三軸電磁-壓電混合驅動快速刀具伺服的軌跡跟蹤控制

朱志遠， 朱紫輝， 周曉勤， 朱利民， 朱志偉*

（1.南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京 210094；2.吉林大學 機械與航空航天工程學院，吉林 長春 130025；3.上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240）

1 引 言

基于快速刀具伺服（Fast Tool Servo， FTS）的單點金剛石車削方法被廣泛用于復雜光學曲面的超精密加工［1-3］。當前，FTS主要采用壓電［2，4］、洛倫茲力［5］和電磁法應力［3，6］等進行驅動。其中，電磁法應力驅動由于具有較大行程和較高力密度等優點，近年來應用于數十至數百微米的中等行程FTS的驅動源［6］。

為實現法應力電磁驅動FTS刀具運動軌跡的超精密跟蹤，CHEN等［3］基于理想Bode圖頻率整形，設計了分數階控制系統。LU等［7］針對所研制的超快FTS，在主控制器基礎上迭加了自適應前饋抵消控制器，以實現對擬周期性軌跡的超高精度跟蹤。為抑制外部切削力的擾動，WU等［8］和房豐洲等［9］設計了自抗擾控制器（ADRC）用于電磁法應力驅動FTS的軌跡跟蹤，通過擴張狀態觀測器（Extended State Observer， ESO）對系統未建模特性、非線性和未知擾動進行觀測并補償。夏薇等［10］采用擾動觀測器（Disturbance Observer, DOB）對系統未建模和非線性部分進行觀測補償。然而，ESO和DOB有限的觀測估計能力限制了軌跡跟蹤性能的進一步提升。為補償電磁驅動磁滯損耗引起的遲滯非線性，ZHANG等［11］構建了基于Duhem模型的系統遲滯模型，并對法應力電磁驅動納米定位平臺進行了前饋補償以提高系統的控制精度。

相較于單軸FTS，三軸FTS可同步驅動金剛石刀具沿XYZ三軸進行超精密運動，更高的運動自由度賦予了三軸FTS更高的加工柔性，可實現復雜曲面的自適應加工需求［13-14］。當前三軸FTS仍以壓電并聯驅動為主，CHEN等［2］和ZHU等［12］采用三軸壓電正交布置，分別設計獲得了理論上運動解耦的三軸FTS，并將各軸視為相互獨立的單輸入單輸出（Single-input-single-output，SISO）系統，采用PID控制器實現三軸軌跡跟蹤控制。LI等［13］將三軸FTS視為SISO系統，采用Prandtl-Ishlinskii逆模型三軸壓電進行開環補償，并利用PID控制器對Z軸運動進行閉環控制。作者團隊在前期研發了混合法應力電磁驅動和壓電驅動的串并混聯三軸FTS，其中法應力電磁驅動構成平面XY并聯運動，而壓電驅動串聯搭載于平面運動上實現Z軸運動［14］。基于該構型原理，作者團隊進一步優化結構參數制作了第二代樣機，盡管三軸間具有理論解耦性，但加工裝配等原因會引起軸間耦合，同時動力學耦合帶來的高階諧振等因素不可避免地會降低各軸的控制精度。

針對所研制的三軸電磁-壓電混合驅動、串并聯混合構型FTS的高精度軌跡跟蹤控制問題，本文以陷波濾波器消除系統的高階諧振來改善系統動力學性能，基于軸間耦合模型構建前饋解耦補償，將三軸驅動轉化為弱耦合SISO系統。最終，以PID為主控制器，并結合基于動態遲滯模型的前饋補償實現三軸FTS對復雜空間軌跡的高精度跟蹤。

2 三軸電磁-壓電混合驅動FTS

2.1 三軸FTS驅動系統

三軸電磁-壓電混合驅動FTS的結構剖視示意如圖1（a）所示，主要包括二維XY平面并聯法應力電磁驅動模塊和串聯搭載在平面驅動上的Z向壓電驅動模塊。平面驅動由四組完全對稱的法應力單向驅動單元構成，其基本結構和驅動原理如圖1（b）所示。其中，永磁鐵在動子兩側的氣隙內產生反向、恒定的偏置磁場，勵磁線圈則在氣隙內產生同向、可調的驅動磁場，偏置磁場和驅動磁場的疊加使得動子兩側產生大小不等的磁吸力，從而實現對動子的驅動。偏置磁場的引入使得驅動單元從理論上獲得了線性相關于勵磁電流和動子位置的驅動力。如圖1（a）所示，通過對四組驅動單元進行正交對稱布置，并采用類雙平行柔性導向機構，實現了平面XY并聯驅動的理論解耦。

