基于改進二階優化器并行學習的彈道導彈神經網絡落點預測方法

任樂亮，鮮勇，李少朋，2，雷剛，伍薇，李冰

1．火箭軍工程大學 作戰保障學院，西安 710025

2．清華大學 自動化系，北京 100084

為應對反導防御系統的攔截威脅，彈道導彈中段機動突防是目前最有效的方式之一。隨著反導攔截系統的升級完善，傳統采用射前突防/彈道/制導規劃［1］，發射后只能沿給定彈道和給定策略進行機動突防的方法，面臨戰場動態適應能力不足的問題［2］。而基于彈載感知系統、智能決策算法和姿軌控動力系統的實時感知-自主決策-大機動的突防方式，將更加適應高動態的攻防對抗態勢［3-4］。在該突防方式下，為保證落點精度，其制導方法設計面臨嚴峻的挑戰，主要原因：①彈道導彈大機動突防意味著大幅度偏離無機動標準彈道，基于無機動標準彈道設計制導算法將難以滿足精度需求；②由于反導系統部署位置、攔截策略和攔截時機的不確定性，導致彈道導彈機動方向、機動時機和機動次數均具有一定的不確定性，從而無法在地面進行射前規劃以解算機動突防標準彈道［5］。

而傳統的彈道導彈制導方法主要是攝動制導［6］和閉路制導［7］，其中攝動制導依賴小偏差理論，無法滿足大機動突防彈道導彈制導精度需求；閉路制導根據目標點及導彈飛行狀態，按照控制泛函進行實時解算，并引入虛擬目標降低彈上計算復雜度，能夠適應更大的彈道偏差。同時，閉路制導通常依據導彈當前狀態和目標點狀態實時更新虛擬目標點，進一步增強了算法的魯棒性，而虛擬目標點的更新需要落點預測模型的支撐。針對大機動突防彈道導彈精確制導需求，文獻［5］建立了一種基于模型預測控制思想［8］的落點預測制導方法［9-10］，由神經網絡模型根據導彈當前運動狀態預測落點，再與目標點進行對比，利用落點偏差解算制導控制量，進而完成落點修正。可以看出，閉路制導和文獻［5］制導方法的關鍵都是如何解決彈道導彈落點的實時高精度預測問題。

目前，落點預測方法主要有彈道積分外推法［11］、基于橢圓彈道理論的預測方法［12］、基于近似解析表達式預測法［13-22］、神經網絡非線性擬合法［23-26］。其中，第1 類方法預測精度高，但實時性差［27］，第2 類方法預測精度差，但實時性好，第3、4 類方法則在一定程度上兼顧了預測精度和實時性。基于近似解析表達式的預測法主要有狀態空間攝動法［13-17］、經典fg 級數修正法［18］、中間軌道法［19］、非正交分解法［20-21］和平均軌道要素法［22］等，大量學者就此進行了研究，以解決閉路制導中在線計算虛擬目標的需求。其中，狀態空間攝動法精度高于其他方法，同時，由于經典fg 級數修正法、中間軌道法、平均軌道要素法以時間為自變量，非正交分解法以射程角為自變量，因此當終端條件為地心距時，需要迭代計算，降低了計算效率，而狀態空間攝動法則具有無需迭代計算的優點［15］。文獻［13-17］基于狀態空間攝動法對地球非球形攝動影響因素進行了解析建模，建立了無需迭代計算且具有較高精度的解析補償模型，進而支撐了閉路制導在線補償方法的研究。

但總體而言，基于近似解析表達式的預測法的解析建模門檻高、模型復雜，且相較于神經網絡非線性擬合法而言，計算復雜度較高。神經網絡非線性擬合法則具有簡明的表達形式、規范的建模過程，同時由于其基于數據學習的特點，具有能夠降低無解析模型因素對落點預測精度影響的特性。

近年來，學者們利用神經網絡非線性擬合能力強和計算量小的特點，研究了其在落點預測中的應用，旨在平衡計算速度與預測精度，但現有神經網絡落點預測方法仍有較大的改進空間。一是為提高落點預測精度，網絡結構偏大，存在降低實時性的問題，如文獻［26］設計的神經網絡隱藏層節點數多達100 個，導致模型計算量較大。二是在網絡輸入輸出量設計方面研究不足，導致學習難度大，如文獻［5］通過改進激活函數、優化網絡輸入和解耦落點坐標等方法，在較小網絡結構下實現了較高的預測精度，但由于仍采用神經網絡輸出落點坐標的設計模式，預測效率仍有提升空間。三是訓練策略上有待深入研究，此類中小型網絡通常在CPU 上采用LM（Levenberg-Marquardt）算法進行優化，具有收斂快、優化效果好的優點，但是隨著樣本數量及網絡參數的增大，訓練耗時將急劇增加。利用GPU 進行加速訓練將極大地降低時間成本，但是在樣本數量及網絡參數較大的情況下，LM 算法對顯存需求量很大。文獻［28］所改進的LM 算法雖然有效降低了算法對存儲量的需求，但是不利于GPU 并行計算。由此可知，研究多塊GPU 訓練環境下針對LM 算法的并行加速訓練策略，是大樣本神經網絡落點預測模型的基礎。

