基于數學知識內在聯系的解題策略探究
——以一道幾何最值問題的解法為例

李小蛟

(成都市樹德中學,四川 成都 610091)

活動是數學教學的基本形式,思考是數學的核心問題.如何提升學生的解題能力,重要的不是研究教師怎樣講,而是研究如何創設良好的問題情境,讓學生運用已有經驗,在思考與活動中經歷“再創造”的過程.通過知識內在的聯系將相關知識整合融通,使知識上下溝通、左右逢源,使數學知識系統化、整體化,以達到在頭腦中建立完整的認知結構.

1 題目呈現

題目已知菱形ABCD,E為AD中點,且BE=3,則菱形ABCD面積的最大值為____.

題目以平面圖形菱形為背景考查面積最值,學生在解題思考時可從平面幾何、三角函數、向量相關知識入手,對題目條件進行合理轉化.學生在閱讀完題目條件后能瞬間聯想到相關知識點,看似起點低,但真正動筆演算時卻發現解答的落腳點很高,在考場上臨場解答非常有難度.下面我們從學生的認知出發,尋找題目條件與相關知識的內在聯系,探究本題的解法(為了解題方便,不妨設AB=a,∠EAB=θ).

2 題目探究

探究策略1余弦定理+斜率轉化.

題目已知中線長度求面積,學生很自然地聯系到利用余弦定理將邊角轉化,通過菱形的邊長和夾角以及中線建立關系,再利用三角形面積公式將面積統一到角度θ.對于分式形式的三角函數最值問題可聯系到圓的參數方程(三角代換),將三角函數問題轉化為解析幾何問題中的斜率.

評注幾何問題代數化處理是數學解題中一貫的基本思想方法,求解面積最值轉化為代數最值,再聯系三角函數與解析幾何的內在聯系,最后將問題轉化為解析幾何中的斜率問題.

探究策略2余弦定理+輔助角公式.

同探究策略1將面積轉化為三角函數求最值后,可采用變更主元的方法(本題將θ看成常值,將S看成變量),利用輔助角公式變形,再利用正弦函數本身的有界性求解.

評注利用三角函數的有界性是求解最值(范圍)問題最有效的一種策略,探究策略2利用三角函數自身內在的性質將求解問題簡單化,強化知識本身具體的屬性,重視知識本源,強化深度學習[1].

探究策略3 余弦定理+萬能公式.

同探究策略1將面積轉化為三角函數求最值后,出現兩個變量(sinθ,cosθ),如何將雙變量問題轉化為單變量問題是解答中最關鍵的思考點,而萬能公式是將正余弦函數統一到同一函數名(正切函數)最有效的方法之一.

所以(SABCD)max=12.

評注三角函數的最值(范圍)問題求解是要將三角函數化為三個一“同一角度、同一函數名、一次式”進行求解.探究策略3還引導將非齊次的分式形式轉化為基本不等式或對勾函數求解最值.

探究策略4 阿波羅尼斯圓.

將動點轉化為定性的點軌跡(或將變量轉化為定量)是研究平面幾何的有效方法.基于本題中菱形所有邊長相等,點E又為邊AD的中點,于是可聯系兩線段比值為定值的阿波羅尼斯圓來解決問題.

在直線BE上取兩點M,N,使得BM=2ME,BN=2BE,取MN中點O則點A軌跡是以O為圓心,ON為半徑的圓.

所以(SABCD)max=4(S△ABE)max=12.

評注已知兩定點且動點到兩定點的距離之比為定值,根據初中平面幾何知識可以輕松地得出阿波羅尼斯圓與兩定點所在直線以及兩點的距離,快速找到阿波羅尼斯圓的圓心以及半徑.通過圓上點在運動過程中到直線距離的變化可直接觀察得到相關最值,求解快速準確.

探究策略5 平行四邊形邊長與對角線數量關系.

題目中只給出平面圖形中邊的關系和長度,基于菱形的面積可只用對角線之積解決,所以可只探究菱形對角線與邊的數量關系.

因為4|AB|2=|AC|2+|BD|2,

所以|AC|2+9|BD|2=144.

當且僅當AC=3BD時,等號成立.

所以(SABCD)max=12.

評注平行四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和,巧妙地將本題中菱形的邊長與對角線建立等量關系,進而建立對角線的相關數量關系(|AC|2+9|BD|2=144),最后用不等式相關知識求解最值.

探究策略6線段成比例+不等式.

鑒于菱形面積可利用對角線之積求解,故可利用題目條件將對角線用相關量表示,再考慮字母的輪換對稱性,然后利用不等式相關知識求解最值.

連接BD,過點A,E分別作AD垂線,交點分別為G,F,易得|BG|∶|GF|∶|FD|=2∶1∶1.

又|BF|2+|EF|2=|BE|2,即x2+y2=9.

所以(SABCD)max=12.

評注依據本題中的對角線變化,又已知BE=3,故可以在△BEF中通過BE建立BF與EF的關系,再將菱形面積轉化到BD與AG的積,利用重要不等式x2+y2≥2xy求解最值.

探究策略7線段成比例+三角運算.

通過平行、相似找到相關量之間的關系,再利用三角函數將雙變量轉化為單變量,將代數最值轉化為三角最值.

評注通過平行線分線段成比例,三角形的相似將菱形的面積轉化為三角形面積的倍數,在Rt△BEF中通過∠EBD建立關系將菱形的對角線轉化為同一角度的不同三角函數值,再利用二倍角公式求解最值.

探究策略8 海倫公式.

菱形面積的求解本質上可分解為三角形面積求解.三角形面積如果只利用邊長求解最直接的方法即海倫公式.

設AE=x,則AB=2x.

所以SABCD=4S△ABE

所以(SABCD)max=12.

數學是一個整體,不同的數學知識之間存在著緊密的、重要的聯系.學生在獲得數學理解的同時,應當能溝通知識之間的內在聯系[2].但是,由于知識在教材中的呈現是相對獨立的,教學又是以課時為單位設計學習內容,加上學生受到認知發展的限制,在沒有引領的情況下,往往不容易發現知識之間的關聯.因此在解題教學中,教師應利用適當的形式和方法從數學的邏輯上引導學生發現不同數學知識之間的內在聯系,引導學生在解題的過程中不斷地探索,進而展示數學知識的整體性與數學方法的一般性.