圖1 三軸FTS結構與原理Fig.1 Schematic and principle of tri-axial FTS

這里基于直圓柔性鉸鏈設計了交叉對稱雙平行柔性鉸鏈機構，用于壓電疊堆的Z向運動導向，并將該Z向驅動模塊整體串聯搭載在平面電磁驅動模塊上，從而構建了三軸串并混聯、電磁-壓電混合驅動FTS。為弱化Z向壓電驅動慣性力對平面運動的擾動，壓電驅動采用相對XY平面對稱的雙向驅動方法。所設計的三軸FTS詳細的結構描述和工作原理可參見文獻［14］，合理選擇結構參數，FTS的XY軸向行程約為50 μm，Z軸行程約為15 μm。

2.2 FTS動力學測試

為測試系統動力學特性并辨識系統動力學模型，所搭建的測試系統照片如圖2所示，相應儀器的型號與主要技術指標如表1所示。為測試三軸運動，采用三組Microsense公司生產的超精密電容位移傳感器正交布置，并盡可能靠近刀尖位置以獲得刀具實際運動，電容傳感器的帶寬和量程分別為20 kHz和500 μm。采用PCIe-6363型高性能數據采集卡在所配置的Desktop Real-time實時控制模式下，對測得的位移信號進行采集，并實時計算控制量輸出信號以實現對FTS運動的控制，在測試過程中設置的采樣頻率為20 kHz。采集卡實時輸出的平面XY運動控制量經過兩個SMA5005-1型線性伺服功率放大器放大后驅動勵磁線圈，而Z向運動控制量則經過E-617.001型功率放大器驅動壓電疊堆。

表1 FTS動力學測試實驗儀器及其性能指標Tab.1 Instrumentations and their performance for dynamics testing of FTS

圖2 FTS動力學測試系統實物圖Fig.2 Photograph of experiment setup for FTS dynamic testing

為了測試三軸FTS的動力學特性，對每個運動軸分別進行掃頻激勵。平面XY軸掃頻電壓幅值設為0.25 V，頻率從0.1 Hz線性變化至1.5 kHz；Z軸的掃頻電壓幅值和偏置電壓均設為1 V，頻率從0.1 Hz線性變化至6 kHz。對輸入命令信號和輸出位移信號進行快速傅里葉變換，并通過比較輸入輸出的幅值比和相位差，獲得三軸的頻率響應函數，如圖3所示。由圖3可知，X軸運動存在兩個頻率為490 Hz和690 Hz的諧振峰；Y軸運動只有1個諧振峰，所對應的諧振頻率為564 Hz；Z軸運動有3個諧振峰，對應的諧振頻率分別為1 331，1 501，2 872 Hz。

圖3 三軸FTS的開環頻率響應函數Fig.3 Open-loop frequency response functions of tri-axial FTS

從耦合頻率響應函數可知：X軸對Y和Z軸的動態耦合Pxy，Pxz的幅值分別比主運動響應Pxx小18 dB和37 dB；Y軸對X和Z軸的動態耦合Pyx，Pyz的幅值分別比主運動響應Pyy小20 dB和31 dB；Z軸對平面XY軸的動態耦合Pzx，Pzy的幅值分別比主運動響應Pzz小35 dB和32 dB。由此可知，盡管三軸FTS具有理論運動解耦性，但是加工、裝配誤差等仍會引入軸間耦合運動。其中，XY平面并聯運動間的軸間耦合較大，而串聯于XY平面運動上的Z軸運動對平面耦合較小，對FTS整體的運動精度影響較小。

考慮各軸的諧振特征，辨識獲得的各軸名義傳遞函數分別為：

由名義模型生成的頻率響應函數也繪制在圖3中，與實驗測試結果具有很好的吻合度，這表明所辨識的系統模型能夠較為準確地描述三軸FTS的動力學特性，可以用于設計控制系統。

3 高性能軌跡跟蹤控制系統設計

由動力學測試結果可知，三軸FTS的XZ軸存在高頻諧振，這會降低系統運動的穩定性，而XY軸間還存在著較大的運動耦合，這會降低平面運動精度。針對該問題，這里采用陷波濾波器對X軸和Z軸的高頻諧振進行動力學補償，并以前饋解耦補償降低XY平面的運動軸間耦合，從而綜合改善系統的動力學特性。