通常，雖然通過簡化模型得到的預測結果存在一定的偏差，但是該偏差量相對于預測真值小很多，因此，以偏差量作為神經網絡輸出將有利于降低學習難度。比如，文獻［26-30］分別針對落點預測問題、Lambert 制導和助推段彈道預測，以簡化模型的預測偏差作為神經網絡模型的學習量，得到了較好的預測結果。

基于上述分析，為降低神經網絡學習難度，本文建立了一種神經網絡學習橢圓彈道落點預測偏差的方法。本文主要貢獻如下：①設計了一種彈道導彈落點預測框架，該框架由橢圓彈道落點預測模型和神經網絡落點偏差預測模型組成，具有預測精度高、網絡結構小和實時性好的特點；②基于Levenberg-Marquardt 算法設計了一種并行學習優化器，降低了算法對顯存的需求量且縮短了學習耗時；③對同一型號導彈而言，無需射前對神經網絡進行訓練，有利于縮短諸元準備時間。

1 彈道導彈落點預測問題

1.1 基本假設

本文建立的落點預測模型旨在為中段大機動突防彈道導彈制導方法研究提供參考，在制導方法誤差評價范圍內表示落點預測誤差。因此，不考慮彈道導彈實際再入過程中的氣動系數、大氣參數和風場與地面解算彈道使用的氣動系數、大氣參數和風場之間偏差等非制導因素對落點影響［31］。基本假設如下：

1） 地球模型采用考慮J2項攝動影響的旋轉橢球體模型。

2） 彈道導彈再入大氣層后，保持零攻角和低速慢旋穩定狀態進行無動力飛行，忽略馬格努斯力的影響。

3） 考慮到不同季節的大氣參數和風場有所差異［31-32］，因此，針對不同季節生成相應的訓練樣本并進行訓練。射擊前，根據季節選擇相應的神經網絡落點預測模型裝訂上彈。后續將以特定的大氣模型作為落點預測仿真分析的基礎，不影響制導方法誤差評價范圍內落點預測模型的精度和計算復雜度研究。

1.2 落點預測形式化描述

根據彈道導彈彈道學可知，在標準彈道條件下，以任一飛行狀態為起始點，對應唯一一條彈道，這也是落點可預測的基礎。因此，可以建立落點預測的形式化描述如式（1）所示，其關鍵是如何得到式（1）中的映射f。

式中：S0∈Rn×1表示導彈運動狀態矢量，n為運動狀態變量的個數；P∈R3×1表示落點矢量。為方便描述，如不特指文中均采用列矢量形式。

1.3 精確落點解算模型

在地心地固（Earth-Centered Earth-Fixed，ECEF）坐標系下，建立考慮旋轉橢球體和再入阻力模型的動力學方程：

式中：t為飛行時間；Xs和Vs分別為t時刻彈道導彈在ECEF 坐標系下的位置和速度矢量和分別為t時刻彈道導彈在ECEF 坐標系下引力、空氣動力、牽連慣性力和柯氏慣性力的加速度矢量，可由式（3）計算得到：

式中：μ為地球引力常數為導彈地心距；J2為地球形狀動力學系數；ae為地球長半軸；φs為地心緯度；ωe=[0，0，ωe]T為ECEF 坐標系下的地球自轉角速度矢量，其中，ωe為地球自轉角速度大小；mw為質量；ρ為大氣密度；CD為阻力系數；Sw為最大橫截面積；Vs，wind=Vs-Vwind為ECEF 坐標系下導彈相對于空氣的速度［33］，Vwind為ECEF 坐標系下的風速；“×”表示叉乘。

采用阿達姆斯數值積分方法［34］對式（2）進行求解，即可得到落點，積分結束條件為

式中：rm為目標點的地心距；rs為導彈地心距。

2 神經網絡學習橢圓彈道落點預測偏差模型

2.1 橢圓彈道模型

為方便描述，定義落點預測時刻的ECEF 坐標系為地心慣性（Earth-Centered Inertial，ECI）坐標系，即落點預測瞬間ECEF 坐標系與ECI 坐標系一致，但由于ECEF 坐標系隨地球自轉而旋轉，其他時間不再重合。ECI 坐標系與ECEF 坐標系運動狀態矢量之間的轉換關系為

