漸進式論證、連鎖型滑坡論證和連鎖悖論的概率分析

邢錕

1 引言

在沃爾頓（D.Walton）的論證型式分類中，漸進式論證（argument from gradualism）是一類常見的但很少得到專門討論的論證，其定義如下：

定義1.1(漸進式論證).令A0,...,An為任意命題。漸進式論證是具有如下形式的論證類型：

前提一：A0。

前提二：對任意0 ≤k ＜n，如果Ak，那么Ak+1。

結論：An。

簡單地說，漸進式論證就是連續(xù)多步無分支的論證：給定命題A0，然后從A0推出A1，從A1推出A2，如此一直推出想要的最終結論An。雖然上面的論證看起來只有兩個前提，但實際上每個條件句都應當被單獨視為一個前提，所以這樣一個論證一共有n+1 個前提，寫在一起只是為了簡潔。定義1.1 參考的是文獻[23]第339 頁論證型式48，作了一些改動。兩個定義的前提一和前提二基本相同，這里只改變了一些符號和文字表述。不過，定義1.1 去掉了沃爾頓論證型式48 中的前提三，因為該前提和本文對漸進式論證的分析無關。如果使用本文的符號，前提三是說“如果A0成立，那么An成立”不能直接地或通過更短的推理得出（被接受）。按照本人的理解，所謂能直接得出（被接受），就是該條件句已經(jīng)被認為是成立的，可以作為前提使用，因此只需一步就能從A0推出結論An，而原來的論證是不需要的；所謂能通過更短的推理得出（被接受），意思是原來的推理過程中有些步驟是多余的，因此可以構造一個更短的（n更小的）論證得出結論An而不改變其論證效果，最典型的例子就是推理過程中出現(xiàn)命題Ai=Ai+j，這時從Ai+1到Ai+j的所有推理步驟都可以去掉。所以，如果前提三不成立，即“如果A0成立，那么An成立”可以直接地或通過更短的推理得出（被接受），那么就可以構造出一個更短的滿足前提三且論證效果相同的論證。這時我們就不需要討論原來的論證，而只討論新的更短的論證。因此，前提三是否成立只影響我們究竟選擇分析哪個論證，而不影響對論證的分析過程。換而言之，我們總是可以假設前提三成立而不影響討論的一般性。漸進式論證在日常生活中很常見，比如我們經(jīng)常會進行類似下面的推理或論證1這些例子中，我把前提一放到前提二的后面，因為感覺這樣更符合語言習慣。：

例1.如果(A0)明天不下雨，(A1)小明就去爬山；如果(A1)小明去爬山，(A2)小王也會去爬山；如果(A2)小王去爬山，(A3)小孫也會去爬山。(A0)明天不下雨。因此，(A3)明天小孫會去爬山。

例2.如果(A0)不好好學習，(A1)小明就不會取得好成績；如果(A1)不取得好成績，(A2) 小明就考不上好大學；如果(A2) 考不上好大學，(A3) 小明就找不到好工作；如果(A3)找不到好工作，(A4)小明就沒有高收入；如果(A4)沒有高收入，(A5)小明將來就不能過體面的生活。(A0)小明不好好學習。因此，(A5)小明將來不能過體面的生活。

當然，更常見的也許是下面這種更簡潔的表述：

例3.如果(A0)陪審團不能克忠職守，做出公正判斷，將導致(A1)罪行不能受到懲罰，罪犯逍遙法外，于是(A2)法律和秩序會崩潰，繼而(A3)造成動亂，最后(A4)整個社會將岌岌可危。(A0)陪審團沒有克忠職守，做出公正判斷。因此，(A4)整個社會將岌岌可危。2這個例子轉(zhuǎn)引自文獻[26]第61-62 頁。原本是滑坡論證的例子，但很容易改成漸進式論證。

邏輯學的核心問題是評價論證的好壞。如何判定這類論證的好壞呢？這類日常論證難以用古典邏輯進行分析，因為我們得出結論時往往不能完全確定前提的真假，或者前提作為某種規(guī)律或規(guī)則總是存在反例因而嚴格來說是假的。比如例1 中，“如果明天不下雨，小明就去爬山”，“如果小明去爬山，小王也會去爬山”等并不能在今天預測小明明天的行為時完全確定其真假。當然，等明天過去了，這些命題的真假就完全確定了，但這時之前的推理已經(jīng)失去了意義，因為這類推理的主要目的在于做出預測。如果非要在明天到來之前作出斷言，我們只能說這些命題都是假的，因為即使明天不下雨，即使之前小明承諾過，也有可能存在其它原因?qū)е滦∶鞑蝗ヅ郎?，比如突然生病了，家里有急事等；由于類似的原因，即使小王答應了小明去爬山，即使他們的關系再好，小王明天也并非百分之百會去爬山。另外兩個例子同樣如此?？傊粘Ｕ撟C中許多命題的真假都具有一定的不確定性。

