基于動態內并行潛結構投影的故障檢測方法

孔祥玉，陳雅琳,2，羅家宇，楊治艷

(1.火箭軍工程大學 導彈工程學院，陜西 西安 710025；2.航空工業成都凱天電子股份有限公司，四川 成都 610091；3.工業和信息化部電子第五研究所，廣東 廣州 511370)

工業過程較復雜，難以建立精確的機理模型、且產生的數據形式多樣，如何利用工業過程中積累的海量數據輔助和提升過程數據分析是當前的研究熱點.基于數據驅動的多元統計建模方法在過程監測領域中得到了廣泛應用[1-3]，常用的建模算法有主成分分析[4-6](principal component analysis，PCA)、獨立成分分析[7-8](independent component analysis，ICA)、偏最小二乘分析[9-10](partial least squares，PLS)等[11].

與其他數據驅動的建模方法不同，PLS方法通過迭代提取過程變量和質量變量相關性最大的潛在變量空間，能夠有效地監測質量相關故障.Li等[12]研究發現，PLS引導的斜交分解方式沒有按照輸入X的方差降序提取潛變量，容易出現誤報警的現象.Zhou等[13]提出全潛結構投影(total PLS, TPLS)的方法.Yin等[14]提出改進潛結構投影(modified of PLS, MPLS)的方法，采用奇異值(singular value decomposition, SVD)分解代替迭代過程，對輸入進行正交分解.Peng等[15]提出高效潛結構(efficient PLS，EPLS)的方法.Qin等[16]提出并行潛結構投影(concurrent PLS，CPLS)的方法.

上述方法不能提取過程變量和質量變量之間的動態變化.近年來，諸多學者提出動態擴展算法.常用的動態擴展方法[17]有數據預處理和模型修正方法.基于數據預處理的方法，Ricker[18]結合有限脈沖響應(finite impulse response, FIR)矩陣格式，提出FIR-PLS動態模型.Ku等[19]提出動態主成分分析(dynamic PCA，DPCA)方法等.Kaspar等[20]構建外靜、內動的DPLS模型修正方法.Lakshminarayanan等[21]提出改進內部模型的算法.上述模型未克服內、外部模型不一致的缺點，Li等[22]提出外部模型與輸入輸出分數之間的內部模型一致的DPLS算法，結合動態潛變量模型(dynamic latent variable，DLV)將其擴展至DTPLS.Dong等[23]提出內、外模型一致的動態內潛結構投影方法(dynamic inner projection to latent structures，DiPLS)，給出動態內部模型和外部模型的明確解釋.Dong等[24]提出DiPCA算法來捕獲動態變化的數據，又提出動態內典型相關分析(Di canonical correlation analysis，DiCCA)算法[25].

DiPLS模型[26]僅提取可預測輸入數據中與輸出相關的動態特征，忽略了不可預測輸入數據中與輸出有關的變化.Kong等[27]提出考慮時延的在線監測動態并發PLS(online monitoring dynamic PLS，OMD-PLS)模型，該模型雖然提供了較全面的故障檢測方法，但僅考慮了PLS外部模型的動態優化，在實際工業過程中會產生較多的誤報情況.為了保證在缺失部分時段質量數據時，能夠較好地提取質量相關的動態信息，給出內外模型的明確描述，本文將時延的質量數據引入DiPLS的目標函數中，提出在線監測動態內潛結構投影(online monitoring-DiPLS，OM-DiPLS)模型.結合CPLS算法，將OM-DiPLS模型進行擴展，提出在線監測動態內并行潛結構投影模型(OM-Di CPLS)模型.對自相關的得分采用向量自回歸模型分離動態、靜態信息，構造合適的統計量進行故障檢測，建立完整的故障檢測流程.所提方法提供了較完整的空間劃分方式，考慮了時滯的輸出變量數據，提高了質量相關故障的檢測效果.