式中：XECI和XECEF分別為ECI 坐標系和ECEF 坐標系下的位置矢量；VECI和VECEF分別為ECI 坐標系和ECEF 坐標系下的速度矢量(Δt)為ECI 坐標系與ECEF 坐標系的轉換矩陣，其表達式如式（6）所示；Δt為ECEF 坐標系相對ECI 坐標系旋轉的時間，可知，落點預測時刻Δt=0，導彈落地時刻Δt=tf，tf為導彈自當前狀態飛行至落地所經歷的時間。

由于橢圓彈道理論忽略了地球非球形攝動以及再入大氣阻力影響，在ECI 坐標系下為平面彈道，利用該特點可建立落點預測解析模型。為方便求解落點，以軌道根數E描述橢圓彈道：

式中：h、i、Ω、e、ω和θ分別為比角動量的模、軌道傾角、升交點赤經、偏心率、近地點幅角和真近點角，如圖1 所示，其中：h為比角動量矢量；e為偏心率矢量；Oe為地心。

圖1 軌道根數示意圖Fig.1 Schematic diagram of orbital elements

2.1.1 解算落地時刻的軌道根數

式中：h0、i0、Ω0、e0、ω0和θ0分別為落點預測時刻的比角動量的模、軌道傾角、升交點赤經、偏心率、近地點幅角和真近點角。

在橢圓彈道假設下，導彈與地球為二體系統，可得導彈落地時刻的軌道根數Ef為

式中：θf為落地時刻的真近點角，考慮到導彈落地時的徑向速度小于0，可得θf為

2.1.2 解算ECEF 坐標系的落點矢量

根據落地時刻的地心距和真近點角，可得近焦點坐標系［35］下落點為

根據近焦點坐標系與ECI 坐標系轉換關系可得ECI 坐標系下落點為

式中：為近焦點坐標系到ECI 坐標系的轉換矩陣［35］。

由于地球旋轉因素影響，為得到ECEF 坐標系下的位置，需要進一步求解飛行時間tf。考慮到平近點角反映了軌道的平均角運動，可得tf為

式中：T為軌道周期；M0和Mf分別為落點預測時刻和落地時刻的平近點角。

將式（11）～式（13）代入式（5）后可得ECEF坐標系下的橢圓彈道預測落點矢量為

為方便描述，將基于橢圓彈道的落點預測模型表示為fET，可得

2.2 神經網絡落點偏差預測模型

2.2.1 坐標系定義

為降低神經網絡學習難度，在坐標系建立神經網絡落點偏差預測模型。與文獻［5］中定義的坐標系類似，不同的是文獻［5］坐標原點定義在彈下點m0處，而本文坐標原點定義在當前飛行位置m1處，具體定義為：以m1為坐標原點，軸過地心Oe與m1連線，且指向天為正軸指向VECEF與軸的叉乘方向，軸與軸、軸構成右手直角坐標系，如圖2 所示。

圖2 坐標系示意圖Fig.2 Schematic diagram of coordinate system

坐標系與ECEF 坐標系的轉換關系為

式中：為導彈在坐標系的位置矢量；為ECEF 坐標系到北東坐標系的旋轉矩陣［36］，如式（17）所示；為北東坐標系到坐標系的轉換矩陣，如式（18）所示；H0為落點預測時刻導彈的高度。

式中：φs，0和λs，0分別為落點預測時刻的地心緯度和地心經度。

式中：γ為軸與正北的夾角，當軸在北向偏東時為正。令導彈在北東坐標系下的速度可得：

2.2.2 神經網絡模型設計

1）神經網絡輸入輸出量設計

考慮到落點在坐標系的不同分量具有較大的差異性，為降低學習難度，構建3 個神經網絡（多層感知機形式）分別學習橢圓彈道落點預測誤差在坐標系的3 個分量，因此，構建神經網絡落點偏差預測模型為

神經網絡輸入量的選取，將直接影響模型學習的難易。考慮到不同緯度φs，0、不同飛行高度H0、不同高度差ΔH=H0-Hm（Hm為目標點高度）對落點有影響，同時加入當地彈道傾角Θ0、速度方位角σ0和ECEF 坐標系下的速度大小作為網絡輸入有助于模型學習［5］，令網絡x、y和z的輸入和分別為

2）神經網絡結構設計

fxNN(·)、fyNN(·) 和fzNN(·) 采用多層感知機形式，所不同的是網絡模型的輸入輸出量、隱藏層層數以及節點數目。圖3 給出了含有2 個隱藏層的神經網絡示意圖。

圖3 網絡結構示意圖Fig.3 Schematic diagram of network structure

在確定fxNN(·)、fyNN(·)和fzNN(·)的隱藏層層數和節點數時，為了使神經網絡獲得良好的泛化能力進而獲得更好的預測效果，可以在一定程度上增加網絡的隱藏層層數和節點數量。但過多的隱藏層會導致學習時間過長和學習過程不穩定，并會導致網絡出現“退化”現象［37］，因此設定最多采用2 個隱藏層的網絡結構。

