淺談齒輪傳動非線性動力學特性

萬里榮，覃莉莉，胡士華，白文濤，陳文軒

（柳州鐵道職業技術學院，廣西 柳州 545616）

0 引言

齒輪傳動系統具有良好的傳動性能，在航空航天、軌道交通、機械制造等領域應用十分廣泛。雖然齒輪傳動具有結構緊湊、傳動精度高、高穩定性等優點，但在高速、高負載等工況下也會產生振動和噪音，為滿足人們對機械設備生活、生產的高需求，相關機械領域對齒輪傳動系統提出了更高要求[1]。而傳統靜力學分析齒輪傳動動力學特性的結論已然無法滿足實際工況的需求。齒輪傳動系統是集齒輪、軸、箱體及軸承的多體機械系統，其動力學特性主要來源于輪齒自身幾何形狀、齒輪嚙合特性，而表現出的響應為振動及噪音，軸及軸承對齒輪傳動系統的動力學特性也具有一定的影響，輪齒傳遞動力過程中的動態激勵是齒輪系統動力學的首要問題[2-3]。由于齒輪傳動系統是原動機及負載的中間環節，原動機及負載引入的激勵稱為外部激勵，齒輪傳遞動力時自身所產生的激勵稱為內部激勵，其內部激勵是齒輪傳動系統的固有激勵，齒輪傳動過程中的輪齒嚙合剛度、輪齒間隙、輪齒嚙合誤差等引起的振動和噪音是內部激勵的主要表現形式。就齒輪傳動系統內部激勵的原因、分析方法及應對措施來進行概述，在此基礎上進行總結和展望。

1 嚙合剛度激勵

嚙合剛度是齒輪傳動系統的重要參數之一，以勻速嚙合傳動的齒輪為例，其嚙合力始終沿著嚙合線方向，且嚙合力的大小不發生變化，因嚙合輪齒對數的變化使得嚙合力由一對輪齒過度到兩對輪齒承擔。而輪齒一般采用中、高碳鋼材料，其材料本身雖有較高的剛度，但不是絕對的剛體材料，在嚙合力的作用下一對輪齒形變量大于兩對輪齒形變量，這種交替的形變會引起齒輪的振動，故嚙合區的輪齒因嚙合對數變化將會引起輪齒的振動，其振動稱為嚙合剛度激勵，它是齒輪傳動系統的固有屬性。實際嚙合過程中的輪齒會表現為周期性的微量振動。齒輪嚙合剛度激勵主要考慮振幅和振頻兩個因素對齒輪傳動系統的影響，振幅對齒輪傳動系統的影響表現為小幅度的周期性的振動，齒輪嚙合剛度激勵的振幅可看成傳動系統的固有附加載荷，這種固有的附加載荷對傳動系統零部件強度影響很小，附加載荷產生應力遠低于傳動系統材料的許用應力；但振頻對齒輪傳動系統的影響表現為某一周期性的振動，這種某一周期性的振動對傳動系統可能產生巨大的破環，在于某一周期性的振動可能對傳動系統的零部件觸發共振，進而使得傳動系統的零部件短時間的產生失效，如高速列車齒輪箱體局部共振產生的斷裂見圖1 所示。此外，嚙合剛度的大小不但受載荷變化的影響，還取決于齒輪的幾何形狀、材料性質、嚙合方式等因素，其直接影響齒輪傳動系統的動態特性和傳動精度。

圖1 箱體局部共振斷裂

現以漸開線直齒圓外嚙合齒輪為例如圖2 所示，根據齒輪的重合度計算公式如公式1，可知漸開線直齒圓外嚙合齒輪的重合度在1-2 之間，重合度數值越大表征雙齒嚙合占比嚙合區段越長。圖1 齒輪嚙合幾何模型的重合度是1.3，通過該圖1 齒輪嚙合幾何模型不難發現存在三個嚙合區段，且不同嚙合區段輪齒嚙合對數不同，從左往右分別是DC 區段的輪齒嚙合是一對、CB 區段的輪齒嚙合是兩對和AB 區段的輪齒嚙合是一對，其CB 雙齒嚙合去占比嚙合區的30%。

圖2 齒輪嚙合區

式中：z1，z2為齒數；αa1、αa2為齒頂圓壓力角，α' 為嚙合角。

齒輪傳動的重合度對齒輪傳動系統的平穩性會產生影響，重合度數值越高，傳動約平穩。直齒圓柱齒輪的重合度公式極值條件，重合度的大值為1.98，要進一步提高重合度需要將齒輪制作成斜齒輪，斜齒輪的嚙合剛度激勵相比直齒輪的嚙合剛度激勵小。因此，時變剛度激勵是齒輪傳動系統動力學要考慮的主要因素之一。