1 DiPLS模型

Dong等[23]提出內部、外部關系一致的動態PLS模型，即DiPLS模型，推導該模型的幾何性質，給出詳細的證明過程.該模型最大限度地提高了輸入得分與輸出得分之間的協方差，得到的動態模型使得輸出與潛變量動態相關，潛變量是輸入變量向低維子空間的投影.動態潛在變量是在輸出數據的監督下提取的，保證了外部模型的導出，提高了模型的可解釋性.

設輸入矩陣X包含n次采樣m個過程變量，輸出矩陣Y包含n次采樣p個質量變量，如下所示：

假定X的潛在變量可以表示為t=Xw，Y的潛在變量可以表示為u=Yq，其中w和q均為權重向量.由于PLS提取潛變量的原則是包含最多的變異信息和最大化相關程度，則潛變量的選取問題可以轉化為求下式的最優解：

通過結合特征值分解對上述目標函數求解，可以推導得到PLS的外部模型：

式中：T、U為X、Y對應的得分矩陣，P、Q為X、Y對應的負載矩陣，E、F為X、Y對應的殘差矩陣.若B為回歸系數矩陣，則表示潛變量之間關系的內部模型可以表示為U=TB.

傳統的PLS方法不適用于動態數據的建模過程.將當前時刻的輸出潛變量與輸入潛變量之間動態關系的模型構造如下：

式中：rk為當前時刻的殘差；βi為輸入潛變量t的權重系數，i=0，1，···，s，其中s為動態模型的階數，由最小化信息準則(Akaike information criterion，AIC)確定.線性PLS的動態內部模型可以被預測為

式中：權重系數矩陣β=[β0，β1，···，βs]T，β?w為克羅內克積.為了使構造的外部模型與內部模型保持一致，可以尋找uk與u?k之間相關程度(或協方差)的最大化，DiPLS的目標函數為

結合文獻[19]的方法，將輸入輸出矩陣進行擴充，可得

結合式(8)～(10)，可以將目標函數重新表述為

2 OM-DiCPLS模型及其過程監測策略

2.1 OM-DiPLS模型

為了解決實際工業過程中的質量數據相較于過程數據存在滯后的問題，對DiPLS算法進行改進，提出在線監測DiPLS模型.該模型通過引入t個時延的質量數據，提高了對故障的檢測能力.

令Ys=[Yt,Yt+1,···,Ys-1]∈R(n-s+1)×(s-t)p，并代替Yg，則新的目標函數為

采用拉格朗日乘子法，優化該目標函數：

分別關于q、β和w求 偏導并令等式為零，得到下式：

根據克羅內克積的性質，可得

將式(14)～(16)分別左乘qT、wT和βT，結合式(14)～(17)，可得目標函數J的最大值：

因此可以得到

從式(19)～(21)可以看出，q、w和β無法直接計算得到.將q、w和β初始化為單位向量，循環迭代直到參數收斂，得到的3個值能夠使目標函數取得最大值，避免了局部最值的產生.以上為OM-DiPLS外部模型的建立過程.

從外部模型可以得到輸入輸出的動態得分，計算公式為ti=Xiw∈Rn×1，us=Ysq∈R(n-s+1)×1.類似于式(6)，為了捕捉ti與us之間的動態變化，可以建立動態內部預測模型：=β0ts+β1ts-1+···+βst0.

若ti是自相關的，則可以通過最小二乘法進行參數估計，得到

式中：Ts=[ts,ts-1,···,t0].為了方便從輸入擴展矩陣Zs直 接計算輸出的得分矩陣， 引入系數矩陣Rg：

式中：βf(i)為Rf(i)對應的權重，f=1,2,···,s.的求解公式為=ZsRg.

綜上所述，構建的OM-DiPLS模′型如下：

式中：T、為Zs、Ys對應的得分矩陣，P、Q為相應的負載矩陣，、為相應的殘差矩陣.

