一道高考最值問題的多視角解答與反思

魏東升

(廈門雙十中學漳州校區,福建 漳州 363107)

筆者在一節關于“阿波羅尼斯圓的性質及應用”的專題課中給出了一道有關解三角形面積最值的問題,這個問題原本是為了當堂檢測學生對課堂知識的掌握情況,也就是希望同學們能夠運用阿波羅尼斯圓來解決,但是同學們出彩的表現讓筆者驚嘆.為方便呈現解決問題的思維過程,引原題如下.

1 問題的呈現

這道短小精悍的解三角形面積的最值問題其實是一道經典的高考真題,它出自2008年高考江蘇卷第13題．說它經典,一方面是因為其雖為解三角形的問題,卻可以用解析幾何中的相關知識快速解決,體現了數學知識之間的緊密聯系;另一方面,由于其和阿波羅尼斯圓之間的微妙關系,使得許多數學教師在討論阿波羅尼斯圓時幾乎都繞不開它.

根據課堂上同學們的反饋,筆者將從三個視角對其解析.

2 問題的解決

視角1 角度.

計S△ABC為S,在△ABC中,由余弦定理,得

這個面積表達式其實是一個分式三角函數,對于其最值的處理,同學們給出了三種思路:

代入上式,得

在高中數學的學習中,分式三角函數最值問題其實不算特別常見,但同學們的表現可謂亮眼,思路1先是利用平方以化同名,然后進行多次換元,最終轉化為二次函數最值問題;思路2則是把最值問題轉化為方程有解問題,利用三角函數的有界性;而思路3更絕,直接想到了S的幾何意義,把最值問題轉化為線性規劃問題來處理.這三種處理手段再次驗證了解決最值問題的多種轉化手段:轉化為函數的最值、不等式的解集、方程有解等問題.

視角2長度.

在△ABC中,由余弦定理,得

較之用角度表示面積,用長度表示的方式顯然更為便捷,可謂選擇大于努力!需要補充的是,除了上述方式可以得到用長度來表示面積,還可以利用秦九昭公式或海倫公式直接得到.

不管是用正弦定理還是余弦定理,解答起來都離不開強大的運算能力,有更好的解決辦法嗎?能不能通過構建直角三角形以便于應用勾股定理?

在△ACD和△BCD中,由勾股定理,得

h2+y2=x2,

h2+(y+2)2=2y2.

消去x,得h2=-(y-2)2+8≤8,

這種思路完美地避開了因為用正弦定理或余弦定理導致的運算量,可謂妙也!

解法4 過點C作∠BCD=∠BAC交AB的延長線于點D,則△ACD∽△BCD.

由BD=2知點D是定點.

原來點C的軌跡是一個圓,這個解法簡直完美!如果要像解法3一樣用一個字來形容,就是絕!不僅想法獨特,而且運算量幾乎為零,另外點C的軌跡是圓這個事實更是起到了拋磚引玉的作用,因為她讓不少同學又開始往解析幾何的方向想去.

視角3坐標.

解法5 以AB所在直線為x軸,AB的中垂線為y軸,則A(-1,0),B(1,0).

整理,得 (x-3)2+y2=8.

假設AB邊上的高為h,

這種解法其實是求曲線軌跡方程中的直譯法[1].這樣一來解題的思路就已經到了求曲線的軌跡方程這里,考慮到點C是AC和BC的交點,于是又有同學提出了交軌法.

結合直線AC和BC的方程消去k1和k2,得

(x-3)2+y2=8.

在感受了同學們不俗的表現后,讓我們“回歸初心”,一起看看大多數同學在學習了本堂課之后利用阿波羅尼斯圓得到的解法.在給出這種解法前,先給出阿波羅尼斯圓的一個定理.

定理在圖1中,A,B是距離為2a的兩點,P,Q分別為線段AB的定比為λ(λ≠1)的內外分點,則以PQ為直徑的圓D上任意點到A,B兩點的距離之比為λ．

圖1 阿波羅尼斯圓

這樣就有了第7種解法.

3 解后的反思

原本是希望同學們通過這道題來感受阿波羅尼斯圓在解題中的妙用,卻不曾想許多同學并沒有按“常理”出牌,在“打破”老師預設的同時,集體奉獻了一桌豐盛的解題大餐.在感嘆于學生們思維敏捷的同時,筆者心里不禁暗暗自問:假如自己沒有給學生們更多思考的余地,這節課也一定能在自己的掌控中“勝利”完成,可如果這樣的話,自己還能享受到這道令人難忘的解題盛宴嗎?這也不禁讓自己對在教學中如何提高學生解決問題的能力,從而最終提升其數學核心素養產生了新的思考.

要提高解決問題的能力,就應該先提升學生提出問題的能力[3].因為有了提出問題的能力,也就有了解決問題的動力.但事實上提出問題往往比解決問題更難,這就要求我們在教學中做到心中要有學生,不怕學生的“打擾”.雖然上述解法中不乏“殺雞用牛刀”的現象,卻都是學生難得的思想火花.況且我們解題的目的并不是為了純粹地解題,而是通過問題發現問題,其目的往小了說是提升學生的數學素養,往大了說就有可能推動數學學科的整體發展,數學史上無數次的“猜想”無不在驗證著這一點.另外在教學過程中應該努力提高學生的問題意識和提問技能,要鼓勵學生提出問題,平等地與學生探討問題的解決方案.

要提高解決問題的能力,就應該在教學過程中滲透數學文化[4].比如學生之所以能巧妙地想到解法4,就是因為他們善于利用“阿氏圓”解決“胡不歸”問題.在數學教學的課堂上,“習題、公式、定理”不應該是課堂的唯一形式,我們可以通過“作者介紹”使學生了解數學知識的來龍去脈以及賴以生長的“土壤”,以豐富學生對數學知識的感性認識;也可以來一段“數學家逸事”使數學知識折射出人的意志和智慧,使學生在感動之余能更好地掌握數學知識;更可以通過解讀“數學作品”讓學生感知數學的和諧美、理性美．總之,數學教學課堂上應該有一些“非數學”的內容,讓學生的思維不受局限!

要提高解決問題的能力,就應該有優化自身知識結構的意識[5].在教授高中知識的同時,應該有意識地加強大學的高等數學相關知識,甚至是初中和小學相關基礎知識的吸收．比如學生之所以能想到解法3,就是因為沒有拘泥于解斜三角形的正弦定理和余弦定理,而是通過構造直角三角形,用初中的勾股定理解決;再比如解法4的思想源泉——“阿氏圓”與“胡不歸”,就是出自初中最值問題的一個經典模型,這些解法優勢可謂明顯.學生能喝上的這“一碗水”,很大程度上就源于教師身上那“一桶水”甚至是“常流水”.而教師身上之所以能擁有“一桶水”或者“常流水”,是因為他能不斷地審視自身的專業知識,了解其與當前專業要求的差距,進而訂立業務進修計劃,拓寬、夯實、彌補專業基礎,最終不斷優化自身知識的結構,為提高學生解決問題的能力、提升數學核心素養保駕護航.