為降低神經網絡模型的計算復雜度，在確定網絡結構時，應在滿足精度要求的前提下盡可能減小網絡結構，即選擇合適的隱藏層層數及節點數。根據Kosmogorov 定理可知，含有1 個隱藏層的神經網絡可以完成任意的n維到m維的映射［38］。因此，在確定網絡結構時首選隱藏層數為1，但是隨著隱藏層節點數的增加，網絡計算復雜度將逐漸變大。考慮到增加隱藏層層數會提高神經網絡預測精度，因此，合理設計雙隱藏層的節點數，在相同預測精度下，具有比一個隱藏層更小計算復雜度的可能性。

同時，考慮到隱藏層層數和節點數不僅與輸入輸出層的節點數有關，更與需解決問題的復雜程度、激活函數以及樣本數據的特性等因素有關［39］。因此，為建立適用于高精度快速落點預測的神經網絡模型，采用網絡結構增長型方法進行仿真計算［38］，確定隱藏層層數以及節點數量，詳細仿真實驗見3.1 節。

3）激活函數選取

激活函數的選擇對神經網絡而言十分重要，通常在淺層網絡中采用Sigmoid 和Tansig 函數作為激活函數，具有較強的非線性擬合能力。但是，由于此類激活函數中包含指數運算，計算量較大，不利于提高模型實時性。因此，采用文獻［5］建立的S-Sigmoid 激活函數。該函數具有與Sigmoid函數相近的擬合水平，但是計算量小于Sigmoid函數。S-Sigmoid 激活函數為

式中：x為S-Sigmoid 函數輸入量。

2.2.3 神經網絡樣本生成

為提高神經網絡預測精度，學習樣本需覆蓋落點預測時刻所有可能的飛行狀態范圍。定義落點預測時刻的飛行狀態集合S為

式中：H0、Hm、φ0、、σ0和Θ0分別為離散化后的初始飛行高度、目標點高度、緯度、速度大小、速度方位角和當地彈道傾角集合，離散間隔分別為δH，0、δH，m、δφ、δV、δσ和δΘ。

考慮樣本范圍越大，則需要越大的神經網絡結構來完成較高精度的擬合，為降低神經網絡結構大小，提高計算效率，按照高度對落點預測時刻的飛行狀態空間集合S進行分解。 令Si?S(i=1，2，…)，則可得

式中：H0，i?H0，同時

針對集合Si生成訓練集并進行訓練，從而得到對應的神經網絡模型；在彈上落點預測階段，根據飛行高度選擇對應的神經網絡模型即可完成落點預測。

集合Si的訓練集樣本的生成過程為，即神經網絡的樣本輸入，根據文獻［5］的方法將其轉換到ECEF 坐標系，得到式（2）所給微分方程組的初值，再根據1.1節給出的精確落點解算模型得到落點在ECEF 坐標系的落點。結合式（16）可得神經網絡樣本輸出ΔpET的標簽為

集合Si的測試集樣本生成方法為：以H0，i、Hm、φ0、、σ0和Θ0確定的上下界為范圍，令各變量服從均勻分布，隨機生成初始狀態，并采用與生成訓練集樣本相同的方法，得到樣本輸出ΔpET。

2.2.4 神經網絡訓練

1）歸一化處理及損失函數選取

為克服輸入向量的不同維尺度不統一帶來的訓練效率低的問題，采用min-max 歸一化方法對數據進行歸一化處理：

式中：p表示變量；pmin表示變量的最小值；pmax表示變量的最大值；p?為歸一化后的結果。

模型學習采用MSE 損失函數：

式中：M為樣本數量；N為神經網絡輸出值的數量；yi，j和分別為第i個樣本的第j個輸出量的預測值和標簽值。

2）優化器設計

LM 算法是中等規模神經網絡學習算法中最快的一種［40-41］，屬于牛頓法的改進，是一類二階優化器，相較于AdaGrad［42］、RMSPRop［43］和Adam［44］等一階優化器而言具有整體收斂速度快、優化精度高等特點。其迭代公式為

式中：mn=M·N為所有樣本標簽值的數量；下標l表示迭代代數；x∈Rk×1為網絡參數組成的向量，即各網絡層的權值和閾值，其中，k為網絡參數的數量；J∈Rmn×k為輸出量對網絡參數的雅克比矩陣；E∈Rmn×1為神經網絡預測值相對于標簽值的誤差向量；I∈Rk×k為單位矩陣；μ'為動態更新的參數，若更新網絡參數減小了網絡預測誤差，則令μ'←μ' kμ'，否則令μ'←μ'·kμ'，再次計算網絡參數更新量，其中，kμ'為大于1 的超參數。