對于真假不完全確定的命題和包含這類命題的推理，目前主要有兩類分析方法。一類是非單調(diào)理論如非單調(diào)邏輯（nonmonotonic logics，[19]）、缺省邏輯（default logic，[2]）、可廢止推理（defeasible reasoning，[6]，第622-627 頁）等，另一類是概率論和基于概率論的條件句理論（[15,16]）。非單調(diào)理論存在不少困難，比如難以找出全部或大部分反例，難以對規(guī)則進行排序，非單調(diào)規(guī)則本身不能進行推導等。（[15]，第470-473 頁）比如說，例1 中的條件句“如果明天不下雨，小明就去爬山”的反例有哪些呢？我們可以想到一些，但很難將全部或大部分反例找出來。反例不能全都找出來，那么使用非單調(diào)理論進行推理就難以得到期望的結果。另一方面，對很多命題而言，即使找不到反例，我們也不會或不應該相信其一定為真。比如說，某本歷史書告訴我們“秦始皇是呂不韋之子”。因為這個命題不是條件句，不表達某種規(guī)律或規(guī)則，因此很難確定它的反例是什么。3有人可能會說，這里的反例指的是諸如“如果歷史書L 記載了A，則A 成立”之類條件句的反例。然而，這樣的反例很難完全確定下來，因為其它證據(jù)也沒法完全證明這本書的某些記載一定是錯的。而且，即使我們確定了這本歷史書上記載的命題B 一定是錯的，我們能否說它記載的命題C 一定是對的或錯的呢？恐怕都不合適。然而，我們通常不會也不應該因為某本歷史書上這么寫了就完全相信其為真，而如果出現(xiàn)某些反面的證據(jù)我們也不應該完全相信其為假。多數(shù)情況下，我們都缺少足夠的證據(jù)完全確定此類命題的真假。這種不確定性普遍存在，卻難以用非單調(diào)理論來刻畫。基于概率論的理論可以很好地解決這些問題：可以容忍反例，反例不需要都找出來，并且依據(jù)概率的貝葉斯解釋的通行做法，可以用命題成立的概率表示我們對其真假的不確定程度，即命題的可信度（credibility，[16]，第1-3 頁）?；谶@些原因，本文主要采用概率方法刻畫命題真假的不確定性。當然，概率方法也不是沒有問題，有的學者還認為命題真假的不確定程度不能用概率表示，但相關的理由受到其它學者的質(zhì)疑。（[7,17,18]）概率方法和非單調(diào)理論也不是不相容的，因此如果有必要，可以把這兩種方法結合起來，只是本文暫不考慮。實際上，論辯理論中有不少融合二者的研究。（[5,10]）不過，論辯理論的這些研究雖然也使用了概率方法，但它們討論的是多個論辯之間的支持-反駁關系和其中的不確定性，并沒有專門討論過單個論證型式前提和結論的可信度（成立的概率）之間的關系，更沒有單獨討論過漸進式論證。（[5,9-11]）關于概率方法和非單調(diào)理論更詳細的比較可以參見文獻[15]第10 章。

當然，即使知道命題具有不同的可信度，例1-3 中論證的好壞也不容易判定，甚至經(jīng)常會有爭議。原因之一是我們對前提的可信度究竟是多少有分歧。比如說，例1 中“如果明天不下雨，小明就去爬山”的可信度是多少？成立的概率有多高？回答這類問題需要搜集小明的行為數(shù)據(jù)，建立行為模型，然后根據(jù)統(tǒng)計學方法進行計算。這些不屬于邏輯學研究的內(nèi)容。正如古典邏輯討論的主要問題是假設前提都為真時結論是否為真，本文主要討論下面的問題：

(I) 對于漸進式論證，給定前提的可信度，如何計算其結論的可信度？

(II) 如何通過這些計算判定漸進式論證的好壞？

雖然例1-3 中漸進式論證的好壞不容易判斷，但我們很容易判斷下面這個漸進式論證是不好的。4這個例子引自文獻[3]第278 頁。

例4.前提一：只有1 塊錢的人是窮人。

前提二：對任意i ＞0，如果只有i元的人是窮人，那么只有i+1 元的人也是窮人。

結論：只有100 億元的人也是窮人。

之所以這個論證是不好的，是因為(i)它的所有前提（前提一和前提二中的每個條件句）的可信度都很高——接近或等于1，因為只有1 塊錢的人無疑是窮人，而不論一個人已經(jīng)有多少錢，再給他1 塊錢也不會讓他從窮人變成富人；(ii)這個論證的結論極其不可信——其可信度幾乎等于0。于是，我們從非?？尚诺那疤嵊肕P 規(guī)則（modus ponens）推出了極其不可信的結論，因而上面的論證被視為一個悖論，稱為連鎖悖論（sorites paradox，[12]）。

從形式上看，連鎖悖論是一類特殊的漸進式論證。類似的例子還有自古希臘就開始討論的谷堆悖論、禿頭悖論等。（[26]，第65 頁）學者們?yōu)榻鉀Q連鎖悖論提出了多種不同的方法，并認為含義模糊的語詞如“窮人”“谷堆”“禿頭”等的使用是悖論出現(xiàn)的根本原因，因此發(fā)展了多種理論處理語詞的模糊性（vagueness，[12]；[20]，第2 章）。本文的目的是討論更一般的漸進式論證，關于模糊語詞和連鎖悖論的討論將作為本文理論的應用而留到第4 小節(jié)。

