含多球鉸間隙并聯機構動力學建模與響應分析

陳修龍, 張昊

(山東科技大學 機械電子工程學院,山東 青島 266590)

并聯機器人具有結構緊湊、可承受載荷大、自身慣性小等優點[1-3],并聯機構是并聯機器人的骨架。球鉸連接能使機構實現3個方向的轉動,轉動范圍大,靈活性好,在并聯機構中應用廣泛[4],受到加工精度、裝配需要等因素影響,球鉸之間必然會產生間隙,間隙的產生會使并聯機構產生噪聲和振動,降低運動精度,縮短機構的使用壽命[5]。因此,為了分析機構的動力學響應,建立含球鉸間隙的并聯機構動力學模型,對于預測機構在實際使用中的動力學行為具有重要意義。

目前,在對機構的運動副間隙研究領域,大多數國內外學者的研究針對的是含間隙的平面機構,對含間隙空間并聯機構的研究較少。Song等[6]提出了一種含多個轉動副間隙的平面多體動力學建模方法,并用ADAMS軟件仿真驗證其正確性;Chen等[7]分析了含轉動副間隙的曲柄滑塊機構的動態特性;Ma等[8]建立了含多個轉動副間隙的平面多體動力學模型,研究多間隙對機構動力學響應的影響;鄭恩來等[9]以含轉動副潤滑間隙的平面柔性多連桿系統為例,研究機構的動力學響應;Muvengei等[10]分析了考慮多個轉動副間隙機構的動態響應特性;Wang等[11]提出了一種含間隙多體系統動力學模型,分析了間隙位置、間隙數量對機構動態響應的影響;Zheng等[12]研究了轉動副間隙和柔性構件如何影響多連桿壓力機的動力學特性;趙寬等[13]基于Lagrange方程,以含轉動副間隙曲柄滑塊機構為研究對象,分析了該機構的動力學響應特性;Wang等[14]研究了含單個球面副和柔性構件的空間4-SPS/PS機構的動力學響應;陳修龍等[15]以4-UPS-RPU空間并聯機構為研究對象,建立其含單個間隙的剛體動力學模型,研究間隙值大小對其動態特性的影響。

本文選用空間并聯機構三維模型3-SPS-S并聯機構為研究對象,為了推導出準確的球鉸間隙處的碰撞力模型,采用基于Flores法向接觸力模型和改進的Coulomb摩擦力模型的方法,并利用Lagrange乘子法建立含多個球鉸間隙的并聯機構動力學模型,將求解程序寫入Matlab軟件,從而計算得到動力學響應結果,并用ADAMS軟件進行虛擬樣機仿真驗證。

1 機構特征及球鉸間隙模型

3-SPS-S空間并聯機構的三維模型如圖1所示。該機構主要由定平臺、動平臺、3條SPS結構的驅動支鏈和1條S結構的約束支鏈組成,驅動支鏈由伸縮桿和擺動桿構成,其中S表示球鉸,P表示移動副。

圖1 3-SPS-S空間并聯機構三維模型Fig.1 Three dimensional drawing of 3-SPS-S spatial parallel mechanism

通過改進的Kutzbach-Grubler公式計算其自由度[16],得出該機構有3個自由度,給3個驅動支鏈添加驅動后,能使動平臺有確定的運動,約束支鏈的存在使得動平臺沿3個方向的移動被限制,所以動平臺能夠實現3個方向的轉動。此機構可作為指向機構和調姿機構的底座,實現對動平臺姿態的精準控制。

圖2所示為球鉸的間隙模型,g、h分別表示與球窩和球頭相連的2個構件,與構件g、h固連的2個局部坐標系可分別表示為Og-xgygzg和Oh-xhyhzh,局部坐標系Og-xgygzg和Oh-xhyhzh的原點在定坐標系OA-XAYAZA下的位置矢量可分別表示為rg和rh。Pg表示球窩中心,rPg為球窩中心在固定坐標系下的位置矢量表示;Ph表示球頭中心,rPh為球頭中心在固定坐標系下的位置矢量表示。Qg和Qh分別表示球窩和球頭的碰撞點,n表示接觸面的法向單位向量,t表示接觸面的切向單位向量。

