通向實數的第三條路
——《算術的基本規律》中的實數理論

石偉軍

導言

實數理論是實分析的基礎。19 世紀實分析的發展迫切要求嚴格的實數理論。為了回應這一要求，很多數學家提出了自己的實數理論。它們可以分為兩類：實數的算術化和實數的幾何化。實數的幾何化利用實數和直線之間的關系。實數的算術化路徑包括康托的基本列理論、戴德金的分割理論和魏爾斯特拉斯的理論。海涅和托馬的形式主義實數理論，可視為在形式主義指導下對康托基本列理論的一個改編。

然而，在弗雷格看來，這些理論存在種種問題，特別是其無法說明實數的應用性。鑒于此，弗雷格提出了自己的實數理論。這個理論是實數算術化和幾何化之外的第三條路。和實數的幾何化一樣，弗雷格打算將實數定義為量的比例；但是，他并不將實數等同為幾何量——線段——的比例，因為他認為實數理論本質上是邏輯的，而幾何理論的實質是直觀。和實數算術化一樣，弗雷格需要某種在先被給予的數的理論；因為他的實數定義需要正類的存在，而要證明其存在就必須使用自然數（或基數）理論。

為了完成他的實數理論，弗雷格需要完成三個任務：第一，說明什么是量；第二，說明什么是實數，即如何理解量的比例；第三，證明關于實數的基本定理。然而，弗雷格并沒有完成所有的任務。（[11]，第69-243 頁）弗雷格給出了量的定義，從而完成了第一個任務，并且證明了一些對于第三個任務必不可少的關于量的命題。（[11]，第165-243 頁）至于其它一些關于量的非常重要的命題（見第4節），盡管他未直接證明，但其要么是他已經證明的某些命題的推論，要么使用他的方法就可加以證明。關于第二個任務，他充其量給出了一些不具有決定性作用的暗示。（[11]，第164 頁）對于第三個任務，他完全沒有觸及。

本文旨在完成如上第二和第三個任務。本文結構組織如下：第1 和2 節將扼要介紹實數的算術化理論以及弗雷格的批評。如果這些理論以適當的方式修正，弗雷格的有些批評就會失去力量。然而，他的有些批評，特別是他關于這些實數理論的應用性的批評，無論如何都非常具有說服力。正如基數的應用為基數的定義提供了線索一樣，實數的應用同樣會為其定義提供線索。第3 節討論實數是如何被應用的，以及實數應用所涉及的概念，特別地，量的概念。在庫契拉和塔爾斯基的研究基礎上，第4 節將證明弗雷格的量域是戴德金連續的阿基米德有序域。第5 節關注庫契拉所給出的“量的比例”的定義，即實數定義，并指出他的實數定義和實數的加法定義中存在致命的錯誤，而這些錯誤可通過本文中“s-上界”和“s-上確界”的概念加以消除。本文將證明，不僅弗雷格的量域，而且弗雷格的實數構成的集合，同樣是戴德金連續的阿基米德有序域，以及弗雷格的實數理論要求正類的存在。第6 節簡略討論利用自然數理論證明正類存在的方法，并展示本文給出的實數定義如何為實數的應用提供根據。最后一節是總結。

1 實數的算術化和弗雷格的批評

康托使用基本列定義實數。他假定有理數和其性質已經被給定。（[3]，第898頁）假定(av)是一個有理數列，其中，av是有理數，v=1,2,...。(av)是一個基本列，如果如下條件成立：對于任意的有理數?＞0，都存在一個自然數n，使得對于任意的自然數ν,μ＞n，|aν-aμ|＜?（或者等價的，|aν+μ-aμ|＜?）。關于實數和基本列，康托說：