另一方面，電磁驅動固有的磁滯損耗和壓電內摩擦導致的能量耗散等不可避免地會在三軸運動中引入遲滯非線性，從而惡化運動精度。針對該系統非線性，本文以動力學補償后的線性模型級聯靜態Prandtl-Ishlinskii遲滯模型構建各軸動態非線性模型，并基于相鄰時間步各參量近似相等的假設，構建無需直接求逆的遲滯前饋補償模型，從而改善被控系統的運動特性。以經典的PID為主控制器，所構建的三軸FTS控制系統框圖如圖4所示，其中Hi-1(i=x，y，z)為動態遲滯逆模型，Nxy(s)，Nyx(s)為設計的解耦器，Rk(t)(k=x，y，z)為系統的輸入，j(t)(j=x，y，z)為系統的輸出。

圖4 三軸FTS軌跡跟蹤控制系統框圖Fig.4 Block diagram of trajectory tracking control system for triaxial FTS

3.1 陷波濾波器設計

由圖3可以看出，X軸在690 Hz處存在二階諧振峰，Z軸在1 331，1 501和2 872 Hz處存在諧振峰，這類諧振峰會使系統在軌跡跟蹤時出現抖振現象，從而影響跟蹤精度。本文采用陷波濾波器以消除諧振峰影響，并盡可能地減少相位延遲。對于i=x，z方向，陷波濾波器可表示為［15］：

式中：對于X軸，k=1；對于Z軸，k=3，ωi，n，k和ωi，d，k為濾波器的中心頻率，ξi，n，k和ξi，d，k為等效阻尼比，gi為濾波器的增益，一般取gi=針對被控系統，濾波器的中心頻率根據XZ軸頻率響應函數中的諧振頻率獲得，而阻尼比則通過試錯法獲得，最終所設計的陷波濾波器參數如表2所示。

表2 陷波濾波器參數Tab.2 Parameters of notch filters

針對陷波修正后的系統，重新掃頻測試獲得的X軸和Z軸的頻率響應函數分別如圖5（a）和5（b）所示。陷波補償后系統的高頻諧振得到明顯抑制，由于高頻諧振引起的相位突變也得到了很好的補償。采用三階模型對陷波后的X軸和Z軸進行系統辨識，所獲得的名義模型為：

圖5 系統陷波后的開環頻率響應函數Fig.5 Open-loop frequency response function of triaxial FTS after notch filtering

圖5給出了所辨識名義模型頻率響應函數，能夠很好地吻合實驗測試結果，表明經過動力學改善后FTS各軸可近似描述為典型三階系統。

3.2 前饋解耦補償

前饋解耦補償的基本原理是讓某一軸向的輸入對其他軸向輸出的傳遞函數為零，從而實現軸間運動的解耦［16］。由2.2節三軸FTS動力學分析可知，平面XY向電磁驅動軸間耦合遠大于Z向壓電驅動引起的耦合。為簡化控制系統，僅對平面強耦合運動進行解耦補償，其前饋解耦補償原理如圖6所示，其中，ud，i(s)(i=x，y)為解耦系統輸入，j(s)(j=x，y)為解耦系統輸出。

圖6 平面運動前饋解耦補償原理Fig.6 Principle for in-plane feed-forward decoupling

由圖6可知，要實現平面運動的解耦，需要ud，x(s)對y(s)的傳遞函數和ud，y(s)對x(s)的傳遞函數均為零，即：

求解可得：

為獲得Pxym(s)和Pyxm(s)，對經陷波濾波補償后的平面XY兩軸進行掃頻測試，所獲得的軸間耦合頻率響應函數如圖7所示?？紤]幅頻響應特征，分別采用五階和七階傳遞函數進行耦合傳遞函數擬合，所辨識獲得的兩軸耦合傳遞函數Pxym(s)和Pyxm(s)為：

圖7 陷波補償后平面耦合頻域響應函數Fig.7 Frequency response functions of in-plane couplings after notch filtering

由所辨識模型Pxym(s)和Pyxm(s)獲得的頻率響應特性如圖7所示，均能很好地吻合實際測試結果。值得指出的是，根據辨識結果由式（8）求解獲得的解耦補償控制器階數較高，這會增加求解的復雜度并降低求解的穩定性。為了簡化計算，在此采用靜態增益代替解耦補償控制器傳遞函數，以實現平面XY軸間的耦合補償，即：

對經過解耦補償后的系統進行掃頻測試，重新獲得X軸和Y軸的軸間耦合頻率響應函數，如圖7所示。與補償前相比，軸間耦合分別降低了約14 dB和15 dB，證明了所構建的前饋解耦補償方法的有效性。與主運動相比，補償后X軸對Y軸的耦合約為-32 dB，Y軸對X軸的耦合約為-35 dB，從而將三軸運動視為相互獨立的三個單輸入單輸出系統。