圖2 球鉸間隙模型Fig.2 Clearance model of spherical hinge

球頭相對于球窩的偏心向量為[17]:

e=rPh-rPg

(1)

偏心矢量的單位矢量為:

n=e/e

(2)

其中,偏心幅值e為:

(3)

穿透深度為:

δ=e-c

(4)

式中:c表示球頭與球窩之間的間隙值,c=Rg-Rh;Rg和Rh分別表示球窩與球頭的半徑。球頭與球窩之間的碰撞狀態可由穿透深度判斷,當δ>0時,球頭與球窩之間為碰撞狀態,當δ≤0時,球頭與球窩之間為剛好接觸或者為分離的狀態。在數值計算過程中,球頭與球窩間的碰撞狀態為:

δ(q,t)·δ(q,t+Δt)≤0

(5)

當球頭與球窩之間的狀態滿足式(5)且滿足δ(q,t)≤0時,在t+Δt時刻發生了碰撞。

球窩、球頭的碰撞點在定系下的位置矢量分別用rQg和rQh為:

(6)

式(6)兩邊對時間t求一階導數,得到球窩、球頭的碰撞點在定系下的速度矢量為:

(7)

(8)

由式(7)可得在碰撞點處,球頭相對于球窩的速度矢量,將此速度在接觸面上投影,可得到球頭相對于球窩的法向速度和切向速度,即:

(9)

2 球鉸間隙接觸力模型及并聯機構動力學模型的建立

2.1 法向接觸力模型的建立

Hertz理論中兩物體的純彈性接觸碰撞,沒有考慮阻尼造成的能量損失[18],L-N接觸力模型[19]適用于恢復系數近似為1的材料,而Flores接觸力模型[20]對恢復系數無特殊要求,因此,本文采用Flores接觸力模型建立球頭與球窩的接觸力模型,表達式為:

(10)

式(10)中的剛度系數K為:

(11)

其中,球窩和球頭的碰撞深度為:

(12)

式中:vg和vh分別表示球窩和球頭的泊松比;Eg和Eh分別為球窩和球頭的彈性模量。

2.2 切向接觸力模型建立

利用改進的Coulomb摩擦力模型[21]描述球頭與球窩發生碰撞時的切向接觸力,此模型引入系數cd,避免了切向速度在0附近方向發生改變而造成積分求解不穩定的情況:

(13)

式中:μd為滑動摩擦系數;cd為動態修正系數,取值依據為:

(14)

式中的v1和v2為給定的速度極限值。

通過對法向接觸力和切向接觸力求解,得到球頭對球窩的接觸力為:

Fg=Fn·n+Ft·t

(15)

球窩作用于球頭上的力與其方向相反:

Fh=-Fg

(16)

接觸力對構件g和h的質心處產生的力矩為:

(17)

2.3 坐標系的建立及轉換

圖3為3-SPS-S空間并聯機構的結構簡圖,該機構由定平臺、動平臺、3條呈120°均布的SPS驅動支鏈和中間1條約束支鏈組成,每個驅動支鏈中包含一個擺動桿和一個伸縮桿。定平臺A,擺動桿用1、2、3表示,伸縮桿用4、5、6表示,動平臺用7表示。通過球鉸Si(i=1,2,3)連接定平臺與擺動桿,通過球鉸Sj(j=4,5,6)連接動平臺與伸縮桿,通過移動副Pi(i=1,2,3)連接擺動桿與伸縮桿,約束支鏈下方與定平臺直接固連,上方通過球鉸S7與動平臺連接。

圖3 3-SPS-S空間并聯機構簡圖Fig.3 3-SPS-S spatial parallel mechanism

定平臺的質量mA,在定平臺的質心處建立固定坐標系OA-XAYAZA,XA軸方向沿著定平臺豎直方向向下,YA軸方向沿著固定坐標系原點OA指向球鉸S1的方向,ZA軸方向通過右手定則確定,在以OA為圓心,rA為半徑的圓上,布置有球鉸Si(i=1,2,3),每2個球鉸之間呈2π/3均布。