2.2 OM-DiCPLS模型

OM-DiPLS模型僅關注從輸入數據中預測的與輸出數據相關的變化，忽視了不可預測的輸出數據存在與過程和質量擾動有關的變化.將OMDiPLS模型擴展為在線監測動態內并行潛結構投影(OM-DiCPLS)模型.該模型從OM-DiPLS算法中提取的與可預測輸出相關的動態得分，形成聯合輸入、輸出的協變子空間(covariation subspace, CVS)，記為SCVS.將輸出殘差用PCA分解為輸出主子空間(output principal subspace，OPS，記為SOPS)和輸出殘差子空間(outp ut residualsubspace，ORS，記為SORS).將輸入殘差用PCA分解為輸入主子空間(input principal subspace，IPS，記為SIPS)和輸入殘差子空間(input residual subspace，IRS，記為SIRS).具體步驟如下.

在式(25)兩邊右乘VcD-c1，可以得到Uc的 表達式：

此時，得到的OM-DiCPLS模型如下：

結合文獻[26]的方法，基于OM-DiCPLS算法的回歸建模步驟如下.

1) 數據預處理.將給定的訓練集輸入輸出數據進行歸一化處理，結合式(8)～(10)進行數據擴充，得到和.

計算wj并歸一化，進行收斂性判定：

計算權重向量并歸一化：

計算第j個潛在分量的得分向量tj=Xswj；輸出潛變量為us(j)=Ys(j)qj.

5) 更新Xs.令滯后樣本，則分塊數據的得分為負載為矩陣壓縮：；循環迭代，直到f＞s；最終得到：返回步驟2)，循環迭代直到j＞A，A為主元個數；用式(25)將由OM-DiPLS算法得到的可預測輸出值進行SVD分解，得到Uc、Qc；用式(27)將輸出殘差進行PCA分解，得到Ty、；用式(28)將輸入殘差進行PCA分解，得到Tx、.

2.3 基于OM-DiCPLS模型的過程監測技術

Qin等[28]指出潛在變量在數據中包含了較多的動態特性，須通過建立動態模型，體現內部的自相關特性.由于工業過程通常在一個固定點下運行，可以假設當前時刻的得分向量tk是準平穩過程，此時可以用平穩的時間序列模型(即向量自回歸(vector autoregressive，VAR)模型) 描述tk，如下所示：

Q統計量作為衡量樣本在殘差空間中投影變化的指標，可以使用Q統計量對輸入輸出殘差子空間、進行監測，如下所示：

當統計指標超過控制限時，表明故障發生，給出相應控制限的計算公式.對于T2統計量，控制限由主元個數A、 樣本數n及置信度α確定，且服從F分布，如下所示：

對于Q統計量，控制限由樣本均值μ和樣本方差S確定，且服從χ2分布，如下所示：

基于OM-DiCPLS模型構建的統計指標及相應的控制限如表1所示.

表1 OM-DiCPLS模型的統計指標Tab.1 Statistical indicators of OM-DiCPLS model

對于給定的測試集輸入Xce、輸出Yce，須經離線建模、在線監測以及故障檢測3個階段，才能對測試集實現在線故障檢測.

1) 離線建模階段.采用表1的OM-DiCPLS算法步驟建立完整的模型，得到模型參數.由訓練集經VAR建模，結合式(33)、(34)計算模型的控制限：

2) 在線監測階段.將Xce、Yce進行歸一化預處理，得到標準化的輸入輸出Xnew、Ynew，構建新的增廣數據矩陣Zs_new、Ys_new.計算共變子空間的新動態得分矩陣Uc_new=Zs_newRgc，由式(31)計算統計量計算新的輸入殘差矩陣計算輸入主子空間新的得分矩陣由式(31)計算統計量計算新的輸出殘差矩陣計算輸入主子空間新的得分矩陣Ty_new=Ys_newPy，由式(31)計算統計量由式(32)計算新的輸入殘差統計量和新的輸出殘差統計量

3) 故障檢測階段.將控制限與新的統計量進行比較，判斷故障發生的類型.