J和E的大小會隨著M的增大而增大，當采用GPU 加速學習時，求解J和E以及執行JTJ和JTE運算會占用大量顯存，將無法在小顯存GPU上運行。本文在文獻［28］基礎上，進一步借鑒矩陣分塊思想對LM 算法進行改進，以降低顯存需求量，同時，針對改進的LM 優化器設計了一種多GPU 并行加速機制，有效提高了學習效率，稱之為改進的數據并行LM 優化器（Improved Data Parallel Levenberg-Marquardt，IDP-LM）。

① 改進Levenberg-Marquardt 優化器

對J和E分塊：

式 中 ：Ji(i=1，2，…，NGPU) 和Ei(i=1，2，…，NGPU)分別為J和E的子矩陣；NGPU為參與學習的GPU 的數量。

根據分塊矩陣運算法則可得

由式（30）可知，第i塊GPU 僅需要求解Ji、Ei、JTi Ji和JTi Ei，由此可實現JTJ和JTE的并行求解，提高學習效率。

為降低每塊GPU 對顯存的需求量，進一步將Ji和Ei均勻分塊為

式中：Ji，j(j=1，2，…，?i) 和Ei，j(j=1，2，…，?i)分別為Ji和Ei的子矩陣；?i=[mi ζi]+1 為子矩陣的個數，其中，mi為Ji和Ei行數，ζi為Ji，j和Ei，j(j＜?i)的行數，[·]表示取整。

將式（31）代入式（30）得：

由于第i塊GPU 一次僅需要求解Ji，j、Ei，j、，j和，j(j≤?i)，在一定程度上能夠減輕算法對每塊GPU 顯存的需求量。

將式（32）代入式（28）可得IDP-LM 算法的網絡參數更新公式為

② 并行學習流程

為更好地說明IDP-LM 并行學習流程，以2 塊GPU 并行學習為例，如圖4 所示，給出其并行學習流程如下：

圖4 IDP-LM 并行學習框架Fig.4 Parallel learning framework of IDP-LM

步驟1將學習數據均勻分發到GPU 1 和GPU 2。

步驟2將GPU 1 中網絡模型的參數分發到GPU 2，并據此更新GPU 2 中模型的參數。

步驟3GPU 1 和GPU 2 分別將各自的數據代入網絡模型，得到各自的雅克比矩陣和誤差向量，并分別計算1與1J2與2。

步驟4將GPU 2 中的2與2發送到GPU 1，并在GPU 1 計算式（30）。

步驟5在GPU 1 中根據式（33）計算網絡參數更新量并更新GPU 1 中的網絡參數，然后轉到步驟2。

2.2.5 總體框架

結合式（15）、式（16）和式（20）可得落點預測模型為

建立落點預測總體框架如圖5 所示，預測算法流程如算法1 所示。

圖5 落點預測總體框架Fig.5 Overall framework of impact point prediction

3 仿真分析

為對建立的落點預測算法進行驗證，在加入機動突防條件下，以H0，1=[100，200] km 為例，通過大量彈道仿真，確定落點預測時刻的飛行狀態集合S1的范圍如表1 所示。

表1 仿真參數范圍Table 1 Range of simulation parameters

在表1 所給飛行狀態范圍和離散間隔的基礎上，利用第2節訓練集樣本生成方法得到859 320個樣本作為訓練集。為更好地測試神經網絡預測模型的泛化能力，再結合第2 節測試集樣本生成方法，以表1 給出的各變量的上下界為范圍，得到生成12 000 個隨機樣本，將其中10 000 個樣本作為測試集，另外2 000 個樣本作為驗證集。仿真平臺性能如下：操作系統為Ubuntu 18.04，CPU為Intel酷睿10980XE，內存為32 GB，深度學習框架為Pytorch 1.10，顯卡為英偉達3090（24 GB）。

3.1 神經網絡預測模型網絡結構

在2.2.2 節基礎上，進一步確定神經網絡預測模型的隱藏層層數和節點數。為提高網絡計算速度，確定神經網絡各隱藏層的節點數時，在落點預測精度的約束下，應盡可能減小隱藏層節點數。在網絡模型、和均含有1 個隱藏層情況下，仿真分析了不同節點數對預測精度的影響。為方便描述，定義E3σ為訓練集預測誤差集合和測試集預測誤差集合并集的3σ值。針對每種情況各訓練10 次，最大訓練代數為10 000，統計10 次E3σ得到箱線圖如圖6～圖8所示。

?

