基于互聯和阻尼分配理論的鋰電池均衡控制方法

甘 立，龍 雨

（1.廣西大學機械工程學院激光智能制造與精密加工研究所，廣西 南寧 530004；2.省部共建特色金屬材料與組合結構全壽命安全國家重點實驗室，廣西 南寧 530004）

0 引言

受限于單個電芯電壓低和容量低的固有特性，數百或數千個電芯必須串聯或并聯以形成滿足實際應用需求的高電壓和高容量[1]電池包。然而，電池包中各電芯的一致性本身因制造的差異就不相同，另外，其一致性也將隨著電池包充放電次數的增加而變得更差。不一致性會降低電池包實際可供應的能量，縮短電池包的壽命，并進一步發生電池包鼓包、起火甚至爆炸事故。因此，對鋰離子電池包中的各電芯進行全面、高效的均衡管理是有必要的。

現階段電池均衡主要包括以耗能電阻為主的被動均衡和電力電子器件為主的主動均衡兩種[2]。被動均衡是將耗能電阻并聯在含有較多能量的電芯上，利用電阻消耗掉其并聯電芯上多余的能量。這會造成能量損失以及產生大量熱能進而造成安全事故。相比于被動均衡的高能量散失和不安全特性，主動均衡因尺寸合理和低耗能等特性被學術界和公司逐漸青睞。雙向改進的Cuk 轉換器作為一種均衡速度快、尺寸和成本合理的電力電子器件，已經逐漸成為主動均衡方式中的主流轉換器勢力，如今已經有多種傳統和優化控制算法應用在轉換器上以實現電池包中各電芯的SOC/電壓均衡。例如，歐陽[3]采用基于估計的準滑模控制算法不僅可以精確地對電池包中每個電芯SOC進行估計，并且這種算法可以在放電和靜置條件下，短時間內實現電芯的SOC 均衡；另外，歐陽在對電池包的模組和電芯領域設計分層控制算法不僅實現了各電芯最終SOC 均衡的目標，也顯示出高精度和低算力的特點[4，5]；Zheng J 等[6]應用變論域模糊控制算法對使用Cuk 轉換器作為均衡器件的電池包進行控制也可以實現電池包中各串聯電芯的電壓均衡。然而，迄今為止，還沒有從能量角度設計過實現電池均衡的控制算法。

互聯和阻尼分配無源控制（IDA-PBC）是一種從能量角度設計以實現控制目標的控制算法，最近IDA-PBC 算法在如智能電網[7，8]，固態變壓器[9]和DC/DC 轉換器[10，11]等不同領域有著大量研究，尤其在DC/DC 轉換器領域，IDA-PBC 已被應用于控制多模塊電池充電器[10]，穩定恒定功率負載[11]等方面。基于IDAPBC 算法從能量角度設計了電池均衡算法，對以雙向能量傳輸為特點的改進Cuk 轉換器這一DC/DC 轉換器進行了動力學建模和控制算法設計，進而實現電池包中各電芯的SOC 均衡。

所做的主要貢獻可以總結為：（1）由于轉換器的動力學比其串聯電芯的動力學快得多，故我們使用平均電感電流和平均電容電壓作為系統的狀態變量來實現電池包中各電芯的均衡。（2）與其他控制算法相比，IDA-PBC 的李雅普諾夫候選函數通常設計為期望的能量函數，這節省了設計李雅普諾夫函數的時間。（3）基于MATLAB/SIMULINK 和PLECS 搭建的IDA-PBC 算法控制器和均衡系統模型可以在靜置模式和放電模式下兩種模式下實現很短時間的電池包均衡控制，同時均衡過程中的轉換器的Cuk 占空比振蕩很小。

1 均衡系統的描述

圖1 所示的是鋰離子電池包的均衡控制框圖，由圖所示，電池包是由n個串聯電芯和n-1 個改進的雙向Cuk 轉換器組成。對于第i個改進的雙向Cuk 轉換器，由兩個電感Li-11和Li-12、一個儲能電容Ci和兩個功率MOSFET（帶有體二極管作為各電芯間的均衡開關）組成。每個Cuk 轉換器的兩個MOSFET 是否導通取決于與其連接的兩個相鄰電芯的/電壓狀態，在特定狀態下，只能導通一個MOSFET。例如，如果電芯Bi的SOC值高于電芯Bi+1的SOC值，則Qi+11導通并將能量從電芯Bi傳遞到電芯Bi+1。相反，如果電芯Bi+1的SOC值高于電芯Bi+1的SOC值，則Qi-12導通并將能量從電芯Bi-1轉移到電芯Bi。

圖1 鋰離子電池包的均衡控制框圖

1.1 電芯均衡狀態時Cuk 轉換器的動力學表達式

對于第i個電芯及其相鄰的第i+1 個電芯，對應的狀態1 為SOCBi≥SOCBi+1，參考電流流動方向如圖2所示。

圖2 相鄰兩電芯對應狀態1（SOCBi≥SOCBi+1）

根據基爾霍夫定律，圖2 中Cuk 轉換器的三階動力學表達式如下：

這里SOC值較高的電芯Bi處于放電狀態，而SOC值較低的電芯Bi+1處于充電狀態，Di1是第i（1 ≤i≤n）個Cuk 轉換器中MOSFETQi1的占空比，Ri1和Ri2分別是電感Li1和Li2的等效內阻。