我將任何同樣能用條件

描述的集合(av)，稱為一個基本列，并且將一個由它定義的數b和它聯系在一起。方便起見，我們可以用(av)這個符號自身指稱這個數（正如同海涅在同我就這個主題進行了多次討論之后而建議的那樣）。1在此，康托應該想說的是：我們可以用“(av)”這個符號，而非(av)這個符號，指稱這個數。因為(av)是一個數列，而非一個符號。2說基本列同樣可以用條件(ii)aν+μ -aν=0（對于任意的μ）描述（定義），就是說基本列的定義(i)和(ii)是等價的。如果(ii)中的符號“lim”指的是實數上的極限概念，那么(i)和(ii)不可能等價，這是因為(ii)存在著重大錯誤。康托假定(iii) 有理數序列(aν+μ - aν) 存在極限，并且認為(iv) 假如(av) 是基本列，那么(aν+μ-aν)的極限等于0。(ii)錯誤的原因有兩個。首先，并且最重要的是，在證明無理數的存在，從而實數（無理數和有理數的并集）存在之前，我們不可能證明一個有理數序列具有極限。因為極限的存在需要確界原理（或者與其等價的原理，例如戴德金完備性），而任意有理數的集合并不滿足確界原理。因此，這個等價如果成立，那么(ii)中的符號“lim”指稱的應該不是實數上的極限概念。因此，(ii)應該是對(i)的另一種更簡單的表述而已。（[3]，第899 頁）

接下來，康托定義了實數之間的各種運算和性質。（[3]，第899-901 頁）例如，對于任意兩個基本列(an)和(bn)，由其定義的實數——用a和b表示——之間的加法定義如下：

a+b=:基本列(av+bv)定義的數。

類似的，實數的減法定義如下：

a-b=:基本列(av+(-bv))定義的數。3關于利用基本列定義實數，并且進一步定義實數的各種性質和運算，這方面更系統的介紹見[27]第107-177頁。但是，注意：康托定義正實數、負實數和0（作為實數）的方法和陶哲軒的稍有不同。

這些定義的基礎是實數自身，因為我們必須知道實數是什么，然后才能定義實數的性質和運算。因此，讓我們回到康托的實數定義自身。

康托說，他將數b和基本列(av)聯系在一起，或者，這個基本列定義（define）了一個數b。對此，弗雷格提出了正確的批評。如何理解“它定義的與它聯系在一起的數b”？弗雷格說，只有兩種情況：第一，這個和基本列聯系在一起的數b是符號（語言實體）；第二，b是抽象的思想對象——我們叫做實數的東西。正如席恩（Schirn）正確地指出的那樣，康托拒絕第一種情況。（[20]，第52 頁）但是，第二種情況存在嚴重的問題：

在第二種情況下，有的只是一個將新數分配給這個基本列的意圖而已。我們還沒能把握這個抽象的觀念4在此，“抽象的觀念”（“the abstract ideas”）和上文的“思想的抽象對象”（the abstract object of the thought）指的是同一種東西，即康托想稱之為數的東西。這個腳注不屬于原文。，在我們擁有它們之前，我們不能將它們分配給基本列。康托有時確實宣稱他的基本列決定了數，但是他自己卻自相矛盾。他所實現的無非是將有理數分配給某些基本列……（[11]，第95 頁）

在此，弗雷格指出了康托的實數定義中的最致命的問題：我們——包括康托自己——不知道這個被分配給基本列的數b是什么。它是凱撒嗎？如果這個b是一個數，而非凱撒，那么正如弗雷格所說，b只能是有理數；因為作為其研究的前提，康托只假定了有理數的存在，而實數是否存在，若存在是什么，這康托尚且不知道。當然，我們或許會替康托辯護說：b的身份不重要，重要的是，無論它是什么，它和這個基本列聯系在一起。但是，這個辯護是徒勞的；如果b的身份不重要，那和基本列聯系在一起的b可以是一個有理數，從而導致引進無理數的努力就徹底失敗了。

弗雷格對康托的實數定義的另一個批評是：康托所定義的實數之間的運算不滿足完備性要求。弗雷格要求每一個函數必須滿足完備性。（[11]，第69-78 頁）以一階函數為例，一個一階函數是完備的，當且僅當它對所有的對象都有定義。5完備性要求是弗雷格的邏輯普遍主義的推論：弗雷格要求量詞在符合其類型的所有存在者上量化。例如，一階量詞在所有對象上，而非某些對象上量化；約束一階一元函數的二階量詞在所有的一階一元函數上量化。關于完備性和邏輯普遍主義之間的關系，見[12]。完備性要求對于基數的應用極其重要。弗雷格將自然數n+1 定義為所有和概念x=0 ∨...∨x= n 等勢的概念構成的集合。現在，假如有一個概念F，在所有的對象中，它只對其中的n 個有定義，且這n 個對象都具有性質F，而它對剩下的對象沒有定義。這樣一來，我們無法確定F 是否有n 個，因為我們無法確定這些余下的對象是否具有性質F，從而基數的應用成了不可能的。但是，顯然，在“a+b=:基本列(av+bv)定義的數”中，加法只對實數有定義。