輪齒嚙合時的輪齒接觸由單對輪齒過度到兩對輪齒再過渡到單對輪齒如圖2 所示。因此載荷的傳遞由單對齒輪承擔過度到雙齒齒輪承擔再過度到單齒齒輪承擔[4]。其齒輪的嚙合剛度定義為單位法向彈性形變下所需要的法向載荷，故齒輪綜合嚙合剛度k如公式（2）所示。

式中：k為齒輪綜合嚙合剛度，Fn為法向接觸力，δn為法向彈性形變。

但公式（2）只能靜態的反應齒輪嚙合剛度，并不能動態的反應齒輪嚙合剛度的變化，由圖2 齒輪嚙合幾何模型，知道齒輪嚙合的輪齒對數會產生交替變化，因此齒輪的嚙合剛度也會產生周期行的變化，其齒輪嚙合剛度齒公式（3）來表示。

式中：k為嚙合剛度，km為平均嚙合剛度，kα為剛度幅值，φ為相位角。

對于嚙合剛度的研究主要集中在理論計算和實驗測量兩個方面。理論計算主要采用有限元分析、石傳剛度法[4]解析方法等數值模擬方法。石川剛度法應用最為廣泛，其將嚙合的輪齒簡化成矩形和梯形的組合型的懸臂梁，并借助材料力學解析法求得齒輪嚙合剛度[5]，但石川剛度公式法并未考慮到輪體的變形，隨后李亞鵬在石川剛度法發的基礎上考慮了輪體的變形，得到了改進型石川剛法[6]。有限元法剛度法是將齒輪實體結構進行網格劃分成有限個單元體，并定以齒輪邊界條件及施加載荷，通過單元體節點疊加運算獲得輪齒不同嚙合點的位移，代入剛度公式計算出輪齒嚙合剛度，有限元計算齒輪的嚙合剛度時對齒輪模型劃分網格質量要求較高，網格劃分質量直接影響嚙合計算剛度數值精度。實驗測量主要采用激光干涉儀、應變計等測試設備，可以對齒輪嚙合時的變形量和應力分布進行實時監測和測量。然而，目前對于嚙合剛度的研究還存在一些不足之處。首先，現有的理論計算方法和實驗測量方法都存在一定的誤差和局限性，無法完全準確地描述齒輪嚙合時的變形量和應力分布。其次，現有的研究主要集中在單個齒輪的嚙合剛度研究，對于多齒輪系統的嚙合剛度研究還比較有限。最后，現有的研究主要集中在靜態嚙合剛度的研究，對于動態嚙合剛度的研究還比較薄弱。

2 嚙合誤差激勵

嚙合誤差是指實際嚙合位置與理論嚙合位置之間的差異。以勻速嚙合傳動的齒輪圖3 為例，理想主動輪齒廓A點和被動輪上齒廓B點相嚙合時，被動輪可以被主動輪勻速帶動，由齒輪加工誤差、齒距誤差、齒厚誤差等因素的影響，使被動輪上實際齒廓在B，處，主動輪齒廓A須多轉一個角度d使齒廓A沿嚙合線繼續移動一個附加距離TE之后，齒廓A才和被動輪的實際齒廓B相嚙合，這個距離TE就是傳遞誤差。

圖3 齒輪傳遞誤差

嚙合誤差同嚙合剛度一樣會造成齒輪傳動系統振動，是齒輪傳動系統一個非常重要的參數，它直接影響齒輪傳動的精度、噪音、壽命及穩定性，嚙合誤差會導致齒輪傳動的實際傳動比與理論傳動比之間存在差異，從而影響齒輪傳動的精度；嚙合誤差會導致齒輪傳動中的振動和噪聲，從而影響齒輪傳動的噪聲水平；嚙合誤差會導致齒輪傳動中的磨損和疲勞，從而影響齒輪傳動的壽命；嚙合誤差會導致齒輪傳動中的沖擊和振動，從而影響齒輪傳動的穩定性，因此，嚙合誤差的研究對于提高齒輪傳動的性能和可靠性具有重要意義[6-7]。

加工所產生的齒形誤差、齒距誤差、齒厚誤差及齒輪傳動中的載荷和熱變形等因素的誤差，導致齒輪的實際嚙合位置與理論嚙合位置之間存在差異。嚙合誤差的測量方法主要有兩種：一種是基于齒輪嚙合時的振動信號進行測量，另一種是基于齒輪嚙合時的力信號進行測量。基于振動信號的測量方法主要包括接觸振動法、加速度傳感器法和激光干涉法等，這些方法可以測量出齒輪嚙合時的振動頻率和振幅，從而計算出嚙合誤差。基于力信號的測量方法主要包括力傳感器法和應變傳感器法等，這些方法可以測量出齒輪嚙合時的力信號，從而計算出嚙合誤差。

