轉(zhuǎn)化思維在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的有效運(yùn)用

☉善忠學(xué)

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，對(duì)于一些復(fù)雜問題運(yùn)用常規(guī)解法，學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)解題效率不高、解題過程繁瑣、解題結(jié)果準(zhǔn)確性無法保證的問題，更有甚者會(huì)陷入思維困境，無法順利完成問題解答。針對(duì)這一客觀問題，數(shù)學(xué)教師應(yīng)如何引導(dǎo)學(xué)生高效率、高質(zhì)量地解決問題呢？筆者認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化思維十分必要。在解題時(shí)應(yīng)用轉(zhuǎn)化思維能將復(fù)雜問題簡單化，困難問題容易化，未知條件已知化，啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)化思路去解決問題，保證問題高效解決，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、在計(jì)算問題中運(yùn)用轉(zhuǎn)化思維

計(jì)算是數(shù)學(xué)課程的主要構(gòu)成內(nèi)容，貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程。計(jì)算能力是學(xué)生必備的一項(xiàng)基本能力。有些學(xué)生雖然掌握了計(jì)算法則，但是缺乏良好的解題思維，在計(jì)算問題中仍然會(huì)陷入解題僵局。為了提高學(xué)生的計(jì)算能力，教師要加強(qiáng)培養(yǎng)其轉(zhuǎn)化思維，引導(dǎo)學(xué)生在解答復(fù)雜的計(jì)算題時(shí)靈活轉(zhuǎn)化，逐步形成運(yùn)用轉(zhuǎn)化思維解決計(jì)算問題的習(xí)慣，做到化繁為簡，準(zhǔn)確解答，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算定律、計(jì)算法則的掌握，提高思維活力［1］。在計(jì)算題目轉(zhuǎn)化時(shí)，應(yīng)啟發(fā)學(xué)生仔細(xì)觀察，善于發(fā)現(xiàn)算式規(guī)律，基于其中規(guī)律切入轉(zhuǎn)化思維，合理轉(zhuǎn)化算式并組織高效解題。

以人教版五年級(jí)《小數(shù)除法》為例，前期數(shù)學(xué)課上已學(xué)習(xí)了小數(shù)加減法、小數(shù)乘法，學(xué)完小數(shù)除法便可進(jìn)行小數(shù)四則混合運(yùn)算。因此，在培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力的目標(biāo)下，教師需根據(jù)小數(shù)混合運(yùn)算的算法組織學(xué)生進(jìn)行計(jì)算練習(xí)，利用簡單的計(jì)算題積累經(jīng)驗(yàn)，利用復(fù)雜的計(jì)算題培養(yǎng)轉(zhuǎn)化思維。

【例題】計(jì)算：15.32×28+153.2×2.5+1.532×360 ＝

【解題思路】這個(gè)算式表面看起來十分復(fù)雜，但只要細(xì)心觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間隱含的規(guī)律。倘若學(xué)生按照常規(guī)算法先乘除后加減，一一計(jì)算“15.32×28”“153.2×2.5”“1.532×360”的積，再把各項(xiàng)積相加，計(jì)算過程必然會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間且容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。此時(shí)，教師需啟發(fā)學(xué)生探索簡便算法，先引導(dǎo)他們觀察算式，有些學(xué)生迅速發(fā)現(xiàn)了數(shù)字15.32、153.2、1.532 存在的規(guī)律，以此為切入點(diǎn)進(jìn)行算式轉(zhuǎn)化，即：

15.32×28 + 153.2×2.5 +1.532×360

＝15.32×28+15.32×10×2.5+15.32×0.1×360

＝15.32×28 + 15.32×25+15.32×36

此算式將153.2 寫成15.32×10，將1.532 寫成15.32×0.1，再根據(jù)乘法結(jié)合律讓2.5×10 ＝25，讓360×0.1 ＝36，通過算式轉(zhuǎn)化，復(fù)雜的計(jì)算題變得有規(guī)律可循，根據(jù)乘法分配律便可快速計(jì)算，即：15.32×28 + 15.32×25+15.32×36 ＝15.32×（28+25+36）＝15.32×89 ＝1363.48。