我們可以拒絕弗雷格的第二個批評，因為康托的實數理論，并不要求每個函數或者運算都是完備的。但是，我們該如何回應第一個批評呢？我們必須說：每一個基本列就是一個實數。根據康托，“(av)”這個符號被用來指稱基本列定義的數b，當然它也指稱基本列(av)自身，因此b就是基本列(av)。這樣一來，弗雷格的批評就無效了。

和康托一樣，戴德金假定了有理數Q的存在和其各種性質和運算。對于任意兩個有理數的子集A1和A2，(A1,A2) 是有理數的一個分割，如果：(1)A1≠?，A2≠?；(2)A1∪A2=Q；(3)?x ∈A1y ∈A2，x ＜y。對于有理數的一個分割(A1,A2)，A1稱為下類，A2稱為上類。有理數的所有分割可以分為三類：第一類分割，這種分割的下類有最大元，即存在一個x ∈A1使得A1中的所有元素都小于等于x；第二類分割，這種分割的上類有最小元，即存在一個x ∈A2使得A2中的所有元素都大于等于x；第三類分割，這種分割的下類無最大元，上類無最小元。例如，對于A1={x ∈Q:x≤0∨(x ＞0∧x2＞2)}，A2={x ∈Q:x ＞0∧x2＞2}，(A1,A2)是第三類分割。

鑒于第一類和第二類分割要么包含最大元，要么包含最小元，因此它們可以被視為是這個最大元或者最小元產生的；而第三類分割不是由任意的有理數產生的。現在，戴德金認為，我們可以通過第三類分割構造無理數6關于戴德金的分割法，更系統的介紹見[28]第289-302 頁。盧丁（Rudin）關于分割的定義和戴德金自己的略有不同，但兩者沒有沒有本質區別。關于前者，詳見[19]第17-21 頁。：

無論何時我們有一個不是由有理數產生的分割(A1,A2)，我們創造（create）一個新的數，一個無理數α，這個無理數我們視為是這個分割(A1,A2)完全定義的；我們說這個數α對應于這個分割，或者它產生了這個分割。因此，從現在開始，對于任意一個確定的分割，都有一個確定的有理數或者無理數和其對應，并且我們將兩個數視為不同的或者不相等的，當且僅當它們對應這本質上不同的兩個分割。（[17]，第773 頁）康托將某個預先存在的對象（其身份不得而知）和一個基本列聯系在一起。和康托不同，戴德金沒有假定存在著某個和有理數不同的對象，然后將這個對象和一個第三類分割相聯系，而是為第三類分割創造了一個對象。

由于創造這一操作，弗雷格對康托的實數定義提出的第一個批評，對戴德金定義無理數的方式完全不起作用。但是，很自然的，弗雷格將其批判的火力對準了戴德金的那一操作本身——創造無理數。弗雷格批評數學家使用“創造性定義”（creative definition）的做法——給定某個性質，我們創造一個滿足這個性質的對象。他正確地指出，數學家并不能隨意創造數學對象，正如物理學家并不能創造一個具有某種性質的天體一樣。例如，數學家并不能創造一個既具有某個性質又不具有這個性質的對象。我們或許會辯護說：的確，數學家不能隨意創造數學對象，不過在某些條件下，數學家確實可以創造某些對象。然而，在這種情況下，我們必須在創造無理數前就事先說明這些條件。