圖6 含1 個隱藏層條件下的E3σ 箱線圖Fig.6 Boxplot of E3σ for with one hidden layer

圖7 含1 個隱藏層條件下的E3σ 箱線圖Fig.7 Boxplot of E3σ for with one hidden layer

圖8 含1 個隱藏層條件下的E3σ 箱線圖Fig.8 Boxplot of E3σ for with one hidden layer

由圖6～圖8 可得，隨著節點數的增加，3 個網絡模型的預測精度均逐漸提高。當模型和的隱藏層節點數分別達到8 和5 時，E3σ的中位數小于5.0 m；當模型的節點數為18時，E3σ的中位數在10.0 左右。而隨著節點數的增加，預測精度提高緩慢，若采用增加節點數的方法來提高預測精度，不利于網絡結構的減小。因此，為進一步探索更小的網絡結構，將網絡模型設計為2 個隱藏層，并令、和的隱藏層1 的節點數分別為11、6 和5，仿真得到隱藏層2 節點數取不同值時對預測精度的影響，如圖9～圖11 所示。

圖9 含2 個隱藏層條件下的E3σ 箱線圖Fig.9 Boxplot of E3σ for with two hidden layers

圖10 含2 個隱藏層條件下的E3σ 箱線圖Fig.10 Boxplot of E3σ for with two hidden layers

圖11 含2 個隱藏層條件下的E3σ 箱線圖Fig.11 Boxplot of E3σ for with two hidden layers

表2 本文模型網絡結構Table 2 Network architecture of the proposed method

3.2 落點預測精度

為驗證所提方法在預測精度上的優勢，對訓練集和測試集中共869 320 個樣本進行測試，其中，10 000 個測試樣本的存在，可以驗證模型的泛化能力。圖12 給出了預測模型對ΔpET3 個分量預測誤差的絕對值以及落點預測誤差大小‖ΔpET‖的箱線圖。由圖12 可知，預測模型的精度較高，預測誤差的3σ值和平均值分別為4.97 m和1.16 m，說明本文預測方法具有較強的泛化能力，能夠滿足制導方法對落點預測精度的需求。

圖12 落點預測誤差箱線圖Fig.12 Boxplot of impact point prediction deviations

為進一步分析神經網絡落點預測模型精度的影響因素，利用控制變量法對落點預測時刻的飛行高度、目標點高度、緯度、速度大小、速度方位角和當地彈道傾角對預測精度的影響進行了仿真分析，即分別固定上述變量不變而其他變量按照表1 所給范圍進行離散采樣，得到不同影響因素對落點預測誤差大小的箱線圖如圖13 所示。

圖13 不同因素對落點預測精度的影響Fig.13 Influence of different factors on impact point prediction accuracy

由圖13 可知，總體來看，處于飛行狀態范圍邊界的預測精度低于預測范圍中間的預測精度；同時，由圖13 （a）、圖13（c）和圖13（d）可知，隨著飛行高度、緯度和速度大小的增大，預測誤差呈現增大趨勢，其中，飛行高度和速度大小因素對應的趨勢更明顯。由圖13 （b）可知，隨著目標點高度的增大，預測精度呈現變好的趨勢；由圖13 （f）可知，隨著當地彈道傾角逐漸增大，落點預測誤差的平均值和3σ值曲線上升明顯，說明當地彈道傾角對預測精度影響較大。同時，在當地彈道傾角小于-15.5°時，其3σ預測誤差小于3.5 m，而其他因素對應預測誤差的3σ值均高于3.5 m，說明當地彈道傾角對預測精度的影響高于其他因素。

分析上述原因可知，當地彈道傾角增大、高度變大、速度變大、緯度變高以及目標點高度變小將引起飛行時間增長，增大了由于再入阻力和非球形攝動引起的落點非線性化程度，進而增加了預測難度。

由圖13 （e）的平均值曲線可知，當速度方位角在90°和270°附近時，曲線處于波峰狀態，說明預測模型對于向東或向西飛行的導彈的落點預測誤差相對較大，同時，預測誤差的3σ曲線的波峰和波谷相近，說明由于速度方位角不同而引起的預測誤差差別不大。

為進一步驗證本文方法在網絡結構上的優勢，與文獻［5］進行了對比仿真分析，其中，為適應本文落點預測問題的背景，在文獻［5］所給3 個神經網絡模型的基礎上，增加ΔH作為輸入量，同時，以落點在m1x'n yn z'n坐標系的3 個分量作為輸出，將上述3 個網絡分別記為(·)(·)和(·)。令文獻［5］模型的各隱藏層節點數如表3 所示，本文方法各隱藏層節點數如表2 所示。針對每種方法各訓練10 次，本文方法最大訓練代數為10 000，文獻［5］最大訓練代數為20 000，統計10 次E3σ得到箱線圖如圖14 所示。考慮到神經網絡模型的復雜度基本由乘法量和激活函數個數來決定，因此，為初步計算網絡模型復雜度，統計各方法的激活函數個數和乘法量如表4所示。

表3 文獻［5］網絡結構Table 3 Network architecture of Ref.［5］

表4 本文方法和文獻［5］模型的復雜度Table 4 Computational complexity of the proposed method and Ref.［ 5］

圖14 本文方法和文獻［5］模型的E3σ 箱線圖Fig.14 Boxplot of E3σ for the method in this paper and in Ref.［5］

