壓電雙材料反平面問題的界面裂紋分析*

梅 杰 李 楊 李立杰 陳定方 宋 鋼

武漢理工大學交通與物流工程學院 武漢 430063

0 引言

壓電材料具有機電耦合性，即力載荷可引起材料變形，進而引起電場的改變，同時電場也會引起變形使應力和裂紋尖端撕開位移發生改變，這種特性使其在現代工程中具有廣闊的應用前景。研究表明，在多層壓電元件中，由于界面處材料成分和性質的突變，常常導致界面處應力集中，使界面處出現開裂或蠕變現象，從而大大縮短了壓電元件的使用壽命[1]。界面裂紋開始擴展的應力強度因子臨界值小于相應的2 種單材料臨界值，在相同的臨界值作用下，界面裂紋的擴展速率高于相應2種單材料的擴展速率。由此可見，界面是一個較薄弱的環節，與界面處的雜質、孔洞等缺陷存在一致，這些缺陷對界面疲勞性能的弱化有很大影響。

壓電材料的研究多集中在單壓電材料斷裂和裂紋尖端場的各類強度因子，而對壓電雙材料的界面損傷研究較少，對正交各向異性壓電雙材料的界面端裂紋應力分析則更少，故研究壓電雙材料界面裂紋意義重大。Wang X 等[2，3]研究了面外機械載荷作用下2 種不同壓電材料界面上的導電裂紋，發現了裂紋尖端的振蕩平方根奇異性，同時定義了一個復雜的電彈場濃度矢量以表征裂紋尖端附近的奇異場，并導出了能量釋放率的簡單表達式；Pak Y E[4]對壓電雙材料中動態擴展裂紋的近尖端應力和電位移場進行了解析求解，推導了裂紋張開位移和電位跳躍關于應力和電位移強度因子的顯式表達式，導出了壓電雙材料中的界面裂紋與路徑無關的分離動態J 積分；Choi S R 等[5，6]考慮了在機電載荷作用下2 個不同的橫觀各向同性壓電材料之間的3 個共線界面裂紋問題，得到了應力強度和電位移強度因子的閉式解；Gherrous M等[7]分析了反平面機械載荷和平面內電載荷作用下的半無限大雙壓電雙材料反平面界面三階Griffith 裂紋問題，利用傅立葉變換法，將壓電方程轉化為奇異積分方程組，并用切比雪夫多項式進行數值求解，得到應力強度因子和電位移強度因子，并分析了材料參數對裂紋的影響；Lapusta Y 等[8]分析了雙材料在反平面機械和平面內電載荷作用下的界面裂紋，導出了裂紋面的剪應力、電場和機械位移跳躍的簡單解析表達式，發現了剪切應力、電場和電位移跳躍的奇異點，其強度因子也被確定；Onopriienko O 等[9]考慮了在面外機械載荷和面內電場作用下裂紋面處具有多種邊界條件的裂紋，得到了壓電材料界面在反平面機械和平面電載荷作用下導電裂紋的鍵區模型。目前，尚未有關于含界面裂紋的半無限壓電雙材料結構的電彈性行為的主要工作。

本文研究了含界面邊裂紋的壓電雙材料在2 種組合機電載荷電場作用下壓電雙材料界面裂紋的擴展情況。利用邊界配置法，求出了壓電介質為橫觀各向同性的壓電雙材料的應力強度因子和能量釋放率的表達式，并從材料屬性、邊界條件和邊界配置法3 個方面分析了影響應力強度因子和能量釋放率的因素。相比Nishioka T 等[10]導出的J 積分，本文得到了界面裂紋擴展的應力強度因子和能量釋放率；文獻[7]～文獻[9]只給出了應變、電場、應力和電位移中部分表達式，本文得到了應變、電場、應力和電位移的解析表達式；界面模式Ⅲ裂紋在半平面結構(2 種不同厚度的粘結壓電材料在力—電載荷作用下)的情況尚未研究。

1 正交同性反平面問題的基本方程

對于反平面問題，位移和電場強度分量為

控制微分方程為

式中：c44為彈性常數，e15為壓電常數，Y11為介電常數，φ為電勢，2為拉普拉斯算子。

對于一般的壓電材料，存在以下關系

將式（3）帶入式（2）可得

應變和電場強度分量為

本構方程為

正交異性壓電雙材料板反平面界面端裂紋如圖 1，xoy平面為正交同性界面；C44[1]、e15[1]、Y11[1]為壓電介質Ⅰ的材料常數，C44[2]、e15[2]、Y11[2]為壓電介質Ⅱ的材料常數；在界面上預設了一道邊裂紋，a為裂紋長度，b為材料長度，h為材料厚度。