3.3 動態遲滯補償

為補償法應力電磁驅動和壓電驅動存在的動態遲滯非線性，這里提出采用陷波補償和解耦補償后的線性動力學模型級聯PI遲滯模型以描述系統的遲滯非線性，并構建等效補償策略以提高三軸控制精度。

3.3.1 動態遲滯模型構建

基于線性遲滯算子的PI模型可表示為［17］：

式中：hk(uk)為PI模型的輸出位移，uk為輸入電壓，pri，k(uk)和μi，k分別為第i個遲滯算子和其對應的權重系數，Ts為采樣周期，li，k和ri，k分別為第i個遲滯算子的左右閾值。為了兼顧遲滯模型精度和計算復雜度，取算子個數N=8。

為了提高模型精度，算子的閾值需根據輸入的變化而變化，為簡化計算，閾值取為［18］：

式中：cm，k為非對稱閾值修正系數，‖uk‖∞為控制電壓的最大值，對于平面XY軸，‖ux‖∞=‖uy‖∞=4，對于Z軸，‖uz‖∞=10。

對于PI模型與系統動力學模型級聯構建的動態遲滯模型，其驅動電壓uk(t)與輸出位移zk(t)的關系為：

式中：*表示卷積運算，L-1{·}表示Laplace逆運算。

3.3.2 PI模型參數辨識

動態遲滯模型的辨識實際上就是求解遲滯算子權重μi，k和閾值修正系數cm，k，可轉換為以下函數最小化問題：

式中zk，d(tj)為與uk對應的FTS實測位移。

選取頻率成分為1，10，20，50和100 Hz的諧波疊加信號作為三個軸的驅動電壓，各諧波分量的幅值隨機選取，用于辨識動態遲滯模型。選取典型遺傳算法求解式（15）中最小化問題，參數邊界根據經驗選擇為［-2，2］，優化后的參數結果如表3所示。同時，所辨識模型的輸出結果和實際測得的XYZ三向運動如圖8（a）、8（b）和8（c）所示，兩者表現出較好的一致性。由圖8可知，XY兩軸的模型誤差小于±0.6 μm，分別約為滿幅行程的±1.95%和±2.05%，Z軸的模型誤差小于±0.13 μm，約為滿幅行程的±1.73%，由此表明所辨識的模型能夠很好地描述三軸FTS的遲滯非線性特性。

表3 XYZ三軸的遲滯模型參數Tab.3 Parameters of hysteresis models for XYZ axes

圖8 動態遲滯模型的辨識結果Fig.8 Identification results of dynamic hysteresis model

為了驗證所辨識模型的準確性，采用另一組頻率成分不同的諧波疊加信號作為各軸驅動，XYZ三軸模型的預測結果和實際測試位移分別如圖9（a）、9（b）和9（c）所示，X軸和Y軸的模型誤差小于±0.8 μm，分別約為滿幅行程的±2.14%和±2.17%，Z軸的模型誤差小于±0.2 μm，約為滿幅行程的±1.7%，進一步驗證了所構建模型對不同驅動響應描述的準確性。

圖9 動態遲滯模型驗證結果Fig.9 Verification results of dynamic hysteresis model

值得指出的是，Z軸遲滯模型誤差均小于平面電磁驅動的遲滯模型。這是由于與壓電驅動相比，平面電磁驅動還存在鐵磁材料響應非線性和漏磁非線性等多種復雜非線性因素，會影響建模精度。

3.3.3 遲滯前饋補償

為避免求解非線性PI遲滯模型的逆，在此采用文獻［19］中的近似方法求解等效遲滯逆補償模型，如圖10所示。假設對于任意k=x， y， z方向的期望軌跡Rk(t)，在任意相鄰兩個采樣時刻的遲滯模型輸出和控制電壓相等，即hk(uk(t))=hk(uk(t-Ts))，uk(t)=uk(t-Ts)。則式（16）可改寫為［19-20］：

圖10 動態遲滯等效逆補償模型Fig.10 Equivalent inversion-based hysteresis compensation

3.4 PID控制

采用經典PID控制器作為FTS各軸運動的主控器，其傳遞函數可表示為：

式中：Kp，Ki，Kd和N分別為PID控制器的比例系數、積分系數、微分系數以及濾波器系數。

基于各軸動力學和軸間耦合補償后的名義模型Pkm(s)，k=x，y，z，以開環控制系統相位裕度不小于45°為約束，以截止頻率盡可能大為目標優化獲得各軸的PID控制器參數，如表4所示。