由圖14 可以看出，在上述網絡結構下，本文方法的預測精度優于文獻［5］方法；同時，由表4 可知，本文方法的網絡結構遠小于文獻［5］的網絡結構，激活函數個數少于后者，且乘法量僅為后者的51.5%。說明以橢圓彈道預測誤差作為標簽，有利于降低網絡學習難度，從而可以降低網絡結構大小，降低模型計算復雜度。

考慮到初始飛行狀態范圍變大時，會增加學習的難度，進一步仿真分析了本文方法和文獻［5］方法在針對該問題上的敏感性，即測試初始飛行狀態范圍變大時，同一網絡結構對應預測模型的精度是否受到較大影響。分別在H0，1、Hm、φ0和Θ0原有范圍（如表1所示）的基礎上，增加1 倍對應離散間隔，針對每種情況訓練10次并記錄相應的E3σ，統計2種方法的E3σ箱線圖如圖15所示。

圖15 增大初始狀態范圍后本文方法和文獻［5］模型的E3σ 箱線圖Fig.15 Boxplot of E3σ for the proposed method and Ref.［5］ after expanding range of initial states

可以看出，初始飛行狀態范圍的變大對2 種模型關于落點z方向的預測精度影響最小，而關于x、y方向的預測精度影響較大。分析原因可知，由于導彈近似在坐標系的平面飛行，使得落點z軸分量與x、y軸分量解耦，故落點的x、y軸分量受飛行狀態范圍影響較大，從而增加了網絡模型學習落點的x、y軸分量的難度。同時，改變不同變量范圍對2 種神經網絡模型預測精度影響不同，總體而言，本文方法受初始飛行狀態范圍變大的影響更小，具有“小網絡預測大范圍”的潛力。

3.3 消融實驗驗證所提模塊的有效性

為測試本文方法的各模塊對整體預測精度提高的有效性，設計消融試驗研究了各模塊對預測精度的影響。

3.3.1 在m1x'n yn z'n坐標系表示落點對預測精度的影響

圖16 以不同坐標系下落點作為標簽的E3σ 箱線圖Fig.16 Boxplot of E3σ for network architecture with the impact point as label in different coordinate systems

總體來看，以ΔpET作為樣本標簽對應的網絡預測精度高于另外兩者，以作為樣本標簽對應的網絡預測精度最低，說明在坐標系表示樣本標簽有利于神經網絡學習。

3.3.2 建立3個網絡分別預測落點3個分量有效性

為檢驗建立3 個網絡分別預測落點3 個分量的有效性，需要驗證該方法是否在降低網絡結構大小的同時保持了預測精度。建立映射fNN1如式（35）所示，該網絡模型含有2 個隱藏層，輸出節點數為3。

針對fNN1隱藏層1 和2 分別為15 和10、17 和16 以及20 和15 這3 種情況，分別稱之為工況1、工況2 和工況3，對模型fNN1訓練10 次，最大訓練代數為10 000，統計神經網絡輸出二范數‖‖ΔpET的E3σ得到箱線圖如圖17 所示。同時，圖17 給出了采用本文方法得到‖‖ΔpET的E3σ箱線圖。可以看出，本文方法與隱藏層1 和2 分別為17 和16 的fNN1模型精度相當，優于隱藏層1 和2 分別為15和10 的fNN1模型，略差于隱藏層1 和2 分別為20和15 的fNN1模型。在網絡結構大小方面，隱藏層1 和2 分別為17 和16 的fNN1的乘法量達到了473，是本文方法的1.58 倍；隱藏層1 和2 分別為20 和15 的fNN1的乘法量達到了525，是本文方法的1.75 倍，可知本文方法的網絡結構遠小于此兩者。說明利用3 個網絡分別預測落點3 個分量有利于提高預測精度，降低網絡結構大小。

圖17 不同網絡模型的E3σ 箱線圖Fig.17 Boxplot of E3σ for different network models

3.3.3 IDP-LM 算法有效性

LM 優化器收斂速度快、訓練效果好，但顯存需求量大，因此，在樣本數量大且網絡結構大的學習場景下，往往面臨顯存不足的問題；同時，在單個GPU 上的訓練耗時較長。為驗證本文建立的IDP-LM 優化器對顯存需求和并行計算上的優勢，以本文中出現的5 個不同網絡模型為驗證對象，統計各模型訓練的顯存占用量和訓練耗時如表5 所示。

