿態角指令確定方法。綜上,本文所提的飛行時間控制方法的各個環節的相關量均已求出,時間控制算法詳細實施流程圖如圖7所示,具體步驟如下:

圖7 帶能量管理的時間控制算法流程圖

(1)確定約束飛行時間的橢圓軌道參數:根據交班點位置、導彈當前位置以及設定的飛行時間計算橢圓軌道參數。

(4)計算能量管理交變姿態造成附加位置量rΓ與rε：根據最大調姿角um與最大視速度增量WM計算附加位置量rΓ與rε。

(5)計算能量管理結束時導彈在發慣系下的位置:根據待增速度矢量Vg,通過式(12)計算發射慣性坐標系到指令彈體坐標系的轉換矩陣[cij];根據轉換矩陣[cij]將產生的附加位置量rΓ與rε轉換到發射慣性坐標系下并加上導彈當前位置坐標得到能量管理結束時導彈在發慣系下的位置。

(6)迭代更新最大調姿角um：采用導彈在能量管理結束時的位置重復進行(1)至(5)流程,當最大調姿角um達到預定精度時退出迭代。

(7)計算Γ方向對應的姿態角:根據待增速度矢量Vg,通過式(13)至式(15)計算待增速度矢量Vg方向所對應的姿態角。

(8)計算附加姿態角指令:根據待增速度矢量Vg、地球引力g以及當前視速度W,通過式(2)、式(16)至式(18)計算附加姿態角指令。

3 仿真校驗

3.1 不同制導算法仿真結果對比

為了驗證本文提出的時間控制算法的有效性,將對本文所提出的飛行時間控制算法、無能量管理的閉路制導算法以及有能量管理無耦合影響抑制的制導算法分別進行仿真對比。仿真設定飛抵交班點的時間為1 500 s,仿真初始條件詳見表2,數值積分采用龍格—庫塔積分方法,積分步長0.001 s。

表2 仿真初始點彈道參數

從圖8～11可以看出,采用無能量管理的閉路制導算法,其姿態角指令在制導后期出現了發散現象,從圖8可以看出制導指令的發散使得彈道軌跡與其他算法相比產生了非常大的偏差,從表3可以看到具體偏差達到了300 km左右,飛行時間存在1 s左右的偏差。而帶能量管理的制導算法,其交班點偏差要顯著小于無能量管理的制導算法,且制導后期沒有出現姿態角指令發散現象。以上結果表明,對于耗盡關機的固體彈道導彈來說,在制導律中引入能量管理算法是必須的,否則制導律無法適應固體彈道導彈耗盡關機的工作特性。

表3 飛抵交班點時的位置偏差與時間偏差

圖8 彈道曲線

圖9 俯仰角隨時間變化曲線

圖10 偏航角隨時間變化曲線

圖11 滾轉角隨時間變化曲線

從表3可以進一步看出,引入能量管理但不考慮能量管理過程對終端狀態耦合影響的制導算法,其位置偏差在10 km左右,時間偏差在2 s左右,該位置偏差與時間偏差水平無法滿足多彈時間協同需求,這表明能量管理過程中終端狀態的耦合影響是不可忽略的。而本文提出的彈道飛行時間控制算法考慮了能量管理過程對終端狀態的耦合影響,通過推導其耦合影響的解析式,在算法中對耦合影響進行預測并進行有效的補償修正,使其仿真結果的位置偏差在20 m左右,時間偏差在1 s以內,該結果驗證了本文提出的耗盡關機條件下時間控制算法的有效性。

3.2 異地不同時發射彈道時間協同仿真

為了進一步驗證上述時間控制算法的有效性,以6枚導彈進行異地不同時發射為例,其中前3枚采用本文提出的算法,后3枚采用帶能量管理的閉路制導算法。前3枚每枚初始緯度間隔5°,每枚初始時間間隔50 s,后3枚與前3枚的初始仿真條件一致,采用裝訂形式的靜態時間協同,各彈設定飛抵交班點的時間為1500 s,對其進行驗證。仿真初始條件詳見表4。

表4 仿真初始點彈道參數

從圖12～13可以看出由于異地不同時發射,為了同時飛抵交班點,三種初始條件不同的彈道在空間中呈現高中低規律分布,其中飛行時間最長的彈道最高,飛行時間最短的飛行彈道最低,本文算法與能量管理閉路制導算法在彈道曲線上存在一定差異,但整體變化規律類似。從圖14～16可以看出在能量管理階段,俯仰角與偏航角按設計的交變姿態模型進行了相應的姿態角變化,與彈道曲線的規律類似,兩種算法存在一定差異,但整體變化規律相近。從表5可以看出,采用本文算法的3枚導彈在交班點的位置偏差范圍均在20 m左右,飛行時間偏差均在1 s以內,而采用能量管理閉路制導算法的3枚導彈在交班點的位置偏差范圍在10 km左右,飛行時間偏差在2 s左右。以上結果表明,本文提出的彈道飛行時間控制算法相比能量管理閉路制導算法擁有更好的位置控制精度以及時間控制精度,本文算法能夠對能量管理造成的耦合影響進行有效抑制,并滿足導彈異地不同時發射情況下的靜態時間協同需求。

表5 飛抵交班點時的位置偏差與時間偏差

圖12 彈道曲線

圖13 高度隨時間變化曲線

圖14 俯仰角隨時間變化曲線

圖15 偏航角隨時間變化曲線

圖16 滾轉角隨時間變化曲線

4 結 論

本文針對大氣層外導彈時間協同需求,開展耗盡關機的彈道飛行時間控制算法研究,實現了大氣層外固體彈道導彈耗盡關機條件下的多彈時間協同。主要結論如下:1)所提算法解決了不引入能量管理的傳統閉路制導會出現的發動機工作末期制導指令發散現象;2)所提算法考慮了傳統俯仰偏航通道的能量管理方法所忽視的耦合影響,降低了交班時刻的位置偏差與時間偏差;3)推導出了能量管理對終端狀態造成耦合影響的解析式,并設計了相應的飛行時間控制算法對耦合影響進行補償修正,仿真結果驗證了算法的有效性;4)所提算法可以有效滿足固體彈道導彈在異地不同時發射情況下大氣層外彈道的時間協同需求。