2023年新高考Ⅰ卷22題的多解與推廣

劉才華

(山東省泰安市寧陽縣第一中學,山東 泰安 271400)

2023年新高考數學Ⅰ卷第22題,試題簡潔明快,入手容易,深入難,在重視對基礎知識、基本方法以及基本思想考查的同時,突出了創新性和理性思維,對學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象等學科素養均有較高的要求.學生在平時學習過程中要重視教材、回歸基礎.另外,此試題在反套路和反機械刷題上也起到了很好的示范警示作用.

1 試題呈現

2 試題解析

由于曲線平移不會改變矩形的周長,我們只需證明如下命題:

思路1 利用設點坐標的方法和兩點間距離公式求出邊長,通過放縮化歸為一元不等式解答.

由PQ⊥QM,得

由(x2-x1)(x2-x3)≠0,得

(x2+x1)(x2+x3)=-1.

不妨設0

由PQ⊥QM,得

由(x2-x1)(x2-x3)≠0,得

(x2+x1)(x2+x3)=-1.

不妨設0

|x2+x3|≥|x2+x1|.

思路2 利用設點坐標的方法和兩點間距離公式求出邊長,結合不等式放縮化歸為一元函數最值問題,通過導數知識解答.

證法3過程同證法1,得到

思路3利用設直線方程的方法,通過弦長公式求出邊長化歸為一元不等式解答.

證法4 不妨設P,Q,M三點在拋物線y=x2上.設Q(t,t2),直線QM的方程為y=k(x-t)+t2,且k>0,聯立y=x2消去y,得

x2-kx+kt-t2=0.

則Δ=(k-2t)2>0,

由PQ⊥QM,同理可得

(1)當0

(2)當k>1時,

思路4利用設直線方程的方法,通過弦長公式求出邊長化歸為分段函數,結合一元不等式解答.

證法5過程同證法4,得到

思路5 利用直線的參數方程及其幾何意義,化歸為三角函數最值問題解答.

t2cos2θ+t(2x0cosθ-sinθ)=0.

由PQ⊥QM,得

故|PQ|+|QM|

令f(x)=x-x3,0

則f′(x)=1-3x2.

作進一步地推廣,對于一般的拋物線x2=2py(p>0),我們可以得到如下命題:

命題2可以利用上述證明思路給出不同的證明[1],過程從略.