多項式插值教學中學生科學精神的培養

高忠社，謝保利，代麗芳

多項式插值教學中學生科學精神的培養

高忠社，謝保利，代麗芳

（天水師范學院 數學與統計學院，甘肅 天水 741000）

圍繞插值多項式的基本類型，如拉格朗日插值、牛頓插值、分段線性插值等，以及多項式插值函數構建的思想方法和多項式插值的局限性，展示了在多項式插值發展過程中所體現出的數學家們鍥而不舍、求實嚴謹的科學精神，闡述了在教學過程中學生的求實創新精神、時代擔當精神的培養問題．

拉格朗日插值；牛頓插值；龍格現象；插值思想方法

反映自然規律的許多實際問題中的函數關系是通過測量或實驗而得到的數據關系．從提供的部分離散的數值進行理論分析和研究都是極不方便，甚至是不可能的，因而需要設法尋找與已知函數值相符而形式簡單的近似函數[1]．根據一些函數值找出既能反映原函數特征，又便于計算的簡單函數去近似數據特征的方法稱為插值法，該方法被廣泛應用于理論研究和工程實際中．

1　多項式插值的基本思想

插值多項式的存在性和唯一性問題的解決，反映了人們使用已知的知識和工具去認識世界的方法，也說明在教學實踐中必須要求學生有完備的知識儲備，只有這樣才能在以后的學習、工作中更好地發現問題、解決問題．同時，應注重培養學生自強不息、努力奮斗的科學精神，以適應建設現代化中國的使命擔當．

2　基本多項式插值與科學精神

2.1　基本插值多項式

，（3）

2.1.2 Newton插值多項式 在上述區間劃分及插值條件，構造多項式函數

2.2 插值多項式思想對育人理念的影響

數學家及工程領域的專家在應用拉格朗日插值多項式解決實際問題時，發現每增加１個節點，每個節點的插值基函數都需要重新構造，即插值函數得重新構造[4]．這樣，在應用方面造成了很多的不便，使得插值方法每次構造產生的重復性計算量很大．經過不斷探索，數學家牛頓給出了更加方便的Newton插值多項式，當增加１個節點時，不需要重新計算前面的項，只需要再增加一項即可，即通過差商來構造牛頓插值多項式．

牛頓是英國著名的物理學家，著有《自然哲學的數學原理》《光學》等經典著作[5]，牛頓具有專注、嚴謹的科學態度，求實創新的科學精神．1687年，牛頓發表的論文《自然定律》里，對三大運動和萬有引力定律進行了系統描述，奠定了現代工程學的基礎．牛頓通過開普勒行星運動定律與他的引力理論間的一致性論證，展示了天體的運動與地面物體都遵循著相同的自然規律，為太陽中心說提供了強有力的理論支持，并推動了科學革命；在力學方面，牛頓闡明了動量和角動量守恒的原理，提出牛頓運動定律；在光學方面，牛頓發明了反射望遠鏡，并基于對三棱鏡將白光發散成可見光譜的觀察，提出了顏色理論；在數學方面，牛頓與萊布尼茨分享了系統創立微積分學的榮譽．

圖1　函數的Lagrange插值分析

這種現象反映了插值方法的局限性．高次插值函數出現的Runge現象，說明低次插值在近似計算中相對更有效、更實用[7]．基于此現象，通常不用高次插值，而是將插值區間分成幾個小區間，在每個小區間上做低次插值．

在分析插值余項與Runge現象時，體現了數學家鍥而不舍的工匠精神，也揭示一些利用插值法解決數據處理問題的有效性及局限性，使學生從自身角度出發深挖工匠精神的內涵[8]．使學生深刻領悟科學精神核心是一種精神，一種信仰，或者是一種情懷，是把一件工作一件事情，當作一種信仰，一絲不茍地把它做到極致，做到別人無可替代．

認同插值法對原始數據進行分析，從而產生真實可信的分析是進一步開展科學試驗和創新研究的保障，向學生滲透在科學研究上要做到對實驗結果進行合理、公正、無選擇性的分析，并做出客觀判斷，養成用數據說話的習慣和實事求是的科學態度．同時，使學生明白分析問題時應避免主觀、片面、孤立、靜止地看待問題，要用聯系、發展、全面的觀點看問題，樹立正確的人生觀、價值觀和世界觀．通過討論，使學生意識到任何知識都不是一成不變、不可質疑的，要有自己獨立的思維，培養獨立思考、勇于創新精神．

