四省聯考解析幾何試題的分析與思考

張青松

(云南師范大學實驗中學,云南 昆明 650031)

2023年2月,為加強教考銜接,實現平穩過渡,針對2023年云南、吉林、黑龍江、安徽四個省的高考考生使用新課標老高考的情況,教育部教育考試院命制了適應性測試卷,供2023年考生進行適應性考試(下文稱“四省聯考”).這是數學新高考模式在云南省的首次大規模亮相,意義非凡.本次試題以《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》為依據,考查了學生的關鍵能力,突出思維品質與創新精神;注重學用結合,創設真實靈活情境;命題設問更具開放性與探究性.整份試卷充分發揮高考“立德樹人、服務選才、引導教學”的核心功能,對后期的復習備考將起到積極而深遠的引導作用.

1 試題結構分析

解析幾何類試題在四省聯考試卷中一共有4道,其中單選題、多選題、填空題和解答題各有一道,合計27分,占整張試卷的分值比例為18%.這幾道試題涉及的知識點主要有圓的參數方程、橢圓的幾何性質、雙曲線的標準方程、圓與拋物線的位置關系、直線與雙曲線的位置關系,以及解析幾何與三次函數、三角函數的融合.試題結構明了,重在檢測考生的四基、四能的發展水平.具體分布見表1.

表1 四省聯考解析幾何試題考查目標分析

2 試題解法分析

試題1 已知點A,B,C為橢圓D的三個頂點,若△ABC是正三角形,則D的離心率是( ).

圖1 長軸端點為三角形頂點 圖2 短軸端點為三角形頂點

評析本題是一個橢圓離心率求解的問題,可視為人教A版選修一139頁第10題的一個變式,試題如下:

已知等邊三角形的一個頂點位于原點,另外兩個頂點在拋物線y2=2px(p>0)上,求這個等邊三角形的邊長.

對于四省聯考的這道試題,題目給出的條件是需要我們分類討論研究問題的,題干給出了三個頂點,但沒有明確是哪些頂點,這里就可以分為“有兩個長軸頂點”和“有兩個短軸頂點”這兩種情況進行分析.除去考慮分類討論這點之外,本題難度不大,因為給出的是頂點的關系,自然可以很容易找到橢圓中a和b的關系.

圖3 動點運動圖

設第ts時,P,Q兩點重合,由動點運動路徑的長度關系列等式如下:

故選ABD.

即f(k+3)=f(k),

試題3若P,Q分別是拋物線x2=y與圓(x-3)2+y2=1上的點,則|PQ|的最小值為____.

解析如圖4,設該圓的圓心為C,由三角不等式可知|PQ|≥|PC|-|CQ|(當P,Q,C三點共線時取等,點Q在點P,C之間),其中|CQ|為半徑,即|CQ| =1,所以|PQ|≥|PC|-1.問題轉化為求|PC|的最小值.

圖4 試題3圖

設f(x)=x4+x2-6x+9,則f′(x)=4x3+2x-6=2(2x3+x-3)=2(x-1)(2x2+2x+3).

又f″(x)=12x2+2>0,

所以f′(x)在R上單調遞增.

當x∈(-∞, 1)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(1, +∞)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增.

解法2 (幾何法計算最值)當CP與點P處切線垂直時,|PC|取到最小值.

對y=x2求導可得y′=2x.

可得x0=1,所以P(1 , 1).

評析本題是一個雙動點最值的求解問題,背景是拋物線和圓,可視為2014年福建高考理科數學第9題的一個變式,試題如下:

對于四省聯考的這道試題,首先P,Q兩點是不相關的兩個變量,處理的思路必然是“固定一個,變化一個”.這里可先認為點P是定點,那么|PQ|的最小值就變成了“圓上動點到定點的距離最值”,這種問題就可以利用三角不等式轉化為點P到圓心的距離求解,該距離減去半徑就是距離最小值了.接下來問題就轉化為點P到圓心的距離最小值,此時問題就轉化為“拋物線上動點P到定點的距離最值”.

本文提供了兩種解題方法,一種比較直接,就是純代數方式處理,即設出點P的坐標,之后表達線段的長度并求解最值.線段長度表達式的核心部分是一個四次函數,求導后為三次函數,考生需要進行因式分解來判斷導函數正負進而求解最值.而如何因式分解是本題的一個難點,可以教學生如下思考:由2x3+x-3的系數和為零,可知該三次多項式必然存在因式x-1,從而可將-3拆成-1和-2,即2x3-2+x-1,再根據試卷第22題給出的立方差公式得2(x-1)(x2+x+1)+(x-1),到此便可實現因式分解.對于系數和不為零的整系數多項式因式分解,讀者可參考以下定理.

定理的證明,在一般的高等代數教材中均可找到,在此省略.

第二種思路則是利用幾何關系,若定點與P連線垂直于在點P處的切線,對應的距離就是最小的,這里需要一定的觀察能力或者平常學習的積累.這種方法雖然沒有求導,但是也需要求解一個三次方程,總之此題是繞不過三次函數的處理的.

(1)求C的方程;

評析本題可視為2008年安徽高考卷第22題的一個變式.解題的核心思想是將線段比轉化為共線向量處理,類似的思路出現于2021年全國Ⅰ卷的解析幾何題,蘊含了命題人對命制試題的理解,具有很強的指導性.用向量的數量積運算,能很快剝離出運算式的韋達定理的結構,整合分類討論.不足之處是計算量較大.

3 高考復習啟示

3.1 夯實基礎,提升思維

從本次四省聯考的解析幾何試題來看,試題傾向于考查考生的邏輯推理能力,有著“送分題少、中檔題目占比大、難題梯度明顯”的特點,而且在中檔題目上強調更加靈活地應用所學知識和相應的數學技能.在復習備考時,首先讓學生牢固掌握直線、圓和圓錐曲線的相關概念,熟悉基本圖形和幾何性質,建構知識體系;其次,讓學生深化理解通性通法,教學時不宜過度追求一題多解,應重點關注如何審題,怎樣應用所學知識處理新問題;最后,以解析幾何為例,這份試卷的計算量較大,并且邏輯推理的要求也較高,因此我們在平常教學時,要同時抓學生的計算能力和數學思維.

3.2 回歸課本,研究真題

有很多高考試題來自于教材例題或習題的改編,教材是最好的備考素材.教學時立足習題,尤其讓學生把那些“看上去沒有思路”的題多做幾遍,爭取能獨立解決.此外,教材上的“閱讀與思考”“探究與發現”等欄目也非常重要,讓學生認真閱讀并思考這些內容,培養他們閱讀習慣的同時提升學習能力.

高考真題凝結著命題專家的智慧,是考查基礎知識、基本技能和基本思想方法的載體[1],既有示范性,又有權威性.從本文的分析看,高考試題具有很強的傳承性,研究往年真題,挖掘背后的命題規律,對于復習備考具有重要的指導意義.