顯然，轉(zhuǎn)化后的計(jì)算過程簡潔明了，學(xué)生無需再費(fèi)勁進(jìn)行先乘法后加法，打開了解決計(jì)算問題的新思路，培養(yǎng)了他們認(rèn)真讀題、析題的習(xí)慣，且有助于提高其轉(zhuǎn)化意識(shí)，培養(yǎng)解題思維。

二、在幾何問題中運(yùn)用轉(zhuǎn)化思維

《圖形與幾何》是小學(xué)數(shù)學(xué)課程又一項(xiàng)關(guān)鍵內(nèi)容，這部分內(nèi)容的抽象性更為顯著，解決此類問題極為考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。正因?yàn)槿绱耍瑤缀沃R(shí)也是眾多小學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，或因?yàn)楦拍睢⒐嚼斫獠坏轿粚?dǎo)致基礎(chǔ)不扎實(shí)，或因?yàn)槿狈臻g觀念與邏輯思維導(dǎo)致解題過程頻頻出錯(cuò)。總之，提高幾何問題解題質(zhì)量尤為重要。教師需在日常解題教學(xué)中融入培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化思維的目標(biāo)，有目的地創(chuàng)新教學(xué)方式，積極滲透數(shù)學(xué)思想方法，合理運(yùn)用教學(xué)工具，如多媒體、幾何模型等，將抽象的幾何問題具象化、動(dòng)態(tài)化，讓學(xué)生直觀感受圖形變化的過程，進(jìn)而將一些未知問題轉(zhuǎn)化為已知條件，確定突破口解決問題［2］。通過應(yīng)用此方法，不但能鍛煉學(xué)生的空間觀念，使其學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化圖形，而且可以滲透數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生突破幾何問題解答障礙，提高解題效率。

以人教版五年級(jí)上冊(cè)《多邊形的面積》為例，常見題型為求陰影部分的面積，有些題目中陰影部分為不規(guī)則圖形，面對(duì)這類題型就需要應(yīng)用轉(zhuǎn)化思維，將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，根據(jù)已知條件求解陰影部分的面積。

【例題】如圖1，大正方形的邊長是10cm，小正方形的邊長是6cm，求陰影部分的面積。

【解題思路】通過觀察組合圖形可以看出，陰影部分是個(gè)不規(guī)則圖形，有些學(xué)生面對(duì)不規(guī)則圖形直接犯了難，而有些學(xué)生則采取了如下方法：

第一步，計(jì)算大正方形面積與小正方形面積之和：10×10+6×6 ＝136（平方厘米）；

第二步：計(jì)算非陰影部分兩個(gè)三角形的面積之和：10×10÷2 ＝50（平方厘米），（10 + 6）×6÷2 ＝48（平方厘米），50+48 ＝98（平方厘米）；

第三步：用兩個(gè)正方形面積之和減去兩個(gè)三角形面積之和得出陰影部分面積：136-98 ＝38（平方厘米）。

這種解題思路十分正確，但解題過程相對(duì)復(fù)雜。教師先對(duì)學(xué)生的解題思路做出肯定，緊接著進(jìn)行生成性引導(dǎo)：“同學(xué)們，你們有沒有發(fā)現(xiàn)，這種解題過程十分繁瑣，我們能不能直接求出陰影部分的面積？”利用此問題啟發(fā)學(xué)生的解題思維，引導(dǎo)他們展開新的探索，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思維將題目中的不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，即添加一條輔助線，把陰影部分分成兩個(gè)三角形，如圖2所示：