如果對應的狀態2 為SOCBi+1≥SOCBi，則根據基爾霍夫定律有圖3 中Cuk 轉換器的三階動力學表達式為：

圖3 相鄰兩電芯對應狀態2（SOCBi+1≥SOCBi）

這里SOC值較高的電芯Bi+1處于放電狀態，而SOC值較低的電芯Bi處于充電狀態，Di2是第i（1 ≤i≤n）個Cuk 轉換器的MOSFETQi2的占空比。

1.2 鋰離子電芯的簡化等效模型

雖然鋰電池的等效模型中含有較多的RC 極化電路可以提高模型精度，但是相應地也會增加計算的復雜度，為了減少計算量，特使用簡化的，且精度較高的二階等效電路模型對鋰離子電芯進行動力學建模，簡化的鋰離子電芯模型如圖4 所示，其中左側子電路用于模擬電芯的荷電狀態SOC動力學特性，具體的電芯SOCi的動力學響應如下：

圖4 鋰離子電芯的二階簡化電路模型

這里IBi表示第i個電芯的電流，當電芯處于充電/放電狀態時，其值為負/正。Cbi表示電芯充滿電時的電量，η0表示庫侖效率，Rsdi是一個自放電電阻，可以相當于一個大電阻，也可以忽略不計[3]。在此忽略了電芯的自放電特性，則（3）中的表達式可以表示為：

電池包中第i個（1 ≤i≤n）電芯的電流IBi（k）應是其均衡電流和外部電流之和，即IBi（k）的表達式為：

這里Is（k）的表示外部電流，對于第i個電芯的均衡電流Ieqi（k），其主要來自與其連接的Cuk 均衡器中的電感電流，因此第i個電芯上的均衡電流表達式為：

2 均衡系統控制算法的設計

2.1 PCH 的基本理論

根據系統的動力學表達式可以直接將系統動力學表達式寫成端口哈密頓（PCH）的形式。系統的PCH表達式[10，11]為：

式中x是系統的狀態變量，互連矩陣J（x）是斜對稱矩陣，耗散矩陣R（x）是正半定矩陣。即：另外是系統總能量函數又被稱為哈密頓函數，g（x）被稱為模型的端口特性矩陣，u是控制輸入，η是干擾變量。

2.2 IDA-PBC 的基本理論

在DC/DC 轉換器，IDA-PBC 的主要目的是通過修改所需的互連矩陣Jd（x）、需求阻尼矩陣Rd（x）和控制率u，再根據所需的均衡點xd，分配一個所需的能量函數Hd（x），以保證系統的穩定性。即IDA-PBC 的設計目標是獲得一個閉環系統，然后讓（7）式中的實際狀態變量跟蹤所需的狀態變量。閉環系統的具體表達式為：

其中，需求的互連矩陣J（dx）和阻尼矩陣R（dx）有表達式為：J（dx）=J（x）+J（ax）= -JdT（x），R（dx）=R（x）+R（ax）=RdT（x）≥0，這里J（ax），R（ax）是額外注入的能量矩陣和耗散矩陣。

當系統穩定時，系統狀態變量趨向于期望的狀態變量，即x→xd。基于此，我們可以將（7）和（8）結合起來，得到如下的匹配方程。

2.3 均衡系統的IDA-PBC 算法設計

根據（7）式的端口哈密頓表達式將（1）（2）兩種不同狀態下Cuk 轉換器的動力學表達式改寫為端口哈密頓形式：

根據（10）式有該均衡系統的哈密頓能量函數表達式為

式中Q= diag{Li1，Li2，Ci}。

當系統處于平衡點時，Cuk 轉換器中電容的平均電壓和電感的平均電流應為常數[3]。對電芯狀態1 和電芯狀態2，期望的能量函數表達式為

為簡化計算，設定阻尼矩陣Rd（x）與耗散矩陣R（x）形式類似，需求的互聯矩陣Jd（x）與互聯矩陣形式J（x）類似，即則根據匹配方程表達式（9），有均衡系統的匹配方程為：

（13）式可以擴展成如下表達式：

對于狀態SOCBi ＞SOCBi+1和狀態SOCBi+1≥SOCBi，處于最終穩定狀態的Cuk 轉換器的電容兩端的平均電壓應是與其相連的兩個電芯的電壓之和，并且處于穩定狀態下的兩個相鄰電芯SOC 差值應該保持在非常小的范圍內。在期望狀態下，某一Cuk 轉換器中兩個電感電流應基本保持在相同的水平，所以我們假設目標均衡電流為。綜上所述，期望狀態下的狀態變量表達式為：