弗雷格對戴德金的批評是令人信服的。然而，和康托的情況類似，對于戴德金的實數定義而言，我們的確沒有必要創造一個和分割相對應的數；我們可以將分割自身當作數，正如我們可以將基本列當作數一樣。這樣一來，弗雷格的批評就無效了。無論是將無理數當作基本列，或者當作第三類劃分，以此為基礎，添加適當的定義，都可以證明實數集是戴德金連續的阿基米德有序域。7關于此證明，詳細的討論見[28]第289-302 頁，[19]第17-21 頁，[27]第107-177 頁。

除了康托和戴德金的實數理論，事實上，魏爾斯特拉斯的實數理論同樣走了算術化的道路。不過，魏爾斯特拉斯自己并未出版過任何關于實數的理論；現存的只有他的學生們所做的筆記。弗雷格討論并且批評了魏爾斯特拉斯的自然數觀點，而只字未提后者的實數理論。（[11]，第149-154 頁）8簡要來說，假定自然數和有理數（其可以由前者構造而來）已經被給定。魏爾斯特拉斯將實數定義為級數，其中，所有的an 要么是大于0 的自然數，要么所有的an 等于0。現在，我們需要定義任意兩個具有如上形式的級數（實數）在什么情況下相等，之后定義其它性質和運算。關于魏爾斯特拉斯的的實數理論，一個非常簡短的討論見[24]第102-105 頁，更詳細的討論見[2]。鑒于此，我們在此不再討論后者的實數理論。

2 形式主義實數理論和弗雷格的批評

弗雷格反對海涅和托馬的形式主義（[11]，第96-140 頁；[9]，第112-121 頁）；他也反對希爾伯特的形式主義。（[9]，第274-284，293-340 頁；[8]，第31-52 頁）海涅的形式主義被稱為“項形式主義”（[16]，第54 頁），而托馬的形式主義被稱為“游戲形式主義”。（[22]，第41-48 頁）如下，我們稱他們的形式主義為“項-游戲形式主義”。

弗雷格做出了符號（signs）和圖形(figures)的區別：符號是有內容的（有reference 和sense）圖形，而圖形僅僅是一種物理存在。根據項-游戲形式主義，數是圖形：“關于數的定義，我的立場是純粹形式的，我把某些可感知的符號稱為數，從而這些數的存在是不成問題的”。（[11]，第97 頁）數（圖形）對于數學而言，就如同棋盤上的棋子對于游戲一樣。數（圖形）除了其物理性質之外，其唯一（外在）性質就是服從某些規則（這些規則就是形式理論中構成項、公式和句子以及進行推理的規則），而后者類似棋盤游戲中移動棋子的規則。

這兩種形式主義在很多方面有差別。特別的，希爾伯特的形式主義，具備項-游戲形式主義沒有的兩個特征。第一，前者明確區分了元數學（元理論）和數學（理論），區分了數學的實在（real）的部分和理想（ideal）的部分，并且明確承認證明數學一致性的重要性。第二，希爾伯特明確指出，數學中的推理規則不是任意的，而是人類思維的基本規則；證明數學的一致性的附帶效果就是證明了這些基本規則的正確性。

正是因為這兩種特征，德特勒夫森（M.Detlefson）認為，給希爾伯特的數學哲學——希爾伯特的證明論——貼上“項-游戲形式主義”這個標簽是錯誤的。（[4]，第29-301 頁）對于希爾伯特來說，數論（形式化系統，作為元數學的對象）的對象是符號（sign）自身9希爾伯特使用的是“sign”這個詞，但是，很明顯，他將數字視為圖形而非符號。德特勒夫森以1904 年為界限，將希爾伯特的形式主義區分成了兩個階段：早期形式主義和后期性形式主義。被形式化的數學，作為元數學的對象，其中包括兩類符號：邏輯的和非邏輯的。在前期，希爾伯特已經將非邏輯的符號當成了圖形（[13]，第1121頁），并將其視為數學的對象；在后期，邏輯符號也被視為圖形。，換言之，數就是數字，從而是圖形；在數論中，從一個命題——根據規則而組成的一串圖形——到另一個命題的推演是根據規則而實行的機械過程。海涅和托馬同樣持這樣的觀點。因此，盡管希爾伯特的形式主義具有更加豐富的內容，但是，在將數學的對象視為圖形——將數等同為圖形——這方面，從而將數學視為一個純粹的形式系統（其中出現的所有圖形沒有內容）這方面，它和項-游戲主義是完全一致的。