針對(duì)以上轉(zhuǎn)化過程，教師可以利用多媒體進(jìn)行動(dòng)態(tài)分割演示，形成圖3 和圖4 兩個(gè)三角形，圖3 三角形的底為（10-6）cm，圖4 三角形的底和高都是6cm，分別求出兩個(gè)三角形的面積再相加便可直接得出陰影部分的面積，即：（10-6）×10÷2 ＝20（平方厘米），6×6÷2 ＝18（平方厘米），20+18 ＝38（平方厘米）。

此幾何問題解題過程應(yīng)用了轉(zhuǎn)化思維，采用分割法進(jìn)行不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化，將一個(gè)不規(guī)則圖形通過添加輔助線分割為兩個(gè)規(guī)則的三角形，按照三角形面積計(jì)算公式快速計(jì)算，簡化了計(jì)算過程，也規(guī)避了解題過程的失誤。

三、在植樹問題中運(yùn)用轉(zhuǎn)化思維

植樹問題是小學(xué)數(shù)學(xué)的主要題型之一，與之相似的還有木頭問題、爬樓梯問題及敲鐘問題，這些題型的解題思路大致相同，學(xué)生學(xué)會(huì)解決植樹問題，便能很好地運(yùn)用同一種解題思路去解答其他問題。在植樹問題解題教學(xué)中，教師往往會(huì)引導(dǎo)學(xué)生采取化歸方法解答此類問題，根據(jù)不同題型總結(jié)相對(duì)應(yīng)的解題方法，學(xué)生在解題時(shí)套用公式即可。但是，根據(jù)學(xué)生解答此類問題的實(shí)際結(jié)果來看，各種各樣的問題層出不窮，有些學(xué)生無法準(zhǔn)確判斷到底求的是樹的數(shù)量還是樹的間隔，導(dǎo)致公式套用受阻；有些學(xué)生缺乏變通思維，只會(huì)原原本本地套用公式，題目稍作變動(dòng)便不能準(zhǔn)確解題。面對(duì)此客觀現(xiàn)狀，促使學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思維進(jìn)行題目轉(zhuǎn)化十分必要。

在植樹問題教學(xué)時(shí)，教師先選擇不同類型的題目組織學(xué)生實(shí)踐練習(xí)，通過對(duì)比與解答樹與間隔二者之間的關(guān)系，分析不同題型之間的異同點(diǎn)，以此作為轉(zhuǎn)化思維的切入點(diǎn)。隨后組織探究學(xué)習(xí)，分析樹與間隔之間靈活轉(zhuǎn)化的條件，并利用例題反復(fù)演示，讓學(xué)生自主完成樹與間隔的合理轉(zhuǎn)化，梳理出“樹比間隔多1”的規(guī)律，進(jìn)而明確題目到底是求樹的棵數(shù)還是求間隔數(shù)。通過思維轉(zhuǎn)化，逐步形成一個(gè)清晰的解題思路，即：求樹的數(shù)量在間隔數(shù)上加1，求間隔數(shù)則在樹的數(shù)量上減1。這個(gè)思路適用于各種植樹問題的題型，便于學(xué)生記憶和解題。教師還可舉一反三，讓學(xué)生合理轉(zhuǎn)化木頭問題、爬樓梯問題、敲鐘問題，形成解題思路，掌握解題方法。

【例題】（1）馬路一側(cè)有23根電線桿，每兩根電線桿中間有一棵樹。一共有多少棵樹？（2）假如每兩棵樹中間有一根電線桿，一共有多少棵樹？

【解題思路】此題目為常見的植樹題型，倘若采用常規(guī)方法，學(xué)生需判斷題目類型，確定題目求解的是什么，再選擇解題方法去解答問題。在解題過程中，有意識(shí)地啟發(fā)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思維，使其知道第一個(gè)問題看似求樹的數(shù)量，其實(shí)是求電線桿間隔數(shù)；第二個(gè)問題中電線桿的數(shù)量＝間隔數(shù)，再根據(jù)間隔數(shù)求樹的數(shù)量。通過樹與間隔巧妙轉(zhuǎn)化，學(xué)生可以利用“樹比間隔多1”的思路依次解題，解題思路簡潔清晰，解題過程不再繞來繞去，不但能快速得出結(jié)果，而且可以強(qiáng)化學(xué)生解答植樹問題的能力。