很容易發(fā)現(xiàn)，模糊語詞的使用并非漸進式論證成為連鎖悖論的充分條件。

例5.前提一：只有1 塊錢的人是窮人。

前提二：對任意i ＞0，如果只有i元的人是窮人，那么只有i+1 元的人也是窮人。

結論：只有100 元的人是窮人。

上面的論證和連鎖悖論具有完全相同的形式并且同樣使用了“窮人”這一模糊語詞，但它的結論的可信度很高，因而不構成悖論。例4 和例5 的唯一區(qū)別是推理的長度，即推理了多少步。例4 推理了100 億步，得出了一個不可信的結論，而例5 只推理了100 步，得出了一個可信的結論。不過，和漸進式論證形式完全一樣的數(shù)學歸納法，則不論推理了多少步，只要前提正確，結論一定正確。比如下面這個例子：

例6.前提一：1 是實數(shù)。

前提二：對任意i ＞0，如果i是實數(shù)，那么i+1 也是實數(shù)。

結論：n是實數(shù)。

因此，我們可以提出如下問題：

(III) 對于包含模糊語詞的漸進式論證，為何推理的長度會影響結論的可信度？如何影響？

(IV) 為何數(shù)學歸納法中推理的長度不會影響結論的真假？

模糊語詞的使用也并非漸進式論證成為悖論的必要條件。比如5例7 是諺語“明日復明日，明日何其多，我生待明日，萬事成蹉跎”的一種理解。該諺語在文獻[27]中作為滑坡論證進行研究，這里將其改寫成漸進式論證。：

例7.前提一：小明可以從今天開始行動并完成這些任務。

前提二：對任意k ＞0，如果小明可以從k天后開始行動并完成這些任務，那么小明可以從k+1 天后開始行動并完成這些任務。

結論：小明可以從100 萬天后開始行動并完成這些任務。

這個論證的結論顯然是荒謬的、不可信的，因為100 萬天后小明早就去世了，不可能開始行動并完成這些任務。然而，這個論證沒有包含模糊的語詞。當然，有人可能會認為自然語言幾乎所有的詞都是模糊的，只是模糊程度的不同。比如“開始行動”“完成”“這些任務”等都具有模糊性。如果持有這種觀點，我們可以在具體語境下將這些詞替換為更精確的詞，比如在某個語境下，“這些任務”指的是寫完博士論文，“開始行動”指的是動筆寫下博士論文的第一個字，“完成”指的是寫完交給學校的博士論文的最后一個字。我想絕大多數(shù)人都會認為這樣的表述足夠清楚了，至少其模糊程度足夠低從而對推理沒有實質(zhì)影響。當我們做出這樣的修改后，該論證仍然得到不可信的結果。既然如此，那么通過處理模糊性而解決連鎖悖論的方法都無法用于解釋為何上面的論證會得到不可信的結果。而且，在不包含模糊語詞的漸進式論證中，推理的長度同樣會影響結論的可信度。

例8.前提一：小明可以從今天開始行動并完成這些任務。

前提二：對任意k ＞0，如果小明可以從k天后開始行動并完成這些任務，那么小明可以從k+1 天后開始行動并完成這些任務。

結論：小明可以從100 天后開始行動并完成這些任務。

因此，我們需要回答下面的問題：

(V) 不包含模糊語詞的漸進式論證為何也可能得到不可信的結論？推理的長度如何影響結論的可信度？

連鎖悖論（例4）和類似的漸進式論證（例7）通常被歸類為連鎖型滑坡論證（sorites slippery slope arguments），其定義如下6參見文獻[26]，第66-67 頁；[23]，第340-341 頁論證型式51。：

定義1.2(連鎖型滑坡論證).連鎖型滑坡論證是具有如下形式的論證類型：

前提一：A0（a0具有性質(zhì)P）。

前提二：對任意0 ≤k ＜n，如果Ak（ak具有性質(zhì)P），那么Ak+1（ak+1具有性質(zhì)P）。

前提三：一系列肯定前件式子論證，聯(lián)結初始前提和結論，并經(jīng)過一個灰色區(qū)域（gray zone）：因為A0，所以A1，所以A2，...，（灰色區(qū)域），...，所以An-1。

結論：An（an具有性質(zhì)P）。該結論往往是荒唐的或難以接受的。

可以看出，連鎖型滑坡論證是漸進式論證的一種特例：雖然它增加了前提三，并要求An是荒唐的或難以接受的，但前提三以及最后對結論的要求并不改變推理的形式，而只是進一步要求相應的漸進式論證具有某些特殊性質(zhì)：推理過程包含灰色區(qū)域，以及結論不成立或不可接受。7某個命題是否成立和它是否可接受代表了兩類不同的判斷。比如“人類滅亡”是否成立斷言的是某個事實是否發(fā)生了，而“人類滅亡”是否可接受表達了人的一種價值判斷。事實判斷是價值判斷的基礎：如果“人類滅亡”本身不成立或可信度很低，那么談論該結果是否可接受毫無意義。本文主要討論命題是否成立的事實判斷，而不討論其是否可接受的價值判斷。涉及價值判斷的論證留待后續(xù)研究。