表4 XYZ三軸PID控制器參數Tab.4 PID parameters for XYZ axes

4 軌跡跟蹤測試

4.1 基本跟蹤性能測試

為驗證軸間耦合補償和遲滯非線性補償的有效性，選取頻率從10 Hz線性變化到100 Hz的諧波掃頻信號作為期望軌跡。對于XY軸電磁驅動，期望軌跡的幅值為12 μm，而Z軸壓電驅動的期望軌跡幅值和偏置均為3.5 μm。為進行驗證比較，以PID迭加逆動力學前饋補償達到的軌跡跟蹤結果作為基準（PID+FF），分別以PID迭加動態遲滯補償（PID+Hi-1）和PID迭加動態遲滯補償和解耦補償（PID+Hi-1+FD）的控制結果與之進行比較，以驗證補償策略的有效性。

采用三種控制策略的XYZ三軸軌跡跟蹤結果分別如圖11（a）、11（b）和11（c）所示，而三軸跟蹤誤差（實際位移與期望軌跡之間的差值）如圖11（d）、11（e）和11（f）所示。由圖 11可知，與單獨的逆動力學前饋補償相比，采用遲滯補償后XYZ三軸的軌跡跟蹤吻合度均有所提高，這也表現為該寬頻范圍內跟蹤誤差的降低。進一步迭加軸間耦合補償后（PID+Hi-1+FD），平面XY軸的軌跡跟蹤誤差進一步降低。對于Z軸驅動，由于未進行耦合補償，軌跡跟蹤誤差變化不明顯，如圖11（f）所示。

圖11 復雜軌跡跟蹤測試Fig.11 Complex trajectory tracking results

進一步，采用相對最大跟蹤誤差em和均方根誤差erms量化表征軌跡跟蹤誤差，分別定義為：

式中：yd(t)為期望軌跡，ya(t)為實測軌跡，T為跟蹤軌跡的周期。

誤差統計結果如表5所示。由表5可知，X軸在進行動態遲滯補償和解耦補償后，最大軌跡跟蹤誤差em分別約為僅采用逆動力學補償和僅采用遲滯補償的26.7%和45.1%；Y軸在進行動態遲滯補償和解耦補償后，最大軌跡跟蹤誤差em分別約為僅采用逆動力學補償和僅采用遲滯補償的31.1%和53.2%；XY采用解耦補償對Z軸軌跡跟蹤的影響較小，采用遲滯補償后最大跟蹤誤差約為逆動力學補償系統誤差的52.2%。對于均方根誤差erms，各軸的軌跡跟蹤誤差變化規律與最大跟蹤誤差em近似一致，驗證了所采用綜合補償策略的有效性。

表5 不同控制系統的跟蹤誤差Tab.5 Tracking errors of different control systems

4.2 空間軌跡跟蹤

為了進一步驗證所設計系統的三軸聯動控制性能，對空間復雜螺旋球面軌跡進行了跟蹤測試，螺旋球面軌跡的各軸運動為：

對該軌跡的空間跟蹤結果和XYZ三軸跟蹤誤差分別如圖12（a）和圖12（b）所示，XYZ三軸的最大跟蹤誤差分別約為±0.63 μm，±0.60 μm和±0.012 μm，約為最大行程的±2.45%，±2.30%和±0.15%。結果表明，所設計的三軸控制系統能夠同步跟蹤空間復雜軌跡。

圖12 空間軌跡跟蹤Fig.12 Spatial trajectory tracking

5 結 論

本文針對三軸電磁-壓電混合驅動FTS的高性能軌跡跟蹤問題，采用陷波濾波器抑制系統的高頻諧振，以基于耦合模型的前饋解耦補償對XY平面并聯運動間的強耦合進行補償，使得補償后的平面XY軸間運動耦合比補償前分別降低了約14 dB和15 dB，最終X軸和Y軸獲得了比主運動分別小約32 dB和35 dB的低耦合量。針對動力學諧振抑制和解耦改善后的三軸被控系統，采用動力學模型級聯Prandtl-Ishlinskii模型對各軸動態遲滯進行描述，XY平面法應力電磁驅動和Z軸壓電驅動的建模誤差分別小于±2.20%和±1.8%。

以PID控制為主控制器，對性能改善后的各軸進行軌跡跟蹤控制?；趧討B遲滯逆模型構建了無需求逆的前饋補償控制器，對系統非線性進行補償控制，并對寬頻諧波信號進行跟蹤測試。對比實驗結果表明，采用綜合補償策略獲得各軸的最大跟蹤誤差約為僅采用逆動力學前饋補償的25%至50%，最后對空間復雜軌跡進行了跟蹤測試，獲得的XYZ三軸跟蹤誤差分別約為最大行程的±2.45%，±2.30%和±0.15%，驗證了所設計的控制系統的有效性。