四、在方程問題中運(yùn)用轉(zhuǎn)化思維

小學(xué)高年級(jí)開始學(xué)習(xí)方程知識(shí)，即要求學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用方程思維去解答應(yīng)用題。解答方程問題一般需要從題目中確定等量關(guān)系與未知量，通過設(shè)未知量的方法構(gòu)建方程式，再進(jìn)行解方程。對(duì)于數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)薄弱的小學(xué)生而言，尋找等量關(guān)系存在一定難度，學(xué)生需要聯(lián)系所學(xué)概念、公式及題目已知條件確定等量關(guān)系，假設(shè)未知量，這個(gè)過程相對(duì)復(fù)雜［3］。那么，在方程問題教學(xué)時(shí)，必須注重轉(zhuǎn)化思維的滲透，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從未知條件中探尋等量關(guān)系，準(zhǔn)確假設(shè)未知量，進(jìn)而構(gòu)建方程式并求解方程。

【例題】甲、乙兩車從相距272 千米的兩地同時(shí)相向而行，3小時(shí)后兩車還相隔17 千米。甲每小時(shí)行45 千米，乙每小時(shí)行多少千米？

【解題思路】此題型為簡單的行程問題，解答本題主要依據(jù)為“速度＝路程÷時(shí)間”等量關(guān)系式。部分學(xué)生采用常規(guī)計(jì)算方法進(jìn)行解題。

【學(xué)生1】解題思路：根據(jù)行駛的路程＝總路程-17 千米，求出兩車行駛的路程，再計(jì)算甲車3 小時(shí)行駛的路程，用兩車行駛的路程減去甲車行駛的路程就是乙車行駛的路程，最后依據(jù)“速度＝路程÷時(shí)間”，用乙車行駛的路程除以3 就是乙車的時(shí)速。

列式：272-17 ＝255（千米）

甲行：45×3 ＝135（千米），乙行：255-135 ＝120（千米）

乙時(shí)速：120÷3 ＝40（千米）

答：乙車每小時(shí)行40 千米。

【學(xué)生2】解題思路：根據(jù)行駛的路程＝總路程-17 千米，求出兩車行駛的路程，再依據(jù)“速度＝路程÷時(shí)間”，求出兩車的速度和，最后減甲車的速度即可求出乙車的時(shí)速。

列式：（272-17）÷3-45

＝255÷3-45

＝85-45

＝40（千米）

答：乙車每小時(shí)行40 千米。

上述兩種方法均運(yùn)用算術(shù)思維分析各數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，解題思路正確，但對(duì)于小學(xué)高年級(jí)學(xué)生而言，解答應(yīng)用題理應(yīng)從算術(shù)思維轉(zhuǎn)化到方程思維，根據(jù)找等量關(guān)系的思路列方程求解。因此，教師可引導(dǎo)學(xué)生找出題目中的等量關(guān)系，將“速度＝路程÷時(shí)間”的等量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為“時(shí)間×速度＝路程”，將乙車的時(shí)速設(shè)為未知量，則可把題目中的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化。如此，根據(jù)題目確定等量關(guān)系，再把等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，解題過程簡單，根據(jù)方程按步驟求解，順利得出未知量，實(shí)現(xiàn)了解題目的。通過這種有意識(shí)的轉(zhuǎn)化引導(dǎo)，讓學(xué)生形成方程意識(shí)，在解題時(shí)學(xué)會(huì)列方程求解。

五、結(jié)束語

轉(zhuǎn)化思維是解決數(shù)學(xué)問題的必備思維，體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素質(zhì)，既能加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，又能促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法的合理運(yùn)用。教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并在解題中引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思維，通過轉(zhuǎn)化題目、轉(zhuǎn)化解題思路，確保解題的效率和正確性，真正做到高效準(zhǔn)確解題。