表5 訓練耗時和顯存占用量Table 5 Training runtime and GPU memory consumption

表5 給出了不同模型在單個GPU 上訓練以及采用IDP-LM 優化器在2 個GPU 上各訓練10 次的平均耗時，其中，每次均訓練1 000 代。可以看出，當網絡結構較大時，采用IDP-LM 優化器能夠顯著降低訓練耗時，如fNN1模型隱藏層1和2 分別為20 和15 時，訓練耗時降低率高達49.18%，即相比于傳統LM 優化器而言可以降低一半的訓練耗時；而對于網絡結構較小的模型而言，采用IDP-LM 優化器能夠降低耗時，但效果不太明顯，如模型隱藏層1 和2 分別為5和2 時，耗時降低率僅為32.3%。其主要原因是，IDP-LM 優化器在多個GPU 間存在一定的通信損耗，同時，由步驟4 和步驟5 可知，需要在GPU1 上進行串行計算。由于該部分耗時很小，因此，在網絡結構較大時，占總耗時比例很小；而在網絡結構較小時，其耗時所占比重有所增加。由此可知，針對網絡結構較大的落點預測模型訓練而言，能夠有效降低訓練耗時。

表5 給出了不同模型在單個GPU 上訓練以及采用IDP-LM 優化器在2 個GPU 上訓練的顯存占用情況。可以看出，在GPU 數量一定的情況下，?1=?2=1 對應的顯存占用量大于?1=?2=2；在?1和?2一定的情況下，單個GPU 訓練對應的顯存占用量大于2 個GPU 訓練對應的顯存占用量。同時，由于Pytorch 深度學習框架自身占用一定的顯存，因此，對于網絡結構較小的模型訓練而言，采用IDP-LM 優化器后顯存占用降低不太明顯；而對于網絡結構較大的模型訓練而言，IDP-LM 優化器在降低顯存占用方面作用明顯。

3.4 算法復雜度

3.2 節初步給出了網絡結構大小的初步衡量方法，但是難以衡量激活函數個數不同且乘法量不同模型的網絡結構大小。因此，為更精確地衡量網絡結構大小，同時檢驗落點預測算法的實時性，以STM32F407 單片機為實驗平臺，對本文算法和文獻［5］算法的CPU 耗時進行了測試，其中，單片機運算數據類型為double，網絡結構分別如表2 和表3 所示。表6 給出了單次預測總耗時、神經網絡模型耗時、橢圓彈道預測耗時以及其他耗時（神經網絡模型輸入輸出數據處理耗時等）。

表6 不同模型計算耗時Table 6 Runtime of different models

由表6 可得，本文方法的預測總耗時比文獻［5］方法的預測總耗時少0.41 ms。其中，橢圓彈道預測耗時為0.634 ms，占總耗時的24.53%，該部分耗時不受網絡結構大小的影響；神經網絡模型耗時為1.250 ms，占總耗時的48.36%。由3.2 節可知，表2 和表3 給出的網絡結構對應的落點預測精度相當，但本文方法的神經網絡耗時相比于文獻［5］的神經網絡耗時少1.049 ms，降低了45.6%。由此可得，本文預測模型能夠降低預測耗時，提高模型的實時性；同時，由于神經網絡預測模型的計算復雜度隨著初始飛行狀態范圍的變大而增加，而橢圓彈道預測模型的計算復雜度基本穩定，因此，在大范圍飛行狀態的預測問題中，本文方法具有更大的優勢。

4 結 論

針對彈道導彈大機動突防后的制導方法設計面臨的落點預測需求，建立了一種神經網絡學習橢圓彈道落點預測偏差模型，在一定程度上為該問題的解決提供了較好的參考，具體內容總結如下：

1）建立了一種基于神經網絡的彈道導彈落點預測模型。該模型以橢圓彈道落點預測偏差為輸出，相比于直接以落點坐標為輸出而言，網絡結構大幅減小，同時，制導方法誤差評價范圍內的預測精度較高，3σ預測誤差為4.97 m，實現了小網絡模型對大范圍飛行狀態對應落點的預測。

2）為降低神經網絡訓練對顯存需求量以及縮短訓練時間，采用分塊矩陣運算法則對LM 算法進行了改進，在并行學習策略設計的基礎上，建立了一種IDP-LM 優化器。采用該二階優化器進行訓練后，訓練耗時縮短約49.18%，且在一定程度上避免了顯存不足問題的出現。

3）以STM32F407 單片機為實驗平臺，對預測算法復雜度進行了檢驗，仿真結果表明，預測實時性好，預測耗時為2.585 ms，其中，神經網絡耗時為1.250 ms，橢圓彈道預測耗時為0.634 ms，其他耗時為0.696 ms。同時，本文方法在大范圍飛行狀態的預測問題中具有較大的潛力。

需要指出的是，本文僅考慮了對落點影響最大的J2項攝動和再入阻力因素，實際上，擾動引力、日月引力、太陽光壓等因素對落點也有一定的影響。而考慮這些因素后，樣本空間將成倍增加，對網絡模型設計和訓練方法提出了更高的要求。在本文建立的神經網絡模型和IDP-LM 優化器的基礎上，進一步研究針對上述落點影響因素的修正網絡，將有助于提高工程應用性。