項-游戲形式主義的最大好處是避免了數的形而上學問題。如果數是圖形，其存在是毫無疑問的。但是，形式主義在形而上學方面的優勢，并不能抵消它在其它方面的不足：第一，其不能解釋數學的應用性（applicability）；第二，其無法解釋無理數的存在。

弗雷格將應用性視為算術的本質特征：“將算術從游戲提升到科學地位的只有應用性。因此，應用性必然地屬于算術”。（[11]，第100 頁）（關于應用性是如何編碼進基數和實數的定義的，見本文第3 和5 節。）然而，項-游戲形式主義，同樣的，希爾伯特的形式主義，無法說明算術的應用性。這是因為，對于形式主義而言，算術的項，例如，數字“2”，只是一個圖形，而非符號；“1+1=2”只是圖形構成的無內容的東西，從而沒有表達任何“思想”。如果算術沒有內容——數字沒有指稱，算術命題沒有表達思想，它就不能被應用。希爾伯特說任何形式理論，例如，皮亞諾算術（PA），都是一個“腳手架”（scaffolding）——一個形式理論中的概念允許任意的解釋，任何東西只要滿足其公理，那么其同樣滿足其定理。（[8]，第40 頁）不過，“解釋”這個概念，在說明算術的應用性方面，實質上無助于形式主義。我們要如何解釋PA，從而使得它能夠用來回答“《數學原理》的作者有幾個？”這樣的問題呢？我們或許會說：將PA 的項，按照某種方式，解釋為弗雷格的算術理論中的東西。例如，將PA 中的圖形“1”解釋為弗雷格的數1，將PA 中的圖形“數”解釋為弗雷格的數。可是，如此一來，形式主義的PA 是可有可無的東西，因為我們最終還是回到了弗雷格的算術理論。10形式主義將算術的項視為沒有指稱的東西；但是，如果算術的項沒有指稱，算術的句子就不能表達思想，從而算術里就不存在真正的證明。但是，德特勒夫森不認為希爾伯特的形式主義中的證明是無內容的。（[5]，第303頁）他說，希爾伯特一方面并不否認數學證明必須展示有內容的前提和結論之間的邏輯關系，并不否認證明的最終目的是為判斷提供保障；但是，另一方面，元數學中證明的前提和結論都是關于數學的，元數學允許數學的命題是空無內容的。德特勒夫森的辯護難以成立；由于數學的項是圖形，希爾伯特不能承認前一方面。

項-游戲形式主義無法解釋實數的存在。如前所說，康托用基本列定義實數，任意實數都是一個基本列。托馬試圖給基本列一個形式主義的解釋。基本列(av)含有無限多個項。我們只能為其中的有限多個提供名字，因為名字作為符號，也是圖形，而不可能存在無限個圖形；但是，這絲毫不影響基本列含有無限多個項，即有理數。托馬將基本列視為一個滿足某種條件的含有無限多個數的東西；不過，由于他將數等同于圖形，因此他將基本列視為滿足某種條件的含有無限個圖形的東西。不難看出，不可能存在這樣的基本列。

3 實數是量的比例

從歐幾里得一直到戴德金和康托，全體實數構成的集合往往被等同為或者比作一條直線。給定一條直線，我們隨便指定其上的某個點o為原點，將這個點的右側規定為正方向，左側規定為負方向。然后，我們隨便規定這條直線上的某兩點x和y之間的線段為單位線段。給定任意線段ou(u為正方向上的任意點)和線段ov（v為負方向上的任意點），ou:xy（ou和xy之間的比）被視為一個正實數，ov:xy（ov和xy之間的比）被視為一個負實數。這種定義實數的方法被稱為幾何路徑。弗雷格的實數理論與實數的算術化和幾何化都不一樣。他認為實數是量的比例（the ratios of quantities），但是他不同意將量（quantities）等同于幾何的量，即線段。這是因為，由于他認為算術是邏輯，因此如果將量等同于幾何的量，并且將實數定義為幾何量的比例，那么，某種直觀的東西就被引入了算術。

