基于傳遞矩陣與剛度矩陣法的壓電半導體介質中的Rayleigh波研究

朱明鈺，李立，杜君花，李曉紅

基于傳遞矩陣與剛度矩陣法的壓電半導體介質中的Rayleigh波研究

朱明鈺，李立，杜君花，李曉紅

（齊齊哈爾大學 理學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

研究各向異性的壓電半導體半空間中Rayleigh波的傳播特性，由壓電半導體材料的本構方程和控制方程推導出壓電半導體介質的狀態微分方程．定義傳遞矩陣和剛度矩陣，推導狀態轉移變系數矩陣方程，求出半無限大壓電半導體空間的傳遞矩陣與表面剛度矩陣．結合表面邊界條件給出壓電半導體半空間在不同表面邊界條件下的Rayleigh波波速方程，分析了壓電半導體半空間中Rayleigh波的傳播特性．

壓電半導體；半無限大空間；Rayleigh波；傳播特性

表面聲波器件在電子、信息和通信媒體等領域應用廣泛，具有生產簡單、靈敏度高、體積小的優點．其中，壓電材料的聲學器件是其中最重要的一種，壓電材料中的表面波研究受到很多學者的關注．Manna[1]研究了功能梯度壓電覆蓋層的非均勻彈性半空間中的Love波，采用分離變量法和Whittaker函數作為數學工具，得到了Love波的色散方程．Gu[2]等研究了壓電半導體半空間中的剪切水平表面波，并發現半導體效應對波速有影響，引起波的色散或衰減．Li[3]研究了含功能梯度壓電覆蓋層半無限大介質中Rayleigh波的傳播，分析了5種不同的梯度對Rayleigh波波速的影響．Jiao[4]等研究了彈性波在2個壓電半空間夾層的壓電半導體板中的傳播，發現穩態載流子密度和外加偏置電場對反射波和透射波有明顯的影響．壓電半導體材料既有壓電屬性又有半導體屬性，材料屬性更為豐富，在研究壓電半導體材料中表面波時，有的學者采用了傳遞矩陣的方法，但是隨著介質厚度增加，傳遞矩陣的方法不是很穩定，也有學者采用剛度矩陣方法，這樣計算更加穩定，但是剛度矩陣算法的舍入誤差又會增大．基于此，本文結合壓電半導體介質的傳遞矩陣與剛度矩陣，探索采用既穩定又誤差小的方法研究壓電半導體介質中的表面波傳播特性．

本文研究壓電半導體半無限大介質中的Rayleigh表面波，先求壓電半導體半無限大介質的傳遞矩陣再轉為剛度矩陣，最終利用表面剛度矩陣結合表面邊界條件給出壓電半導體半無限大介質中的Rayleigh表面波的波速方程，這種方法不僅誤差小，而且能保持精確解的對稱性、不變性和正交性等許多好的定性特征．

1 Rayleigh波的傳遞矩陣和剛度矩陣

1.1　壓電半導體介質的狀態微分方程

壓電半導體材料的本構方程為[5]

控制方程由波動方程、靜電學高斯定律和電荷守恒方程組成，即

1.2　傳遞矩陣與表面剛度矩陣

將式（5）代入式（4）中，有狀態轉移矩陣方程

因而壓電半導體半空間的表面剛度矩陣為

2 Rayleigh波的色散方程

考慮壓電半導體半空間的2種表面邊界條件：（1）表面應力自由和電學開路；（2）表面應力自由和電學短路．

當表面應力自由和電學開路時，有

將式（14）代入式（13）中可得到齊次線性方程組，此方程組平凡解若存在，需要矩陣方程的系數行列式為0，因而滿足

當表面應力自由和電學短路時，有

式（16）是壓電半導體半空間在表面應力自由和電學開路條件下的Rayleigh波的色散方程，式（19）是壓電半導體半空間在表面應力自由和電學短路條件下的Rayleigh波的色散方程．

圖2　2種邊界條件下Rayleigh波的色散曲線

[1] Manna S，Kundu S，Gupta S．Love wave propagation in a piezoelectric layer overlying in an inhomogeneous elastic half-space[J]．Journal of Vibration and Control，2015，21（13）：2553-2568．

[2] Gu C，Jin F．Shear-horizontal surface waves in a half-space of piezoelectric semiconductors[J]．Philosophical Magazine Letters， 2015，95（2）：92-100．

[3] Li L，Wei P J，Guo X．Rayleigh wave on the half-space with a gradient piezoelectric layer and imperfect interface[J]．Applied Mathematical Modelling，2016，40（19）：8326-8337．

[4] Jiao F，Wei P，Zhou Y，et al．Wave propagation through a piezoelectric semiconductor slab sandwiched by two piezoelectric half-spaces[J]．European Journal of Mechanics-A/Solids，2019，75：70-81．

[5] Li L，Wei P J，Zhang H M，et al．Love waves on a half-space with a gradient piezoelectric layer by the geometric integration method[J]．Mechanics of Advanced Materials and Structures，2018，25（10）：847-854．

[6] Tian R，Liu J，Pan E，et al．SH waves in multilayered piezoelectric semiconductor plates with imperfect interfaces[J]．European Journal of Mechanics-A/Solids，2020，81：103961-103969．

Study of Rayleigh waves in piezoelectric semiconductor medium based on transfer matrix and stiffness matrix method

ZHU Mingyu，LI Li，DU Junhua，LI Xiaohong

（School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China）

The propagation characteristics of Rayleigh waves in piezoelectric semiconductor semi-space were investigated， based on the constitutive equation and governing equation of piezoelectric semiconductor material，the state differential equation of piezoelectric semiconductor medium is derived．The transfer matrix and stiffness matrix were defined and the state transition variable coefficient matrix equation was derived，the transfer matrix and surface stiffness matrix of semi-infinite piezoelectric semiconductor space are obtained．The velocity equations of Rayleigh waves in piezoelectric semiconductor semi-space were given under different surface boundary conditions，the propagation characteristics of Rayleigh waves in piezoelectric semiconductor semi-space are analyzed．

piezoelectric semiconductor；semi-infinite space；Rayleigh waves；propagation characteristics

1007-9831（2023）07-0006-04

O241.8

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.07.002

2023-01-15

黑龍江省自然科學基金項目（LH2020A023）；黑龍江省省屬高等學?；究蒲袠I務費科研項目（135409318）；黑龍江省教育科學規劃重點課題（GJB1421350）；齊齊哈爾大學教育科學研究項目（GJQTYB202203）

朱明鈺（1999-），女，黑龍江綏化人，在讀碩士研究生，從事Rayleigh波研究．E-mail：zhumingyu1105@163.com

李立（1976-），女，黑龍江齊齊哈爾人，教授，博士，從事李代數和彈性波傳播特性研究．E-mail：lili19762001@163.com