圖1 為含邊裂紋壓電雙材料裂紋擴展模型。情況1為模型受到剪應力τyz＝τ0和面內電載荷D0作用；情況2 為模型受到剪切位移γyz＝γ0和面內電載荷D0作用。x軸沿界面方向，z軸為壓電材料的極化方向。在此，先分析情況1，得邊界條件為

圖1 正交同性壓電雙材料板

當θ＝±π 時

當θ＝0 時

當x＝-a或x＝b-a，∣y∣≤h時

2 橫觀各向同性反平面問題的解

在式中，i取1、2，分別表示壓電材質Ⅰ、電材質Ⅱ。若要使位移和電勢滿足式（4），則位移和電勢應為

式中：Ain、Bin、Cin、Din分別為待定常數，由具體問題的邊界條件確定；λin為特征值，由裂紋面的邊界條件和界面處的連續條件來確定。

設uz(r，θ)＝H(r)J(θ)′，φz(r，θ)＝K(r)L(θ)，則式（4）可表示為

在極坐標系下，拉普拉斯算子為

將式(11)帶入式(10)得

將uz(r，θ)＝H(r)J(θ)′、φz(r，θ)＝K(r)L(θ)帶入式(12)得

由于2 個方程相同，下面以推導其中一個為例，由式(13)的上半式兩邊同時除以可得

令式（14）等于λi得方程組為

進而通解為

由式(15)得

式(17)為歐拉方程，經歐拉公式推導可得

當r→0 時，，故Nn＝0，可得

將式（16）、式（19）帶入uz(r，θ)得

其中

由此，式(20)可進一步寫為

同理

將uz（r，θ）和φz（r，θ）分別對y求導得

由式（29）～式（31）解得

考慮到反平面問題，式（33）中略去了對稱項，故界面裂紋在壓電介質Ⅰ中可得

介質Ⅰ中的應變和電場強度表達式為

介質Ⅰ中的應力和電位移表達式為

在裂紋尖端附近，第一項為主項，其余各項可忽略不計。令K1τ為介質Ⅰ中的應力強度因子，即有

同理，類似的結果也可對壓電介質Ⅱ寫出。由式（37）可知，在裂尖處應力具有 1/2 階的奇異性，介質Ⅰ、介質Ⅱ的應力強度因子相同，與文獻[11]的結論一致。在此基礎上，本文進行了應力強度因子和能量釋放率研究，從多方面分析了影響應力強度因子和能量釋放率的因素。

用YⅢ表示無量綱的Ⅲ型應力強度因子，即YⅢ＝Kτ/K0，其中。

由此可知邊界條件式（7a）、式（7b）與平衡方程均已滿足，只有加載條件與式（7c）為滿足；可用邊界配置法進行求解，從而確定系數通過求出應力強度因子。采用邊界配置法求解壓電材料的應力強度因子。

同理，在第2 種加載情況下，裂紋尖端附近，第1項為主項，其余各項可忽略不計。令Kiγ（i＝1，2）是介質Ⅰ和介質Ⅱ中的應變強度因子，即

能量釋放率G可表示為

進而，繼續采用邊界配置法求出k1(1)、k1(2)、a1(1)和a1(2)。

如圖1 所示，左右、上下半邊界的配點數為N1，上下邊界的配點數為N2。基本解中的級數取前M項，在一個點上可得到2 個含有2M個未知數的方程；如果2N1+N2的個數與M相等，則可求出2M個未知數。但是，為了避免奇異矩陣或病態矩陣，通常2N1+N2的個數大于M的個數，求最小二乘解。

3 配點數和冪級數個數對應力強度因子和能量釋放率的影響

3.1 配點個數的影響

考慮應力強度因子和能量釋放率與配點個數N1、N2的變化關系，在第1 種加載情況下的取比值a/b＝0.3，h/b＝0.1，冪級數項數M＝30，τ0＝4.2×106Pa，配點個數2N1+N2由5 變化到60，結果如圖2 所示。

圖2 配點個數與應力強度因子的關系

考慮能量釋放率G與配點個數N1、N2的變化關系，取比值a/b＝0.05，h/b＝1，冪級數項數M＝25，γ0＝6.2×10-5，D0＝5×10-3C/m2，配點個數2N1+N2由5 變化到50，結果如圖3 所示。