為了減小嚙合誤差的影響，可以提高齒輪加工精度，通過提高齒輪加工精度，減小齒輪加工誤差，從而減小嚙合誤差；優化齒輪設計，通過優化齒輪設計，減小齒輪傳動中的變形和彈性變形，從而減小嚙合誤差；采用高精度測量方法，通過采用高精度的測量方法，準確測量嚙合誤差，從而及時發現和解決問題；采用高精度控制系統，通過采用高精度的控制系統，減小齒輪傳動中的變形和彈性變形，從而減小嚙合誤差。現在分析齒輪嚙合誤差激勵主要通過實測誤差，并通過函數的方式來反應齒輪嚙合誤差激勵，盡管這種實測誤差最為準確，受測試條件或是環境的影響較大，現有分析齒輪嚙合誤差激勵對系統動力學影響，通常采用傅里葉級數或是簡諧函數來代替嚙合誤差，其簡諧函數對齒輪嚙合誤差表示方法如公式（4）所示。

式中：e0為誤差常數，er為誤差幅值，ωn為嚙合頻率，?r為初始相位角，e（t）為嚙合誤差。

3 齒側間隙沖擊

齒側間隙沖擊是機械傳動系統中常見的問題，它會導致機械傳動系統的噪聲和振動增加，降低機械傳動系統的效率和壽命[8-10]。齒輪在傳遞運動過程中，若存在潤滑不良的情況下，相互嚙合的輪廓產生磨損導致輪齒間隙，存在齒輪間隙的一對輪齒在繞著某一個方向傳動過程中會直接改變了其接觸狀態，從而出現沖擊接觸、脫離、在沖擊接觸導致振動或產生噪音，這將會對齒輪傳動系統動力學特性產生很大的影響，實際上輪齒間隙會很大程度上加速齒廓磨損、齒廓點蝕、齒廓塑性變形、齒根疲勞等現象。以勻速嚙合傳動的齒輪圖4 為例，齒輪嚙合傳動時，為了在嚙合齒廓之間形成潤滑油膜，避免因輪齒摩檫發熱膨脹而卡死，齒廓之間必須留有間隙，此間隙稱為齒側間隙，簡稱側隙。齒側間隙的存在會產生齒間沖擊，影響齒輪傳動的平穩性。因此，這個間隙只能很小，通常由齒差來保證。對于齒輪運動設計仍按無齒側間隙（側隙為零）進行設計。

齒側間隙沖擊的機理和控制方法對于提高機械傳動系統的性能具有重要意義。為了控制齒側間隙沖擊，可采取施優化齒輪設計減小齒輪齒側間隙和齒輪軸向位移，從而減小齒側間隙沖擊。例如，可以采用高精度加工工藝制造齒輪減小齒輪齒側間隙及采用軸向預緊裝置減小齒輪軸向位移。采用減震措施減小齒側間隙沖擊的影響。例如，可以在齒輪箱體內部安裝減震墊減小齒側間隙沖擊的傳遞。采用控制算法實現對齒側間隙沖擊的控制。例如，可以采用自適應控制算法，根據齒側間隙沖擊的實時情況，調整齒輪傳動的參數，減小齒側間隙沖擊的影響。現有分析齒輪齒側間隙沖擊對系統動力學影響，其沖擊力如公式5 所示。齒側間隙沖擊力是指齒輪嚙合時產生的沖擊力，其表達式為：

圖4 齒側間隙

式中：Ft為齒側間隙沖擊力，T為傳遞扭矩，α為壓力角，d1和d2分別為兩個齒輪的分度圓直徑。

4 結語

齒輪傳動系統的動力學性能受剛度激勵、誤差沖擊、齒輪間隙沖擊三者影響，目前主要對齒輪傳動系統動力的大都研究某一因素影響，在實際情況下，不能單純的考慮其中某一激勵的影響，因三種類型的激勵是相互耦合的，并不單一純在。由于齒輪傳動應用十分廣泛，其在航天、高速鐵路、緊密機床具有絕對優勢，因此對齒輪傳動系統動力學特性研究尤為重要，所以對齒輪傳動系統動力學性能研究需要結合應用場合。可以借助現有的計算機仿真技術來和現有機械工程設備對齒輪傳動系統動力學性能的研究不斷深入，其研究的目的主要是對齒輪傳動系統的失效加以預防，使得工程設備能可靠且安全的運行。也可以從幾個方面措施來應對：（1）嚙合剛度激勵受齒輪材料的法向彈性變形和嚙合時的重合度變化的影響，其嚙合時的重合度變化時齒輪的固有特性，故減弱齒輪嚙合剛度的對齒輪傳動系統動力學影響可以從材料的角度出發，提高制作齒輪材料的剛度；（2）嚙合誤差激勵受齒輪加工方法和安裝條件影響，可以采用更加先進的制造技術和提高安裝工人的素質來解決；三是，齒側間隙沖擊往往受潤滑條件的影響，可以開發出可靠的潤滑系統，來減小齒面磨損，預防齒輪間隙因磨損變大。