連鎖型滑坡論證和其它類型的滑坡論證一起得到了大量研究，其中沃爾頓的理論影響較大。沃爾頓認為，每個滑坡論證中都存在一個灰色區(qū)域Ax,...,Ay；當推理從可控區(qū)域A0,...,Ax到達灰色區(qū)域時，就失去控制從而滑向失控區(qū)域Ay,...,An，并最終得出不可信的結論或不能接受的結果。（[22]，第288-289 頁）

沃爾頓的理論可以解釋為何例4 和例7 會得出不可信的結論，因為其推理經(jīng)過了灰色區(qū)域；也可以解釋為何例5 和例8 不會得出不可信的結論，因為其推理沒有經(jīng)過灰色區(qū)域。因此，應用沃爾頓理論的關鍵在于確定漸進式論證中有沒有灰色區(qū)域，以及灰色區(qū)域究竟在哪。沃爾頓認為是由于存在某些驅(qū)動（driver）而導致推理進入灰色區(qū)域并最終滑向不可接受的結果。（[22]，第288 頁）然而，沃爾頓對驅(qū)動的描述比較模糊，沒有提供可靠的方法讓人們在一般實例中確定驅(qū)動是否存在以及究竟是什么?；蛟S有些滑坡論證會告訴我們驅(qū)動究竟是什么，但并非所有滑坡論證都如此。比如我們很難無爭議地確定例4 或例7 的驅(qū)動是什么或灰色區(qū)域究竟在哪，也難以確定例1-3 中究竟有沒有灰色區(qū)域。驅(qū)動和灰色區(qū)域似乎都需要靠人們不那么準確的經(jīng)驗常識來判斷。雖然后來一些學者將沃爾頓的理論形式化了，但在那些理論中，驅(qū)動或灰色區(qū)域通常都是理論預設的存在（即預設已經(jīng)知道了），而并沒有告訴我們?nèi)绾未_定其是否存在或存在于何處，也沒有討論是否可以對灰色區(qū)域進行定量的刻畫。（[26,27]）因此，我們可以提出下面的問題：

(VI) 可否以及如何定量地刻畫連鎖型滑坡論證中的灰色區(qū)域？8對于如何定量刻畫和評價滑坡論證，余喆老師在其博士論文給出了提示：“要評判一個滑坡論證，不論是對滑坡過程發(fā)展的理由，還是對惡性后果是否的確難以接受，都常常是基于其在當前社會環(huán)境下可信的概率?！保╗26]，第82 頁）這是本文用概率討論相關問題的想法來源之一。

問題(I)-(VI)是本文將討論的主要問題。這些問題相互關聯(lián)，可以用概率論統(tǒng)一分析和解答。下一節(jié)將給出命題可信度和論證好壞的定義。第三節(jié)則用這些定義討論一般的漸進式論證和連鎖型滑坡論證。第四節(jié)應用前面的理論討論連鎖悖論。最后一節(jié)則是全文總結和后續(xù)研究的探討。

2 命題的可信度和論證的評價

概率論有兩種不同的表述方式：一種是集合方式，一種是命題方式。集合方式先給出包含所有可能結果的樣本空間，然后定義和計算其子集，即各個事件成立的概率。（[4]，第5-22 頁）命題方式則直接定義命題成立的概率，即它的可信度。9這兩種表述方式的對應關系的簡要討論參見文獻[16]第6 頁。更詳細的討論參見文獻[14]。本文采用命題方式，即有如下的定義：（[16]，第3-5 頁）

定義2.1(命題的可信度).令A、B為任意命題。A的可信度是A成立的概率P(A)。此外，

1.“并非A”的可信度為P(?A)=1-P(A)；

2.“A且B”的可信度為P(A ∧B)；

3.“A或B”的可信度為P(A ∨B)；

4.假設P(A)≠0。“如果A，那么B”的可信度為條件概率P(B|A)。

古典邏輯中命題只有真和假兩個真值。古典邏輯中的真命題可以理解為我們完全確信的命題，即可信度為1 的命題；假命題可以理解為我們完全不相信的命題，即可信度為0 的命題。對于評價論證的好壞，古典邏輯區(qū)分了兩個不同的問題：(i)論證的前提是否都為真；(ii)當論證的前提都為真時，能否保證結論一定為真。古典邏輯通常不研究問題(i)，而只研究問題(ii)，并認為好的（有效的）論證形式是前提都為真時結論一定為真的論證。（[25]，第2-6 頁）換而言之，古典邏輯中好的（有效的）論證形式是前提的可信度都為1 時，結論的可信度也一定為1的論證。當命題的可信度可以是[0,1]區(qū)間的任一值時，如何對論證進行評價？這時同樣可以區(qū)分兩個不同的問題：(i)論證前提的可信度是否都很高（即接近1）；(ii)當論證前提的可信度都很高時，能否保證結論的可信度一定很高。這兩個問題的研究對象是不同的：問題(i)討論的是一個個具體論證中前提的可信度如何；問題(ii)討論的是一類形式相同的論證在預設前提可信度都很高時，能否保證結論的可信度仍然很高。下面先考慮問題(ii)。參照古典邏輯中有效的論證形式，我們得到如下的定義：