圖3 配點個數與能量釋放率的關系

由圖2 可知，在第1 種加載情況下，當a/b＝0.05、h/b＝1、冪級數項數M＝25 不變時，邊界配點數為5 ～15 時的應力強度因子隨邊界配點個數的增加從1.326 7 減小到1.311 8；在配點數為20 時應力強度因子增加到1.338 5；在配點數為20 ～35 時，值逐漸減小到1.326 5；當配點數為35 ～60 時，應力強度因子的值基本維持在1.326 5 左右，只有小數點后的三四位在變化。在第2 種加載情況下，當a/b＝0.05，h/b＝1，冪級數項數M＝25，在圖3 中能量釋放率從配點數為15 時的12.425 4 逐步減小到配點數為30 時的9.078 2；當配點數為30 ～60 時，能量釋放率的值基本維持在9.078 2 左右。當N1、N2足夠大時，應力強度因子和能量釋放率的值基本上不隨配點數的改變而變化，說明在邊界配點數足夠多時其對應力強度因子和能量釋放率的影響不大。

3.2 冪級數項數M 的影響

考慮第1 種加載情況下應力強度因子YⅢ與冪級數項數M的變化關系。取比值a/b＝0.3，h/b＝0.1,τ0＝4.2×106Pa，左右兩邊配點數N1＝20，上邊界上的配點個數為N2＝40，冪級數項數M由15 變化到60，可得圖4 所示關系。

圖4 冪級數項數M 與應力強度因子的關系

考慮能量釋放率與冪級數項數M的變化關系。取比值a/b＝0.05，h/b＝1，冪級數項數M＝25，γ0＝6.2×10-5，D0＝5×10-3C/m2，左右兩邊配點數N1＝20，上邊界上的配點個數為N2＝40，冪級數項數M由5 變化到60，可得圖5 所示關系。

圖5 冪級數項數M 與能量釋放率的關系

由圖4 可知，在第1 種加載情況下，當a/b＝0.3、h/b＝0.1、配點數N1＝20 不變、冪級數項數M在一定范圍內變化時，應力強度因子YⅢ的值變化最大幅度為0.013 0，基本不發生變化；當點數較少、應力強度因子出現波動情況、M＝15 ～17 時，應力強度因子增加；當M＝17 ～33 時，應力強度因子持續減小，值到達1.344 9；當M＝33 ～60 時，應力強度因子穩定在1.344 9。由圖10可知，在第2種加載情況下，當a:b:h＝1:50:50、a＝0.01 m、配點數N1＝20 不變、冪級數項數M在一定范圍內變化時，能量釋放率的值由大到小；當冪級數項數較少時，能量釋放率的值較大，隨冪級數項數的增加值逐漸減小并趨于穩定，這與應力強度因子類似；當冪級數項數增加到22 時，能量釋放率的值趨于穩定。

如前所述，邊界配置法的收斂性和穩定性是有價值和參考意義的，與文獻[12]結論相似。由此，第1 種加載情況下的配點數取30，冪級數項數取33；第2 種加載情況下的配點數取35，冪級數項數取22。

4 應力強度因子的影響因素

4.1 a/b 和h/b 對應力強度因子的影響

壓電材料Ⅰ、Ⅱ分別采用PZT-6B、PZT-5H 壓電陶瓷，材料常數如表1 所示[13]。

表1 壓電陶瓷的材料參數

得到τ0＝4.2×106Pa 時不同a/b和h/b條件下的Ⅲ型應力強度因子，如圖6 所示。

圖6 應力強度因子YⅢ在不同a/b 和h/b 條件的值

在圖6 中，曲線趨勢與文獻[14]、文獻[15] 對普通材料的分析結果類似。在4 種不同h/b值下，應力強度因子都隨著a/b的值增加而增大；4 種h/b比值中，h/b＝0.1 時的應力強度因子最大，h/b＝1 時的應力強度因子最小；在a/b值為0.1、0.9 時，4 種不同h/b的壓電雙材料尖端應力強度因子差值最小，數值最接近。h/b＝0.1 應力強度因子的變化趨勢與其他3 種不同，其他3 種h/b在a/b小于0.7 時的應力強度因子均緩慢增長，且數值較小；當a/b大于0.7時，應力強度因子開始快速增加，而當h/b＝0.1 時，應力強度因子增長速度比其他3 種變化較小；當長度b一定、材料高度h減小時，應力強度因子增加，但高度h的減小對應力強度因子的增加作用大于長度b的增大。

