“直觀想象”素養下的立體幾何最值問題求解策略

王芬芬

(江蘇省溧水高級中學,江蘇 南京 211200)

立體幾何,其核心是“立體”問題與“幾何”問題,其本質是平面幾何的三維化,是代數問題的幾何化.立體幾何的考查中常常涉及距離、角度、面積和體積等最值問題,此類最值問題的考查,往往與其他多個模塊的知識融合交匯,如平面幾何、函數、向量等,因此備受命題者青睞.此類問題的求解,不僅需要豐富的空間想象能力、扎實穩定的運算能力,還需靈活運用轉化與化歸、數形結合等方法將動態問題靜態化、空間問題平面化、幾何問題代數化.這些等價轉化都是建立在學生對空間幾何體的精準認識、熟練認知的基礎上,同時要求學生必須具備“直觀想象”素養.

1 借助直觀想象,動態問題靜態化

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出,直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數學問題的素養[1].數學教學要注重培養學生的直觀想象素養.正如史寧中教授所說:“數學的結論常常是‘看’出來的,不是‘證’出來的.這種‘看’依賴的就是數學直觀.直觀不是‘教’出來的,而是學生自己‘悟’出來的,這就需要經驗積累.”教材,便是學生經驗萌生的搖籃.新課標新要求下的新高考,對立體幾何問題的命制充分體現了以各版本教材為基礎,將核心素養融入試題.因此,教學時教師應充分利用好教材中的例題和習題,深度挖掘教材中隱含的數學思想和數學方法,幫助學生積累解決問題的經驗,切實提升學生的數學核心素養[2].

鏈接教材(人教A版必修二119頁練習第3題)將一個棱長為6 cm的正方體鐵塊磨制成一個球體零件,則可能制作的最大零件的體積為____.

解析當球與正方體內切時體積最大,為36πcm3.

評析從問題表象看是一個將正方體磨制成球體、從外向內、削棱去角的過程,問題的實質可以看成正方體內部有一個球,不斷膨脹后達到極限狀態——與正方體的六個面均相切,即為正方體的內切球時不能再膨脹.這是一個借助幾何直觀,通過尋找臨界狀態,將動態問題轉化為靜態問題,即“化動為靜”的過程.

案例1已知四面體ABCD的棱長滿足AB=AC=BD=CD=2,BC=AD=1,現將四面體ABCD放入一個軸截面為等邊三角形的圓錐中,使得四面體ABCD可以在圓錐中任意轉動,則圓錐側面積的最小值為____.

2 借助直觀想象,空間圖形平面化

空間問題平面化即降維是處理立體幾何問題的一種重要的思想方法．空間問題平面化,就是將空間的點、線、面的關系平鋪到同一平面上進行研究,在這個平面中將已知和目標的各個元素串聯在一起,通過研究各元素間的關系,使得空間問題轉化為平面問題.

案例2已知某圓錐的母線長為3,底面半徑為1,則該圓錐的體積為____.設線段AB為該圓錐底面圓的一條直徑,一質點從A出發,沿著該圓錐的側面運動,到達點B后再沿側面回到點A,則該質點運動路徑的最短長度為____.

評析曲面上路徑最短問題,可以借助平面上的常用結論——兩點間距離線段最短,借助幾何轉化,將曲面問題化為平面問題——化曲為平.既然有化曲為平,那折線段最短問題又怎么解決?

案例3(多選)如圖1所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,P是A1B上的一動點,則( ).

圖1 案例3圖 圖2 案例3解析圖

解析(1)求DP的最小值即求點D到線段A1B的距離,在等腰△A1BD中利用等面積即可求,選A.

(2)解決折線段和最小問題,教師可先給出如下引導問題:

一個質點在長方體表面從點A出發運動到點C1的過程中,運動的最短路徑長度為____.

評析折面上路徑和最短問題,依然可以類比前面已經解決了的曲面上線段最短問題的解決策略——化折為直.將折面沿交線展開平鋪,這樣折線段最短就可以轉化為直線段長度和的問題,此轉化可以將立體幾何問題化歸為平面幾何問題.

3 借助直觀想象,幾何問題代數化

代數重點研究數字和文字的代數運算理論和方法;幾何主要研究空間結構及性質.代數與幾何相輔相成,融為一體.通過轉化與化歸,我們可將立體幾何的最值問題轉化為函數最值,借助函數求出最值.

圖3 正四棱錐高為變量

評析該題考查的是錐體體積的取值范圍的求解問題,可以引入兩個變量,借助兩個變量之間的等量關系先消元,再通過求導判斷出目標函數的單調性,從而求出目標函數的值域,即將幾何問題代數化來解決立體幾何中的最值問題.

基于直觀想象的立體幾何最值問題的解決,改變了原有問題的抽象狀態,將問題具體化、形象化,使學生在解決問題的過程中不再是面臨冰冷的數學符號和圖形,而是通過直觀想象加強了問題的可視化、可解化,使學生在問題的解決過程中推動了數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模、數據分析等素養的培養.因此,立體幾何教學中,我們應該繼續專研教材教法,重視知識的交匯,將直觀想象落到實處,促進學生核心素養的提升,讓想象與推理并重,幾何與代數齊飛.