定義2.2(可靠的論證形式).假設某個論證形式前提的可信度都接近1，并且能夠從前提的可信度計算出結論的可信度，那么該論證形式的可靠程度等于其結論的可信度。作為特例，我們有

? 如果結論的可信度接近1，那么它是一個可靠的論證形式。

? 如果結論的可信度接近0，那么它是一個不可靠的論證形式。

上述定義中故意使用接近1 和接近0 這種模糊的表述，是為了讓該定義適用于不同的應用需求。如果需要精確化，接近1 可以定義為大于某個接近1 的數(shù)值，比如0.999、0.99、0.95、0.9 等。接近0 也類似。綜合考慮前提是否可信，我們給出如下定義：

定義2.3(好的論證).一個論證是好的當且僅當其前提的可信度都接近1，并且其論證形式是可靠的。

因此，好的論證能保證結論的可信度接近1。由于評估前提的可信度通常需要專門的知識，本文不討論論證的好壞，而只討論論證形式是否可靠，并簡稱為論證是否可靠。為了評價論證是否可靠，我們需要依據(jù)前提的可信度計算其結論的可信度。概率論提供了相應的計算方法。我們首先討論一類最簡單的論證：只有一步的漸進式論證。10該漸進式論證和古典邏輯中的MP 規(guī)則很像，其區(qū)別在于MP 規(guī)則中，條件句“如果A，那么B”被解釋為實質(zhì)蘊含，而在漸進式論證中，條件句解釋為條件概率。

前提一：A。

前提二：如果A，那么B。

結論：B。

假設已知前提一和前提二的可信度P(A)和P(B|A)。同時假設P(A)≠0，因為P(A)=0 時作為前提的命題A已知一定為假，因此該論證已經(jīng)沒必要繼續(xù)討論了，而且P(A)=0 時P(B|A)也沒有定義。下面計算命題B成立的概率P(B)。根據(jù)概率論的知識，下面的引理成立（[16]，第3-5 頁）：

引理2.1.如果P(A)=1，那么：

假設P(A)1。根據(jù)全概率公式可得：（[16]，第3-5 頁）

由于我們只知道P(A)、P(?A)和P(B|A)，P(B)一般是算不出來的，除非我們進一步知道P(B|?A)。在不知道P(B|?A)時P(B)不確定是符合常識的。比如說，假如只知道明天不下雨的概率為0.8，以及如果不下雨則出門的概率為0.9，是無法計算出明天出門的概率的，因為我們不知道明天即使下雨仍然出門的概率，除非我們假定這樣的概率為0 或接近0。不過，我們可以得到下面的結果：

引理2.2.如果P(A){0,1}且P(?A)*P(B|?A)≈0，則

應用上面引理的關鍵是判定是否P(?A)*P(B|?A)≈0，而這只需要P(?A)≈0 或P(B|?A)≈0。在評價論證是否可靠時，如果A是論證的前提，我們通常會假設P(A)≈1，于是P(?A)≈0。不過，對于多步論證，A很可能只是其中間某一步的結論，P(?A)需要在該步推理之后計算才能確定。因此，下面主要討論是否P(B|?A)≈0?？疾榍懊娴恼撟C實例可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)時候P(B|?A)都很小，接近0 甚至等于0。比如例1 中的第一步論證：

例9.(A)明天不下雨。如果(A)明天不下雨，(B)小明就去爬山。因此，(B)小明明天去爬山。

上述論證中，P(B|?A)=P(小明明天去爬山|明天下雨)。這時P(B|?A)的值很小，因為很少有人下雨天爬山。例1 中的第二步論證：

例10.(A) 小明明天去爬山。如果(A) 小明去爬山，(B) 小王也會去爬山。因此，(B)明天小王會去爬山。

上述論證中，P(B|?A)=P(明天小王會去爬山|小明明天不去爬山)。如果小王和小明平時總是一起去爬山或一起玩耍，那么P(B|?A)的值很?。蝗绻⒎侨绱耍敲辞疤帷叭绻∶魅ヅ郎?，小王也會去爬山”的可信度就不高。分析例1-3 的其它推理步驟以及很多其它例子，也能得到類似結果。再看例4 中的第k步論證：

例11.(A)有k元的人是窮人。如果(A)有k元的人是窮人，那么(B)有k+1 元的人是窮人。因此，(B)有k+1 元的人是窮人。

該論證中，P(B|?A)=P(有k+1 元的人是窮人|有k元的人不是窮人)，其成立的概率為0，因為如果擁有k元的人都不是窮人，擁有k+1 元的人更不可能是窮人了。分析例5、7、8 中的其它推理步驟，以及許多其它推理長度很長的漸進式論證也能得到類似結論。如果P(B|?A)=0，那么P(?A)*P(B|?A)=0，我們可以得到下面更強的結果：