動平臺的質量m7,在動平臺的質心處建立局部坐標系O7-X7Y7Z7,坐標系原點與球鉸S7的中心重合,X7軸方向沿著動平臺豎直方向向下,Y7軸方向沿著局部坐標系原點O7指向球鉸S4的方向,Z7軸方向通過右手定則確定,在以O7為圓心,rB為半徑的圓上,布置有球鉸Si(i=4,5,6),每2個球鉸之間呈2π/3均布。

擺動桿的質量mi(i=1,2,3),長度li(i=1,2,3),將桿長的中心點近似地看做質心,建立局部坐標系Oi-XiYiZi(i=1,2,3),伸縮桿的質量用mj(j=4,5,6)表示,長度用lj(j=4,5,6)表示,同理,建立局部坐標系Oj-XjYjZj(j=4,5,6)。

通過歐拉角轉換,將固定坐標系的姿態轉換為局部坐標系的姿態,轉換方式為X-Y-Z,即:先繞X軸旋轉α角,再繞Z′軸旋轉β角,最后繞Y″軸旋轉γ角。轉換矩陣為:

R(α,β,γ)=R(X,α)R(Z,β)R(Y,γ)

(18)

2.4 動力學模型的建立

3-SPS-S空間并聯機構有7個活動構件,每個活動構件有6個廣義坐標,包括位置和姿態。建立7個活動構件的廣義坐標為:

(19)

ΦSi(i=1,2,3,6,7)和ΦPi(i=1,2,3)分別表示球鉸和移動副的約束方程,由于球鉸S4和球鉸S5存在間隙,使得球頭和球窩的中心不再重合,在球頭和球窩碰撞過程中會產生接觸力,因此,這兩處的約束方程被接觸力取代。得到含多個球鉸間隙的3-SPS-S空間并聯機構的約束方程為:

Φ(q)*=(ΦS1;ΦS2;ΦS3;ΦS6;ΦS7;

ΦP1;ΦP2;ΦP3;ΦQ)=033×1

(20)

對式(23)關于時間求一次導數,得到速度約束方程:

(21)

(22)

建立含多個球鉸間隙的3-SPS-S空間并聯機構的動力學方程為:

(23)

式中:λ為拉格朗日乘子;Q*為構件的廣義力矩陣。

結合式(22)和式(23),得出微分代數形式的動力學方程為:

(24)

(25)

將求解參數輸入Matlab軟件,通過四階Runge-Kutta算法計算,利用Ode45求解器得到結果,流程如圖4所示。

圖4 含間隙動力學求解流程Fig.4 Flow chart of dynamic solution with clearance

3 含球鉸間隙的3-SPS-S空間并聯機構動力學響應分析

3.1 并聯機構的參數設定

3-SPS-S空間并聯機構的各個構件的參數由表1列出,用Matlab軟件進行動力學求解時,參數設定由表2列出。

表1 3-SPS-S空間并聯機構的各構件參數Table 1 Parameters of 3-SPS-S spatial parallel mechanism

表2 3-SPS-S空間并聯機構動力學求解參數Table 2 3-SPS-S spatial parallel mechanism dynamic solution parameters

3-SPS-S空間并聯機構的動平臺運動特征為繞x軸、y軸、z軸方向的轉動,采用運動學反解方法,先給定動平臺運動軌跡為:

(26)

利用Matlab軟件進行數值求解得到機構的動力學響應圖像,分析單個球鉸間隙、多個間隙球鉸間隙對機構動力學響應的不同影響。

3.2 含間隙機構動力學響應的理論與仿真對比

3.2.1 考慮5號球鉸間隙對機構動力學響應的影響

5號球鉸在含0.05 mm間隙情況下的動力學響應如圖5～9所示,在角位移、角速度、角加速度方面,將Matlab理論值與ADAMS仿真值進行對比,驗證了結果的正確性。

圖5 單間隙下動平臺角位移對比Fig.5 Single clearance moving platform displacement comparison

圖5(a)為動平臺繞β角轉動的角位移,從圖中可以看出,動平臺的轉動角度范圍-0.354～0.046 rad,且含間隙情況與無間隙情況之間無明顯偏差;圖5(b)為動平臺繞γ角轉動的角位移,從圖中可以看出,動平臺的轉動角度范圍在-0.032～0.369 rad,且含間隙情況與無間隙情況之間無明顯偏差。