通過聯立（14）（15）兩式，可以得到期望電感電流和輸入值的表達式為：

式中，λi1和λi2不可能同時取值，輸入值的分母λi1和λi2均在對應狀態下取數值1，否則輸入值為0。

2.4 收斂性證明

其中，P=QRdQT，根據式（17），很容易發現P是非負的，則我們可以得出V˙≤0 的結論，當且僅當x=xd時，V˙= 0。根據LaSalle 不變性原理x→xd，證明了閉環系統的穩定性。

3 仿真結果

為了驗證所提出的ID-PBC 控制算法，將圖1 所示的均衡系統進行簡化，將含有n個串聯電芯和n-1個雙向更改的Cuk 轉換器簡化為只有三個雙向更改的Cuk 轉換器和四個串聯電芯的均衡系統，并對該均衡系統進行SIMULINK/PLECS 仿真，三個雙向更改的轉換器和四個串聯電芯的均衡系統進行了SIMULINK/PLECS 仿真，這里PLECS 主要用來構造均衡系統模型，另控制器模塊在SIMULINK/PLECS 中搭建。為了簡化仿真步驟，我們將所有電芯和Cuk 轉換器的參數設為一致，四個電芯的參數分別為Q0= 3.1 Ah，Csi=12304 F，Rsi=0.0158 Ω，Cfi=1584 F，Rfi=0.015 Ω。對于每個Cuk 轉換器，有參數Li1=Li2= 100 μH，Ci=470 μF，Ri1=Ri2= 0.05 Ω。對于PWM 周期和控制周期，我們分別選擇Ts= 1/7000 s 和T= 1 s。

考慮到靜置模式下的均衡和放電模式下的均衡兩種均衡模式。對于靜置模式下的均衡，外部電流的表達式為Is（k）= 0，對于放電模式，我們不選擇恒定的放電負載，而是選擇隨時間變化的曲線作為放電負載。放電模式的外部電流曲線如圖5 所示。

圖5 放電模式下的外部電流曲線

在實際情況中，對于每個電芯的開路電壓和極化電阻，極化電容以及歐姆內阻均與有著一定的非線性關系式，其中開路電壓OCV 和荷電狀態SOC的表達式為，VOCi=f（SOCi）這里f（·）是一階可微函數。MATLAB 的曲線擬合工具箱（cftool）用于擬合荷電狀態SOC數據點和開路電壓OCV 數據點，選取的電池包中每個電芯的開路電壓OCV 和荷電狀態SOC之間的關系圖如圖6 所示。根據圖6 我們使用如下的非線性關系來表示開路電壓與荷電狀態之間的關系：

圖6 開路電壓與荷電狀態之間的關系圖

根據圖7 所示，在靜置模式下，電芯1 至電芯4的初始SOC值為SOC1= 0.74，SOC2= 0.82，SOC3=0.71，SOC4= 0.80。靜置模式下的電池均衡大約在250 s 后實現，由于這種模式下的外部電流I（sk）= 0，所以電池包中的每個電芯SOC的值最終將收斂到[0.755，0.765]這個區間中，收斂誤差在1%左右；而對于放電模式下的均衡，在放電模式下，電芯1 至電芯4 的初始值為SOC1= 0.82，SOC2= 0.91，SOC3= 0.80，SOC4= 0.85。其大約在310 s 時達到電池均衡，另外由于外部電流I（sk）隨時間不斷變化，所以當均衡過程終止時，收斂的SOC值也會隨著時間而不斷變化，處于一種動態平衡的狀態。

圖7 兩種均衡模式下的電芯值變化曲線

電池包在靜置均衡模式下使用IDA-PBC 算法的三個Cuk 轉換器的占空比隨時間的變化如圖8 所示，可以看出因為外部電流為0，所以最終的均衡電流是一個常數，其振蕩的時間會減少。而放電均衡模式下使用IDA-PBC 算法的三個Cuk 轉換器的占空比如圖9 所示，因為最終的外部電流仍是隨著時間不斷變化的，所以其振蕩的幅度也會大一點，也正因為外部電流的不斷變化，在第三個Cuk 轉換器甚至有不同MOSFET 打開的情況。總體上，IDA-PBC 算法應用在帶有Cuk 轉換器的電池包上的振蕩時間比較短，且其的均衡速度比較快，均衡時間比較短。

圖8 靜置均衡模式下的不同Cuk 轉換器的占空比隨時間的變化曲線

圖9 放電均衡模式下的不同Cuk 轉換器的占空比隨時間的變化

4 結語

IDA-PBC 算法在由n個串聯電芯和n-1 個改進的雙向Cuk 轉換器組成的均衡系統中的應用，因Cuk轉換器的動力學響應比電芯動力學響應快得多，對雙向更改的Cuk 轉換器中的平均電感電流和平均電容電壓進行了端口哈密頓（PCH）建模。然后根據IDAPBC 算法，提出了期望的互連矩陣和阻尼矩陣，并生成唯一的控制律。該算法不僅實現了均衡系統在靜置模式的各電芯SOC 均衡到某一區間的目標，也實現了放電模式下電池包中每個電芯SOC 均衡到某一區間的目標。另外，無論是靜置模式還是放電模式下的均衡，Cuk 轉換器MOSFET 占空比振蕩的時間都比較短，這在一定程度上保護了開關設備。