高中數學不等式解題技巧思考

沈子儒

(安徽省利辛縣第一中學,安徽 亳州 236700)

不等式是用符號大于、小于、大于等于、小于等于等表示大小關系的一類式子.在高中數學中,涉及題型比較廣泛,包括選擇題、填空題與計算題等,假如學生沒有透徹理解不等式知識,難以熟練掌握解題技巧,他們就無法很好地解題.高中數學教師應高度重視不等式解題技巧的思考,利用各種常見的題型組織學生進行集中訓練,使其結合具體題目使用相應的技巧分析和解答,不斷提高他們的解題水平,反過來輔助對理論知識的深化理解.

1 不等式的反證解題技巧

不等式作為高中數學教學中比較重要的一部分內容,通常以各種題型出現在平常練習與考試當中.解答有關不等式的題目時往往要用到各種技巧,其中反證方式應用的較為廣泛,這是以正難則反為基礎形成的,在證明類的問題中使用有著不錯的效果.對此,高中數學教師可指導學生在處理不等式證明類題目時采用反證法,使其將整個證明過程變得更為便捷與簡單,將不等式證明問題的解答變得更為高效,幫助他們掌握不等式證明題的解題技巧[1].

例1已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,請結合以上條件證明a>0,b>0,c>0.

解析根據題干中提供的條件abc>0,能夠得出a,b,c均不可能是0,這里要用到反證的方式.

假設a<0,則bc<0,又因為a+b+c>0,所以b+c>-a,由此可以得到a(b+c)<0.

所以a(b+c)+bc<0.

不過這一式子明顯同題干中提供的信息相沖突,所以說這個假設是無法成立的,也就是表明a>0,b>0,c>0.

2 不等式的換元解題技巧

處理部分數學問題時,把其中一個式子當作一個整體來看待,且運用一個變量進行替換,從而將問題變得更為簡單,這就是常用的換元法,廣泛適用于方程、函數、不等式等解題實踐中,根本思想是轉化,關鍵在于構建“元”與設置“元”.在高中數學不等式解題訓練中,教師可以引導學生采用換元解題技巧,把研究對象進行變換,問題轉移至新對象上面,目的是讓非標準的問題變得標準化,復雜問題變得簡單化,最終讓他們輕松解答不等式問題[2].

例2 已知a,b,c∈R+,請證明abc≥(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c).

解析使用換元法假設x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,這時可以轉變為證明

(x+y)(y+z)(x+z)≥8xyz.

由于x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,

因為a,b,c∈R+,所以當xyz<0時,可以得到(x+y)(y+z)(x+z)≥8xyz.

當xyz>0時,有x,y,z∈R+,假如x,y,z三者當中有任意兩個比0小,那么c≤0與c>0是相矛盾的,由此得到

則(x+y)(y+z)(x+z)≥8xyz.

首先檢測500條時態RDF數據的不一致性，首次計算節點的生命區間。左邊就是存在不一致性數據，右邊是修改后的一致性數據。

然后把x,y,z代入到原式中可以得到

abc≥(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c).

3 用不等式性質解題技巧

在高中數學不等式解題教學中,教師應關注學生對不等式基本性質的合理運用,這是一項最基礎的解題方式與技巧,可以應用至各種類型的不等式試題中,不少題目都要用到不等式的基本性質.如:不等式具有傳遞性,也就是如果a>b,b>c,則a>c;不等式還有可加性特點,假如a>b,就表明a+c>b+c,c>0時,ac>bc.所以,學生可以利用不等式的基本性質進行解題,能夠快速找到解題的切入口,繼而提高他們解題的準確率[3].

例3 平面上有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,每三個圓都不相交于同一個點,請證明n個圓將平面分成f(n)=n2-n+2個部分.

解析(1)歸納法,當n=1時,一個圓可以把平面分成兩個部分,即f(1)=12-1+2=2,故命題成立.

(2)假設n=k,該命題成立,也就是說k個圓將平面分成f(k)=k2-k+2個部分,則設第k+1個圓的圓心為O,根據題意可知它與k個圓中每個圓相交于兩個點,又無三個圓相交于同一點,那么與其它k個圓相交于2k個點,以此結合題目中提供的條件有效證明出命題的結論,這是對不等式基本性質的充分運用.

4 線性規劃題的解題技巧

例4已知a>0,參數x,y會滿足以下三個條件,x+y≤3,x≥1,y≥a(x-3),如果z=2x+y的最小值為1,那么a的值是什么?

圖1 坐標軸示意圖

5 用數形結合解不等式題

數形結合指的是“數”與“形”之間的有機結合,這是數學思想方法中最為常用的一種,不僅可以用來解答不等式相關的試題,還能夠運用至其它數學試題的解答中,與其它解題技巧相比,數形結合能夠將題目變得更為形象與直觀,有助于學生快速找到解題思路,讓他們高效解題.當運用數形結合思想解決不等式類題目時,高中生要注重“以形助數”的應用,將“數”由“形”的形式呈現出來,使其找到更簡便的解題方法,鍛煉他們的解題技巧[6].

例5 已知關于x的不等式x2≤4-|2x+m|,如果至少存在一個x≥0使得該不等式成立,那么m的取值范圍是什么?

解析對原不等式進行整理后得到|2x+m|≤-x2+4,將不等式的左右兩邊均看作成函數,即為y=|2x+m|與y=-x2+4,這里要從反面思考問題,即:如果對于任意的x≥0,均有|2x+m|>-x2+4,在同一個平面直角坐標系中畫出兩個函數圖象,如圖2所示,根據圖片信息能發現當m的值發生變化時,函數y=|2x+m|的圖象將會沿著x軸進行運動,圖2中兩個臨界條件,分別對應于m>4,或者m<-5,由此表明要想滿足題意m的取值范圍應該是[-5,4].

圖2 函數圖象示意圖

6 不等式高次題解題技巧

在高中數學不等式相關內容教學中,高次不等式問題不僅屬于一項重要教學內容,還是一大難點,處理此類不等式問題時,最經常出現錯誤的地方就是劃分區域時容易混亂,無法準確判斷出特殊的區域或者特殊點.對此,高中數學教師可以結合高次不等式開展專題訓練,指引學生采用因式分解的方法進行解題,借此把高次不等式轉變為低次不等式,復雜問題作簡化處理,將問題變得更為清晰明了,使其極易找到解題的切入點,繼而掌握解題技巧[7].

例6 求解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0.

解析結合題目中給出的三次不等式方式能夠畫出如圖3所示的圖象,第一步,畫出一個坐標軸,在坐標軸上面標出1,2,3三個點的位置,由此將坐標軸劃分為4個區間;第二步,把靠近右邊區間看作為正,其它的看作為正負相間,在各個區間內標出正負號;第三步,用“+”表示不等式大于0,用“-”表示不等式小于0,這樣能更為形象地觀察到不等式的區域,可明顯得出x的取值范圍是13.

圖3 不等式曲線圖

使用“穿根法”進行解題時,應先畫出一個坐標軸,再在坐標軸上面繪制出不等式的情況,結合所畫坐標軸及穿線順序判斷不等式的大小情況,這一解題技巧顯得簡單、直觀,解題難度有所降低.

總而言之,在高中數學教學活動中,解題訓練是相當關鍵的構成部分,是學生運用所學知識處理問題的主要途徑與渠道,尤其是在不等式教學實踐中,教師要充分考慮到不等式知識的廣泛運用,精心設計多種多樣的題型展開不等式解題訓練,使其通過親身實踐掌握大量的不等式解題技巧,逐漸樹立起學習數學的自信心,全面提升他們的數學解題水平.