引理2.3.假設P(A){0,1}且P(?A)*P(B|?A)=0。那么11格里蘭（W.Grennan）也用概率評價論證并得出和引理2.3 同樣的結果。（[8]，第34-36 頁）不過，我認為他得出該結果的推導方法不正確，或者在概念上和本文很不一樣。本文嚴格按照概率論方法進行推導和計算。另外，格里蘭也沒有對漸進式論證或連鎖型滑坡論證進行專門討論。

3 漸進式論證和連鎖型滑坡論證

如前所述，漸進式論證具有如下形式：

前提一：A0。

前提二：對任意0 ≤k ＜n，如果Ak，那么Ak+1。

結論：An。

我們的目的是根據(jù)給定前提的可信度計算出結論的可信度。因此，我們假設已知命題A0的可信度P(A0)，以及對任意0 ≤k ＜n，已知命題“如果Ak，那么Ak+1”的可信度P(Ak+1|Ak)。同時假設P(?Ak)*P(Ak+1|?Ak)≈0（0 ≤k ＜n）。一般而言，約等關系可以傳遞若干步，只是不能傳遞太遠。比如根據(jù)1≈1.01≈1.02≈1.03≈···，我們可以得到1≈1.05 乃至1≈1.1。因此，如果論證長度比較短（即n比較小），我們可以重復應用引理2.2 得到對任意0 ≤i ＜j≤n：

因此，下面的定理成立。

定理3.1.假設A0,A1,...,An是任意命題，且對任意0 ≤k ＜n，P(Ak){0,1}且P(?Ak)*P(Ak+1|?Ak)≈0。如果n比較小，下面的公式成立：

因為例1-3 中論證的長度都比較短，如果P(?Ak)*P(Ak+1|?Ak)≈0 都成立，且前提的可信度都確定了，我們就可以應用定理3.1 計算得到其結論的可信度。我們用例1 來說明計算過程。例1 中n=3。為了簡化計算，假設P(A0)=P(A1|A0)=P(A2|A1)=P(A3|A2)=v。如果v=0.99，那么P(An)≈0.994≈0.961，這時結論的可信度還算比較高，和前提相差不大。如果v=0.95，P(An)≈0.954≈0.815；如果v=0.9，P(An)≈0.94≈0.656，這時結論的可信度已經(jīng)顯著降低。如果v=0.8，P(An)≈0.84≈0.410，這時結論已經(jīng)不怎么可信了。隨著推理長度的增加，結論的可信度會削弱得更嚴重。比如說，如果推理長度增加到10，那么當前提的可信度都是v=0.99 時，結論的可信度P(An)≈0.9910≈0.904；當v=0.95 時，P(An)≈0.9510≈0.599；當v=0.9 時，P(An)≈0.910≈0.349。這些計算說明，對于漸進式論證而言，如果前提的可信度不是都非常接近1（比如說大于0.95），那么隨著推理長度的增加結論的可信度會被迅速地削弱，從可靠的論證變成不可靠的論證。日常生活中，前提的可信度大于0.95 已經(jīng)是比較高的要求了，所以我們常用的漸進式論證都比較短，很少超過10 步。當然，漸進式論證前提的可信度不一定都相同，也不一定都具有很高的可信度，這時結論的可信度究竟如何應當以計算結果為準。

不過，像連鎖悖論或連鎖型滑坡論證（例4、5、7、8），推理長度成百上千甚至更長。這時約等號的傳遞關系就不可靠了，我們不能再用定理3.1 進行計算。不過由上一節(jié)的分析可知，這樣的論證中P(?Ak)*P(Ak+1|?Ak)=0（0 ≤k ＜n）一般都成立。這時我們有如下定理：

定理3.2.假設A0,A1,...,An是任意命題。假設對任意0 ≤k ＜n，P(Ak)≠0，并且當P(Ak)≠1 時，P(?Ak)*P(Ak+1|?Ak)=0。那么

證明.對任意0 ≤k ＜n，當P(Ak)=1 時，根據(jù)引理2.1 可知P(Ak+1)=P(Ak)*P(Ak+1|Ak)；當P(Ak)≠1 時，由于P(?Ak)*P(Ak+1|?Ak)=0，由引理2.3 可知P(Ak+1)=P(Ak)*P(Ak+1|Ak)。因此對任意0 ≤k ＜n，P(Ak+1)=P(Ak)*P(Ak+1|Ak)都成立，于是對任意0 ≤i ＜j≤n：