當＜時，表明發生了質量相關的故障.當＜時，表明發生了質量無關但過程相關的故障.當＜時，表明發生了質量無關的不可預測故障.當＜或＜時，表明數據采集時存在噪聲或其他干擾.

3 田納西-伊斯曼過程實驗仿真

1993年美國化學公司的Downs和Vogel基于真實的化學過程開發了仿真平臺，即田納西-伊斯曼過程(Tennessee-Eastman process，TEP).TEP中基于氣液平衡、物料平衡、能量平衡等平衡方程式，建立30個微分方程和148個代數方程.實際工業過程中方程的數目比仿真平臺所有模型方程的總和多.這是由于實際工業過程各部分間耦合嚴重，難以建模，只能通過優化部分分母、平方根和對數等參數，使得模型具有更加良好的性能[29-32].為了確保TEP的模型具有真實工業過程的動態行為，Downs和Vogel采用線性特征值分析方法求解系統的最快模態；因此，TEP是包含快速和緩慢變化的動態復雜過程，被廣泛應用于動態類算法的試驗驗證[33-34].

TE仿真平臺可以獲得52個變量，其中有41個過程變量和11個操縱變量.同時，可以模擬21種故障類型，其中有15種已知故障和6種未知故障.該平臺通過人為設置不同的故障，相應生成不同的故障樣本，樣本集中包含了160個正常樣本和800個故障樣本.當平臺正常運行時，可以獲得正常樣本.正常樣本中通常包含了500個樣本，對TEP詳細的描述可以參見文獻[35].將已知故障進行分類，分為質量相關故障(1,2,5～8,10,12,13)和質量無關故障(3,4,9,11,14,15).在質量相關故障的檢測實驗中，常用實際檢測檢測到的故障樣本數占故障樣本數的百分比，即有效故障檢測率(fault detection rate, FDR)作為衡量算法有效性的指標.在質量無關故障的檢測實驗中，將實際檢測到的異常樣本占故障樣本總數的百分比，即誤報率(false alarm rates, FAR)作為衡量算法有效性的標準.

在實驗仿真中，選取22個過程變量 XMEAS(1～22)和11個操縱變量XMV(1～11)作為輸入變量，選取5個輸出變量：XMEAS(37～41).通過二維交叉驗證，求取最優的A=7,s=6.為了驗證所提算法的故障檢測性能，選取的比較對象為OMDCPLS和DTPLS算法[18].OM-DCPLS模型的空間劃分方式與OM-DiCPLS一致.DTPLS算法將輸入空間分解成4個空間：質量相關的動態空間SD、質量無關的動態空間SWD、質量無關的靜態空間SWG和殘差空間SDT.各子空間對應的統計量為、、和Qs_new.將輸出空間分解為可預測的動態輸出空間和殘差空間.通過交叉驗證求取DTPLS的最優參數為ADT=5,sDT=4，OMDC-PLS的最優參數為AOMDC=6,sOMDC=4.分析2種模型可知，DTPLS模型分解得到的質量相關的動態空間與OM-DiCPLS和OMDC-PLS模型得到的質量相關的可預測空間都可以描述為動態的質量相關空間；DTPLS模型分解得到的質量無關的靜態空間與OM-DiCPLS和OMDC-PLS模型得到的輸入主子空間都可以描述為靜態的質量無關空間，故二者可以作為比較的對象.相較于DTPLS和OMDC-PLS算法，本文方法提供了更合理的空間劃分方式，也更關注輸入數據中存在的不可預測的信息，使得殘差空間的監控更合理.