4.2 電位移D0 對應力強度因子的影響

圖7 為τ0＝4.2×106Pa、a/b＝0.3 時，不同h/b值的YⅢ隨外加電位移D0的變化關系圖。本文采用邊界配置法分析了矩形橫觀各向同性壓電雙材料界面裂紋在反平面剪切載荷和平面內電載荷作用下的電彈性問題，將線彈性斷裂力學的傳統概念擴展到壓電效應，并將結果通過應力強度因子表示出來。由圖7 可知，應力強度因子在恒定應力載荷作用下不受電載荷影響，與電位移無關，但受到材料厚度與長度比的影響，厚度比越小，應力強度因子越大。

圖7 應力強度因子與電位移D0

5 影響能量釋放率的因素

5.1 電位移D0 對能量釋放率的影響

圖8 為反平面載荷為剪切力時，取不同h/b值的G/Gcr隨外加電位移 的變化關系。圖9 為反平面載荷為剪切應變時，取γ0＝6.2×10-5、a:b:h＝1:50:50、a＝0.01 m，不同冪級數項數計算出的G/Gcr隨外加電位移D0的變化關系圖。

圖8 反平面載荷為剪切力時能量釋放率G 與D0 的關系

圖9 反平面載荷為剪切應變時能量釋放率G 與D0 的關系

由圖8 可知，在第1 種加載情況下，能量釋放率G與D0無關，與外加剪切載荷τ0有關,且τ0越大能量釋放率越大；由式（37）可知k1(1)和k1(2)的大小與D0無關；由式（38）、式（39）可知，K1γ、K2γ僅與t1k1(1)、t2k1(2)有關，而與D0無關；結合式（37）～式（39）可得到能量釋放率G與D0無關。由此，在第1 種加載情況下，能量釋放率G只與外加剪切載荷τ0有關而與電位移D0無關；第2 種加載情況下能量釋放率G與外加剪切應變γ0和電位移D0有關；G/Gcr總為正值，零點在外加電位移D0等于零的位置，與文獻[16]結論一致，但與文獻[17]的不同。文獻[17]采用不可滲透條件，得出第1 種加載情況下的能量釋放率G與D0有關，且可取負值。

5.2 彈性模量對能量釋放率的影響

本文控制PZT-5H 的參數不變，對PZT-6B 的彈性模量進行改變，取PZT-6B 的彈性模量彈性分別為25 GPa、30 GPa、35 GPa、40 GPa、45 GPa、50 GPa、55 GPa、60 GPa、65 GPa，得到圖10 所示能量釋放率G隨彈性模量的變化。由圖10 可知，能量釋放率G隨材料彈性模量的增大而減小，且能量釋放率減小的幅度降低，減小幅度由C44＝25×109N/m2時的1.2×10-9m2/N 變為C44＝65×109N/m2時的2.52×10-11m2/N，即材料彈性模量的增大能明顯的阻礙裂紋擴展。

圖10 材料彈性模量對能量釋放率G 的影響

6 近年文獻研究分析

表2 給出了2016 年～2022 年參考文獻的研究內容對比，主要進行了載荷類型、材料類型和研究方法的對比。在裂紋形式上，本文與表中文獻都不同，研究的是壓電雙材料的邊裂紋擴展，表中文獻均為中心裂紋，研究方法上采用了較有限元法更簡單的邊界配置法；載荷形式上，分析了2 種多場耦合下的壓電雙材料裂紋擴展，表中論文均只考慮了一種多場耦合條件下的壓電雙材料裂紋擴展。

表2 近年文獻研究內容對比

7 結論

1）在裂尖處，應力具有1/2 階的奇異性；式(37)可看出介質Ⅰ、Ⅱ的應力強度因子是相同的。

2）應力強度因子的大小與材料的尺寸比有關，當材料長度b和材料厚度h不變時，應力強度因子隨著裂紋長度a的增加而增加；當材料長度b和裂紋長度a不變時，應力強度因子隨著材料厚度h的增加而減小。

3）在外加剪切載荷作用下，應力強度因子與外加電場的大小無關，能量釋放率與外加電場的大小無關，但與外加剪切載荷τ0有關；而當外加剪切載荷變為剪切應變時，能量釋放率與外加電場的大小有關，且總為正值，零點約在外加電位移為零處。

4）能量釋放率還與材料的彈性模量有關，能量釋放率隨材料彈性模量的增大而減小，且能量釋放率減小的幅度降低，即材料彈性模量的增大有明顯的止裂作用。冪級數個數和邊界配點數都對邊界配置法的值有影響，當冪級數個數和邊界配點數較少時邊界配置法得出的值與真實值之間存在差距，但隨著冪級數個數和邊界配點的增加，邊界配置法求出的值逐漸趨于穩定，更接近真實情況。