整體思想在解高考題中綻放
——以2022年浙江高考解答題為例

洪昌強

(臺州市第一中學,浙江 臺州 318000)

很多學生認為2022年浙江高考試題運算量較大,直接影響了高考得分.試題的運算量大在何處?造成運算困難的原因又在何處?筆者對各個試題的解題思維過程進行分析,不難發現學生在處理問題時,缺乏整體思想.下面對浙江卷的5道解答題進行剖析.

1 善用關系,化繁為簡

(1)求sinA的值;

(2)若b=11,求△ABC的面積．

圖1 2022年浙江數學高考18題圖

評注此題多數學生直接利用正弦、余弦定理進行求解,若從幾何圖形的整體性出發,根據條件所提供的信息,從整體上把握三角形邊、角之間的內在關系,就能輕松、簡捷地得到結果.

例2 (2022年浙江省數學高考第20題第(2)問)已知等差數列{an}的首項a1=-1,公差d>1．記{an}的前n項和為Sn(n∈N*)．若對于每個n∈N*,存在實數cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比數列,求d的取值范圍．

分析從條件知{an}是等差數列,且a1=-1,公差d>1,多數人受此影響,將an,an+1,an+2用n,d進行表示,即

an=-1+(n-1)d,

an+1=-1+nd,

an+2=-1+(n+1)d.

代入(an+1+4cn)2=(an+cn)(an+2+15cn),展開后發現等式中項數較多,運算量較大.對于運算能力薄弱的學生,很難完成接下去的推理過程. 若從整體思想考慮,先直接將(an+1+4cn)2=(an+cn)·(an+2+15cn)展開,整理成

根據等差數列的性質,對局部先進行化簡,即

8an+1-15an-an+2=6d-8an.

因為a1=-1,公差d>1,

故n≥3時,an≥d都成立.

對于n=1時,△≥0顯然成立.

當n=2時,由△≥0,解得1

所以d的取值范圍為(1,2].

評注本題充分利用an,an+1,an+2三者之間的特殊關系,對“an,an+1,an+2”先采用按兵不動的方法,保持“原貌”的整體性,這樣在等式變形時,擺脫局部細節中一時難以弄清的數量關系的糾纏,避免了因項數多所帶來的不必要的繁瑣運算.

2 會用補形,化丑為美

例3 (2022年浙江省數學高考第19題第(2)問)如圖2,已知四邊形ABCD和四邊形CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角為60°．設M,N分別為AE,BC的中點,求直線BM與平面ADE所成角的正弦值．

圖2 2022年浙江高考19題圖 圖3 補形圖

分析本題的幾何體是一個五面體,多數學生使用向量坐標法進行處理,此法思路比較簡單,但需要建立空間直角坐標系,并求平面ADE的法向量坐標和直線BM的向量坐標,有一定的運算量.對于運算能力較弱的學生,容易造成失分.此題若用幾何綜合法進行處理,關鍵是找平面ADE的垂線所在的位置.由于題目的背景是一個五面體,形狀有點“丑”,致使直線BM與平面ADE所成角被“丑”化,若通過補形的方法,過點A作AC1∥CB,AF1∥BF,CF∥C1F1,如圖3,將原來的五面體補成一個完美的三棱柱BCF-AC1F1,易證這是一個正三棱柱.

又因AD=DE,M為AE的中點,根據幾何體的對稱性,易證DM⊥平面ABFE,即平面ADE⊥平面ABFE.

過點B作BH⊥AE,點H為垂足,則BH⊥平面ADE,∠BMH就是直線BM與平面ADE所成角.

在直角梯形ABFE中,

評注在研究不規則的幾何體時,幾何體的一些重要幾何特征被遮掩,導致解題思路受阻.若通過補形方法,將幾何體從“非常規形”轉化為“常規形”,幾何體的性質往往會突顯出來,從中可以獲得有價值的重要解題信息.

3巧用對稱,以一當二

圖4 2022年浙江高考第21題圖

分析本題涉及重要的點有A,B,C,D,P,Q,其中A,B,C,D是動點.根據條件可知,A與C,B與D分別關于點P“對稱”,同時,A與C之間的關系和B與D之間的關系又具有類同性.

評注一個數學問題中的所有信息都是一個有機整體,它們之間有千絲萬縷的聯系,而各部分信息之間的精彩配合往往是解題成功的必要前提,因此解題時要從整體的視角去審視問題,充分挖掘題目中有價值的信息,并發揮這些信息在解題中的作用,這樣常常收到事半功倍之功效.

4 活用代換,化難為易

(注:e=2.71828…是自然對數的底數)

由于方程結構比較復雜,要了解這三個根的分布情況,需要轉化為函數問題進行處理,設

因為0

又因為x1

所以0

由g(x1)=g(x3)=0,得

①

②

③

④

⑤

根據⑤式是齊次式的特征,再設

則⑤式又變形為

有大格局的胸懷是一個人的重要品質.因此,在認識數學問題時,要重視從整體上把握題目的條件、結論及數量關系,認清整體與局部之間的關系,把握問題的本質.在解決數學問題時,應注重從數學問題的整體形式、整體結構、整體特征上進行處理.