DTPLS算法和OM-DiCPLS算法關于質量相關故障的檢測實驗結果如表2所示，用加粗的字體標記較好的檢測結果.在質量相關的動態子空間，對于階躍故障(1, 2, 6)，利用3種算法均能夠較好地檢測到質量相關故障的發生，有效故障檢測率大于99%.對于隨機變化的供料濃度故障(8)和緩慢漂移的故障(13)，DTPLS檢測效果不如OM-DiCPLS和OMDC-PLS，但3種算法的故障檢測率大于92%.對于反映冷卻水溫度變化的階躍故障(5, 7)，相較于其他2種算法，OM-DiCPLS的故障檢測效果較差，這可能是因為水溫變化受反應器的級聯控制影響.在質量無關的靜態子空間中，3種算法對故障(1, 2, 6～8, 13)的監測效果較理想，能夠檢測到90%的故障.對于故障(5)和供料溫度變化的故障(10)，DTPLS和OM-DiCPLS的故障檢測效果較一般，且檢測結果較相近，而OMDC-PLS算法的故障檢測率分別較其他2種方法提高了將近10%和18%.對于方差隨機增大的故障(12)，OM-DiCPLS和OMDC-PLS的檢測效果提高了約8%.輸入殘差子空間主要用來監測噪聲的干擾情況.從表2可以看出，OM-DiCPLS算法經過PCA分解后得到的輸入殘差中包含較少的質量相關信息，更適合Q統計量的監測，故障檢測率均有一定幅度的提升.OM-DiCPLS相較于OMDC-PLS，能夠更好地提取出數據間的動態相關性，使得輸出主子空間和輸出殘差子空間中僅包含靜態的信息，更適合統計量的監測，實現較好的故障檢測效果.

表2 質量相關故障檢測率Tab.2 Detection rates of quality-related fault%

質量相關故障(12)的監測效果如圖1所示.給出測試集正常樣本的局部監測結果放大圖.從圖1可以看出，OM-DiCPLS和OMDC-PLS算法的質量相關動態子空間能夠較好地建立正常數據的模型，使得測試集的前160個正常樣本能夠較好地維持在控制限以下，對測試集的故障樣本有更好的監測效果.DTPLS算法存在少量樣本超出控制限的現象.出現這種現象的原因一方面是置信度α選取為0.99，另一方面可能是DTPLS在建模階段提取的動態特征不夠徹底，構建的模型不夠準確.在質量無關的靜態子空間，3種算法對正常樣本都有較好的建模效果.在質量相關的動態子空間中，與DTPLS算法相比，OM-DiCPLS和OMDC-PLS檢測到更多的故障樣本.輸入主子空間又稱為質量無關靜態子空間.對于質量相關故障而言，該空間不應檢測到故障的發生.從圖1可知，利用3種方法均能夠監測到大量誤報警的情況.這可能是因為數據中包含了大量與質量無關、但與過程相關的信息.在輸入殘差子空間和輸出殘差子空間中，相較于OMDC-PLS方法，較小變化的噪聲或其他干擾能夠更容易超過OM-DiCPLS的控制限，這說明Q統計量能夠實現對殘差空間的在線監測.

如圖2所示為OM-DiCPLS對故障(2)的監測效果圖.可以看出，OM-DiCPLS具有CPLS方法的優勢：對于呈現階躍變化的質量相關故障，在階躍變化發生后，統計量先上升后下降，而與輸入相關的變異性指標較高.這說明TEP中的反饋控制器可以減少部分故障的影響，使質量變量趨于正常狀態，但是沒有完全回歸到正常狀態.

圖2 OM-DiCPLS方法對故障(2)的監測效果Fig.2 Monitoring effect of OM-DiCPLS method for fault (2)