圖6分別為動平臺繞β角和繞γ角轉動的角速度,兩者的角速度范圍分別為-0.628 6～0.628 9 rad/s和-0.628 3～0.629 rad/s,兩者在開始時刻和波峰波谷處出現明顯抖動,說明間隙對動平臺的角速度產生了一定的影響,在理論值方面,繞β角轉動的角速度最大波動量為0.036～0.19 rad/s,繞γ角轉動的角速度最大波動量為-0.045 5 rad/s。

圖6 單間隙下動平臺角速度對比Fig.6 Single clearance moving platform velocity comparison

圖7分別為動平臺繞β角和γ角轉動的角加速度,從圖中可以看出,在機構開始運動的瞬間,動平臺的角加速度出現劇烈波動。分析圖7可知,動平臺繞β角的角加速度理論值峰值為29.67 rad/s2,仿真峰值為20.96 rad/s2,隨后慢慢趨于穩定,在0.619～0.738 s時間內,仿真曲線發生輕微波動。分析圖10可知,動平臺繞γ角的角加速度理論值峰值為68.7 rad/s2,仿真峰值為64.08 rad/s2,隨后慢慢趨于穩定,在0.614～0.716 s時間內,仿真曲線發生輕微波動。

圖7 單間隙下動平臺角加速度對比Fig.7 Single clearance moving platform acceleration comparison

圖8為球頭與球窩之間的碰撞力,在初始時刻,機構由靜止到突然發生碰撞,會使碰撞力達到峰值66.56 N,隨后慢慢趨于穩定,在0.901 3～7.256 N波動。

圖8 球頭與球窩的碰撞力Fig.8 Impact force between ball joint and ball socket

圖9為球頭的中心軌跡圖,在初始時刻,球頭中心位于中間位置,隨著機構運行,球頭中心開始偏移并與球窩發生碰撞,最后相對于球窩發生很小范圍擺動。

圖9 球頭中心軌跡Fig.9 Ball joint center track

3.2.2 考慮4號球鉸和5號球鉸間隙對機構動力學響應的影響

為了觀測間隙球鉸的數量對機構動力學響應的影響,將4號球鉸和5號球鉸添加0.05 mm間隙,利用Matlab軟件繪制動平臺響應圖像,將理論結果和仿真結果進行對比從而驗證結果的正確性。

圖10為多間隙下動平臺繞β角和繞γ角轉動的角位移圖像,和單間隙的情況相比,偏差明顯增加,但總體趨勢保持穩定。

圖10 多間隙下動平臺角位移對比Fig.10 Multi clearance moving platform displacement comparison

圖11分別為多間隙下動平臺繞β角和繞γ角轉動的角速度,由圖像可以看出,在機構由靜止到運動的瞬間以及波峰波谷位置會出現較為明顯的偏差,說明多間隙對機構角速度的影響較大,其中,β方向的最大偏差為0.171 5 rad/s,γ方向的最大偏差為0.121 2 rad/s。

圖11 多間隙下動平臺角速度對比Fig.11 Multi clearance moving platform velocity comparison

圖12分別為多間隙下動平臺繞β角和繞γ角轉動的角加速度,通過與單間隙對比可以發現,由于間隙之間的耦合作用,初始時刻加速度峰值明顯下降,但隨后運行過程中的波動點數量明顯增加,機構穩定性降低。

圖12 多間隙下動平臺角加速度對比Fig.12 Multi clearance moving platform velocity comparison

在理論值方面,β方向的峰值為-4.586 rad/s2,γ方向的峰值為-3.167 rad/s2,在仿真值方面,β方向的峰值為-7.412 rad/s2,γ方向的峰值為-3.04 rad/s2?？梢钥闯隼碚撝蹬c仿真值之間有一定的差異,且后續的幾個波動點的值也不是完全重合,但都在合理范圍之內,圖像總體趨勢不變,說明結果正確。

4 結論

1)球鉸間隙對動平臺的角位移和角速度的影響較小,對角加速度和碰撞力的影響較大。

2)含間隙球鉸數量越多,機構的穩定性越差。本研究對并聯機構中球鉸的加工精度、裝配誤差的控制等方面具有重要的理論指導意義。