2.3 分段線性插值與相對穩定性

圖2　函數的分段線性插值分析

從整體上來看，分段線性插值的誤差相對穩定，隨著插值函數的節點的增加，誤差也會逐步減小[9]．同時，低次分段插值是常用的插值方法，誤差相對較小，且不會出現Runge現象，也經常被用于各種數值計算中．基于分段插值思想的啟發，數學家構造了分段二次插值、Hermit插值和樣條插值等，被廣泛應用于工業設計、工程外形設計和科學計算等領域．

從插值函數建立與發展過程來看，多項式插值也是具有兩面性，也是經歷了“遇到問題，解決問題”的發展過程．因此，在教書育人的過程中也要教育學生勇敢面對困難與問題，在現實生活中也要學會使用“遇到問題，解決問題”的這種思想，使其在人生中不斷歷久彌艱，開拓創新．

3　結語

插值法的思想方法是數值逼近中十分重要的一部分，在數值積分、數值微分、微分方程數值解中具有廣泛的應用性；由插值法的思想發展而來的各種方法，如樣條插值、周期樣條插值、樣條小波插值、模糊插值、有理函數插值和分形插值等，已經應用于工程計算、工程力學和圖形圖像處理等各個方面，成為諸多計算數學工作者、工程學家等使用的重要工具．這些都體現了插值法的思想方法的重要性．通過了解插值思想的應用，使學生體會到插值法離現實很近，使學生產生濃厚的學習興趣和求知欲望．

在實踐教學中，教師應將插值法的思想方法融入學生的學習與生活中，使其具有堅韌的意志，不懼怕問題，對遇到的問題，要積極尋找辦法解決．通過插值思想及各種插值方法的建立過程，進而讓學生切身體會到科學家專注、嚴謹、求實創新的科學精神，培養青年一代的時代使命擔當的科學精神，自信自強，守正創新，勇毅前行，為全面建設社會主義現代化國家，全面推進中華民族偉大復興而努力奮斗．

[1] 李慶揚，王能超，易大義．數值分析[M]．5版．武漢：華中科技大學出版社，2022．

[2] 聶碧宏. 多元擬雙次多項式函數插值問題研究[D]．大連：遼寧師范大學，2022．

[3] 李桂成．“計算方法”課程教學改革的探討[J]．高等理科教育，2008，45（1）：131-133．

[4] 龔佃選，劉春鳳．以線性代數觀點看常用多項式插值方法[J]．高等數學研究，2017，20（1）：42-45．

[5] 普亞松，史耀耀，藺小軍，等．基于混合多項式插值的工業機器人關節運動規劃[J]．西北工業大學學報，2022，40（1）：84-94．

[6] 趙東紅，魏海瑞，劉林．大學數學公共課程思政元素挖掘初探[J]．大學數學，2021，37（3）：46-52．

[7] 傅守忠，令鋒，孔麗英，等．應用型本科院校數值分析教學改革與課程思政[J]．肇慶學院學報，2022，43（2）：6-9．

[8] 王全來，張薇．對波萊爾改進拉格朗日插值公式思想方法的研究[J]．鄭州大學學報（理學版），2007，42（2）：7-11.

[9] 張光輝．多項式插值Runge現象交互實驗軟件包的設計[J]．宿州學院學報，2022，37（6）：72-75．

Cultivation of students′ scientific spirit in polynomial interpolation teaching

GAO Zhongshe，XIE Baoli，DAI Lifang

（School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui 741000，China）

Through the basic types of interpolation polynomials, such as Lagrange interpolation，Newton interpolation，piecewise linear interpolation，etc.，also the thinking method of polynomial interpolation function construction and the limitations of polynomial interpolation，the mathematicians′ scientific spirit of perseverance and rigorousness is shown，as well as the cultivation of the realistic and innovative spirit and the responsibility of students during the teaching process.

Lagrange interpolation；Newton interpolation；Rung phenomenon；interpolation idea

1007-9831（2023）07-0066-04

O241∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.07.013

2022-10-03

國家自然科學基金項目（12161077）； 甘肅省教育科學“十四五”規劃2021年度課題（GS[2021]GHB1933）；天水師范學院2020年度校級教育教學改革研究項目（JY202003，JY202004）

高忠社（1979 -），男，甘肅寧縣人，副教授，碩士，從事微分方程數值解方法及其應用研究．E-mail：gaozhongshe@126.com