3種算法關于質量無關故障的檢測實驗結果如表3所示，用加粗的字體標記檢測結果較好的值.在質量相關的動態子空間中，對于質量無關的故障(3, 4, 9, 11, 15)，應對輸出無影響，不應檢測到故障的發生.在實際在線監測過程中，卻能發現少量的故障，此時認為發生了誤報警情況.從表3可以看出，本文算法在質量相關的動態子空間中對質量無關故障有更少的誤報警情況，誤報警率分別降低了6%～17%.這是因為通過對得分進行VAR建模，將動態信息與靜態信息分離，通過對靜態信息的監測能夠更好地反映數據的變化情況.在輸入殘差子空間中，利用3種方法能夠較好地監測到階躍變化的故障(4)的噪聲干擾，故障檢測率大于95%.對于反應供料溫度變化的微小變化故障(3, 9, 15)，利用OM-DiCPLS能夠較好地監測到噪聲干擾，故障檢測率比DTPLS提高了約92%，比OMDC-PLS提高了約97%.對于反應冷卻水內部溫度的隨機故障(11)，3種算法的監測效果相差不大，但利用OM-DiCPLS能夠監測到所有的噪聲.將質量無關的不可預測輸出值通過PCA分解得到輸出主子空間與輸出殘差空間中不包含質量相關的動態信息，因此故障檢測率提高了約40%.通過對得分進行VAR建模，剔除了數據間的自相關變化，能夠更加真實地反映數據的變化，因此可以實現較好的故障檢測效果.

表3 質量無關故障的誤報率Tab.3 False alarm rates of quality-unrelated fault%

反映冷卻水內部溫度的階躍故障(4)的監測效果如圖3所示.從圖3可知，在質量相關的動態子空間中，DTPLS算法對所有樣本的監測都存在較多誤報警的情況，OMDC-PLS在200～350個樣本之前發生較多的誤報警情況，而OM-DiCPLS算法僅對故障樣本存在少量誤報警的情況，能夠快速地回到控制限以下，故采用VAR監測的OM-DiCPLS算法對質量無關故障的建模效果優于DTPLS和OMDC-PLS.在前160個正常樣本監測階段，DTPLS存在較多樣本超出控制限的現象.OMDC-PLS盡管在第40個正常樣本附近出現了越過控制限的情況，但能夠立即回到控制限下方.OM-DiCPLS的特征提取能力和建模效果最好，在正常樣本時未發生越過控制限的情況.對于質量無關的故障而言，在質量無關的靜態子空間中，故障檢測率越高越好.從圖3可知，OM-DiCPLS不能很好地監測到故障的發生.這可能是數據中包含了較多與質量無關但與過程相關的信息.在輸入殘差空間中，3種算法都對噪聲較敏感，能夠很好地監測到噪聲干擾的存在.在輸出主子空間和輸出殘差子空間中，OMDC-PLS在前160個正常樣本監測階段即未發生故障時，誤報警情況更少.OM-DiCPLS雖然在故障發生后具有較好的故障檢測效果，但在故障發生前對正常樣本有更多的誤報警情況.可能的原因如下：引入的時滯質量數據導致經過動態特征提取后的中包含輕微的偏差，使得對不可預測輸出值進行PCA分解后，在線監測的統計量對輕微的偏差更敏感.

圖3 質量無關故障(4)的監測效果Fig.3 Monitoring effect of quality-unrelated fault (4)

綜上所述，相較于DTPLS和OMDC-PLS，OMDiCPLS算法更適合構建時滯過程數據與時滯質量數據之間的動態模型，對于質量相關故障能夠維持較好的監測效果.利用VAR模型得到的統計指標能夠分離動、靜態信息，使得質量無關故障保持較低的誤報率.較完整的空間劃分方式使得殘差主子空間能夠更好地監測微小變化的噪聲故障.

4 結 語

本文提出的OM-DiCPLS算法模型關注了不可預測的輸入輸出數據中存在的擾動信息，考慮了輸入輸出變量，提供了較完整的空間劃分方式，能夠更好地適用于存在時滯數據的在線監測.與DTPLS和OMDC-PLS算法模型相比，OMDiCPLS算法模型有更好的質量相關故障檢測效果.通過對自相關的得分進行VAR建模后再開展統計指標監測，能夠減少質量無關故障的誤報警情況.

盡管本文所提的OM-DiCPLS算法成功應用于動態過程的故障檢測中，但實際工業過程受周圍環境的影響，往往具有時變特性，如何實現模型的自適應更新是亟須解決的問題.將現有方法進行改進并應用于非高斯、多模態、非平穩等其他復雜工業特性中，是未來研究的方向.