因為等號可以一直傳遞，上面的定理對推理長度n沒有限制。下面用該定理計算例7-8 中結論的可信度。為了方便計算，不妨假設對任意0 ≤k ＜n，P(Ak+1|Ak)=P(A0)=v=0.9995。當n=100，即結論是例8 中的“小明100 天后開始行動可以完成這些任務”，P(An)=0.9995101≈0.951，因此仍然具有比較高的可信度，所以例8 的論證是可靠的。當n=1000，即結論是“小明1000 天（約3 年）后開始行動可以完成這些任務”，P(An)=0.99951001≈0.606，這時結論的可信度已經(jīng)不高了。當n=10000，即“小明10000 天（約27 年）后開始行動可以完成這些任務”，P(An)=0.999510001≈0.00673。這時P(An)已經(jīng)非常接近0，極其不可信了。如果n ＞10000，P(An)會更小。因此，例7 的結論是不可信的，所以是一個不可靠的論證。這些結果是比較符合常識的。當然，v=0.9995 只是我的一個簡單假設，具體每個前提的可信度是多少會依據(jù)任務或小明的個人情況而不同。比如說，如果完成這個任務本身只需要3 天時間并且沒有其它條件的限制，那么即使10000 天后，小明完成任務的可能性都是很高的，這時很可能v ＞0.99995。當然，100000 天（約274 年）后對所有人來說，完成該任務的可能性都幾乎為0 了，因為沒有人能活那么久（但也不能說可能性一定為0，因為說不定若干年后人類的壽命在科技的幫助下延長到300 歲甚至更長）。

我們看到，當前提的可信度都極高時，即使推理經(jīng)過成百上千步，結論依然比較可信。然而，即使如此，隨著論證長度的增加，類似例7、8的漸進式論證的結論也會越來越不可信，會從可靠的論證變成不可靠的論證。這是一個普遍的現(xiàn)象，因為我們可以得到下面的定理。

定理3.3.假設A0,A1,...,An是任意命題。假設對任意0 ≤k ＜n，P(Ak)≠0，并且當P(Ak)≠1 時，P(?Ak)*P(Ak+1|?Ak)=0。假設P(A0)≤u ＜1，且對任意0 ≤k ＜n，P(Ak+1|Ak)≤u ＜1。那么12其實這個定理的條件還可以放寬，即可以讓某些P(Ak+1|Ak)=1，結論也不會改變。但這樣表述起來比較復雜，這里就不寫了。

定理3.1-3.3 加上定義2.2-2.3 足以回答本文第一節(jié)提出的問題(I)、(II)和(V)。對于問題(IV)為何在例6 的數(shù)學歸納法中，推理的長度不會影響結論的真假，也不難回答：因為數(shù)學歸納法中前提都要求是真命題，即它們的可信度都為1，所以從定理3.2 可知，P(An)=1n+1=1。現(xiàn)在我們也可以回答問題(VI)可否以及如何定量地刻畫連鎖型滑坡論證中的灰色區(qū)域。沃爾頓認為灰色區(qū)域是論證中Ak從比較合理走向不合理的區(qū)域，而對任意0 ≤k≤n，用定理3.1-3.3 可以計算出漸進式論證第k步推理后得到的結論Ak的可信度P(Ak)，即該結論的合理程度。不妨認為，如果可信度大于0.5，結論在某種程度上還算合理的，而如果可信度小于0.1，結論大概就不合理或不可接受了。于是，我們可以給出如下一種定義：

定義3.1(灰色區(qū)域).漸進式論證的灰色區(qū)域是Ak的可信度從P(Ax)=0.5 變成P(Ay)=0.1 的區(qū)域Ax,...,Ay。

當然，正如沃爾頓說灰色區(qū)域的起點Ax和終點Ay是不確定的（[22]，第288頁），定義3.1 中選擇0.5 和0.1 作為分界點實際上帶有人為規(guī)定的性質(zhì)，就像交通規(guī)則規(guī)定某些路段大于60 km/s 算超速一樣。選一些不同的數(shù)值也不會有什么問題，具體選擇還需要看實際問題。本文的討論只是說明，如果想要精確定義灰色區(qū)域是能做到的，但具體如何定義可以根據(jù)實際問題調(diào)整。

4 應用：連鎖悖論

如前所述，連鎖悖論是使用了模糊語詞的連鎖型滑坡論證。既然連鎖悖論是一類特殊的連鎖型滑坡論證，因而是一類特殊的漸進式論證，前面對漸進式論證和連鎖型滑坡論證的分析應當可以應用于連鎖悖論，只要模糊語詞得到恰當?shù)慕忉?。模糊語詞有多種不同的解釋方法，比如認知主義（epistemicism）、多值邏輯（many-valued logic）和模糊邏輯（fuzzy logic）、超賦值（supervaluationism）和多賦值（plurivaluationism）理論、語境主義（contextualism）、直覺主義（Intuitionism）等。因為模糊性不是本文的主題，故不對這些理論進行介紹，感興趣的讀者可以參考文獻[12,20,21]。在這些理論中，本文選擇用模糊集（fuzzy sets）解釋模糊語詞，因為這一選擇在文獻[20]中得到了比較充分的辯護，而且可以讓前面對漸進式論證和連鎖型滑坡論證的分析方法直接應用于連鎖悖論，從而實現(xiàn)理論的統(tǒng)一性。這比為連鎖悖論單獨發(fā)展一種理論更有吸引力。

模糊集由札德（L.A.Zadeh）于1965 年提出。令X是一個普通集合，X上的一個模糊集Xμ是一個有序?qū)?X,μ)，其中μ:X →[0,1]是從X到區(qū)間[0,1]的一個函數(shù)，表示元素x對集合X的隸屬度（grade of membership）。（[13,24]）不過，究竟如何理解、賦予和計算某個元素x對集合X的隸屬度呢？模糊邏輯通常將元素x對集合X的隸屬度理解為命題x ∈X（即“x 是X”）的真假程度（degree of truth），并認為這種真假程度源于客觀對象自身具有的性質(zhì)。（[20]，第60-71 頁）和模糊邏輯不同，本文將元素x對集合X的隸屬度理解為命題x ∈X的可信度，即x ∈X成立的概率。這么做一方面使得x對集合X的隸屬度可以使用基礎嚴謹、研究充分的概率論和統(tǒng)計方法賦予和計算，而不需要像模糊邏輯一樣引入有爭議的理論或方法賦予或計算命題的真假程度，另一方面使得包含和不包含模糊語詞的漸進式論證都可以用同樣的方法進行分析，從而讓連鎖悖論的分析成為前面理論的一種應用。

除了采用模糊集，本文還采用語境主義的觀點，即認為同一個詞在不同語境下可以有不同的解釋，因此同一個模糊語詞在不同語境下可以被解釋為不同的模糊集。以“窮人”為例，究竟擁有多少財富的人是窮人呢？這很大程度上取決于說話的語境。比如說，對于居住在小城市的人而言，有100 萬大概就不算窮人了；對于居住于北京上海等城市的人而言，恐怕要上千萬才能比較好地生活；對于參加資產(chǎn)數(shù)億的富豪聚會的人而言，可能需要擁有數(shù)十億才能不算窮人。不過，如果語境確定下來，“窮人”一詞的含義一般認為是確定的，即對應唯一一個模糊集。

采用上述觀點后，例4-5 和例7-8 形式上完全相同，其分析方法也相同，唯一的區(qū)別是，例7-8 中P(Ak)和P(Ak+1|Ak)的確定依賴于我們對小明能否完成那些任務的理解，而例4-5 中P(Ak)和P(Ak+1|Ak)的確定依據(jù)的則是我們對模糊語詞“窮人”在特定語境下的理解（解釋或定義）。因為只是舉例說明，我們不妨假定一個對大多數(shù)人都適用的語境：財產(chǎn)1 萬元人民幣以下是確定無疑的窮人，財產(chǎn)1 億以上的人確定無疑不是窮人，財產(chǎn)大于1 萬低于1 億則或多或少算一點點，同時財富越多，是窮人的可能性越小。為了便于計算，μ選擇一個特殊的分段連續(xù)不增函數(shù)，于是得到下面的定義。

定義4.1.“窮人”的含義由模糊集(N,μ)來定義，其中N 是自然數(shù)集，其中的自然數(shù)k代表某個人所擁有的以人民幣為單位衡量的財富值,而μ(k)則是命題“擁有k元的人是窮人”的可信度。并且

當k≥108時，P(Ak)=0,因此P(Ak+1|Ak)沒有定義。這時我們可以如某些文獻一樣強行規(guī)定其值等于1，或者采用更復雜的處理方法。（[1]，附錄2）當k ＜108時，依據(jù)上面的定義，引理2.1 和2.3 告訴我們：

這說明例4-5 中兩個論證的前提都是非常合理的，因為它們的可信度或者等于1 或者接近于1。然而，例4 中結論的可信度為0，因此是一個不可靠的論證，或者說是一個悖論；而例5 中結論的可信度為1，因此是一個可靠的論證。我們還可以看到，當104≤k≤108時，每一步推理都讓結論的可信度減少一點點，最終讓命題Ak的可信度μ(k)從1 減少到0。此外，依定義3.1，該論證的灰色區(qū)域是0.1＜μ(k)＜0.5，即106＜k ＜107.6（從100 萬到約4000 萬），也基本符合常識的理解。

5 結論

通過將命題的可信度定義為命題成立的概率，本文用概率論統(tǒng)一地分析了漸進式論證、連鎖型滑坡論證和連鎖悖論，得到了判定漸進式論證是否可靠的一般方法，并給出了連鎖型滑坡論證中灰色區(qū)域的一種定量刻畫。

除了連鎖型滑坡論證，滑坡論證還包括一些應用更廣的類型，其中往往涉及價值判斷或因果關系，因此分析會更加復雜。（[22]，第288-289 頁；[26]，第65-77頁）除了滑坡論證，還有大量其它的論證型式。（[23]）能否以及如何將本文的分析推廣到更多的論證型式是接下來可以研究的內(nèi)容。

另外，漸進式論證是多步論證中最簡單的類型，因為它沒有分支。更復雜的論證可以是樹或圖的結構。能否及如何將本文的分析推廣到更一般的論證結構，也是值得研究的課題。