弗雷格為何將實數定義為量的比例呢？正如在第2 節中所說，這是因為他認為，應用性應該被編碼進數的定義。基數的應用是計數。我們是如何計數的呢？根據弗雷格，基數的應用范式是這樣的：

(i)說“有n個F”，就意謂著“F的數=n”；

(ii)F的數=G的數當且僅當F和G一一對應。

用“F”和“G”表示一階概念，“U”表示二階概念，“?F”表示“概念F的數”，“F≈G”表示“F和G一一對應”，“extU”表示“U”的外延。弗雷格以如下方式定義基數：

(i)和(ii)被編碼進了數（“概念的數”）的定義。

弗雷格將實數定義為量的比例，因為實數的應用是度量（measure）。我們是如何用實數來度量的呢？給定兩個量t和r，例如，長度，質量，速度，密度，強度等等，我們將r當作為單位量（units），相對于r，另一個量t是x個單位，其中x是實數。例如，當我們說“√對象A 的質量是√”的時候，我們說的是“對象A 的質量是對象B 的質量的倍”，其中B 的質量被規定為單位質量，即1g。正如在“地球有1 個衛星”這個句子中，“1”沒有以專名的形式出現，在“對象A的質量是對象B 的質量的倍”中，“”同樣沒有以專名的形式出現。然而，正如前一個句子可以被理解為“地球的衛星的數是1”，從而“1”以專名的形式出現一樣，后一個句子可以被理解為“是A 的質量和B 的質量的比例”，從而“”以專名的形式出現。一般地，給定兩個量t和r（屬于同一種量），實數的應用范式的一個組成部分是：

(AR)量t是量r的x倍當且僅當x是量t與量r之間的比例。

(AR)類似于(i)。根據(i)，基數要被定義為概念的數；根據(AR)，實數要被定義為量的比例。

現在弗雷格需要完成兩件事情：第一，說明什么是量；第二，說明什么是量的比例。

什么是量呢？弗雷格將一階二元關系的值域（value-range）稱為“Relation”。11以下我們用“R-關系”翻譯“Relation”。用“關系”這個詞翻譯“relation”（“Beziehung”）。弗雷格將所有存在者分為函數和對象。關系是以真值為函數值的函數，而值域是對象。此外，他將一階概念（以真值為函數值的一階一元函數）的值域稱為“類”（class）。量是R-關系，但并非任何一個R-關系都是量。為了定義量，弗雷格認為，我們要先定義量域（a domain of quantities），然后將這個域中的每一個元素視為量。我們將在第4 節介紹弗雷格的量域的定義。

因為實數是量的比例，而量是R-關系，所以實數是R-關系的比例。如果所有的R-關系都是空的R-關系，那么無論“實數是R-關系的比例”是什么意思，我們無法定義實數；因為空R-關系只有一個，而實數有無限多個。因此，如果沒有對象，那么我們就不能定義實數，至少不能定義所有的實數。為了定義實數，我們需要多少個對象呢？弗雷格說：

如果q是空R-關系（Relation），那么q是同一個空關系；qq同樣如此。另外，我們的量域上的R-關系的復合，不應該導致空R-關系；但是，這種情況會發生，如果不存在對象，使得某個對象和它處于第一個R-關系，且它和某個對象處于第二個關系。

因此，我們需要一群對象，它們彼此具有我們的量域中的R-關系，并且，特別的，這個群必須包含無限多個對象。（[11]，第161 頁）

很難看出“因此”之后的結論是如何推出的；即便在所有的R-關系中，存在兩個R-關系，使得其復合是一個空R-關系，這也不意謂著，實數不能定義為這樣的量域中的R-關系的比例。既然如此，弗雷格為何認為，定義實數需要無限個對象？

我認為原因有兩個。第一，弗雷格將實數視為對象，而實數有無限多個（）。因此，無論如何理解“實數是R-關系的比例”，必須要有無限個對象。第二，弗雷格將“實數是R-關系的比例”等同為“R-關系上的R-關系”（Relations on Relations）。因此，如果對象只有有限個，那么R-關系上的R-關系只有有限個，從而我們只能定義有限個實數。

現在，去哪里找無限多個對象呢？在[10]中，弗雷格將自然數理論還原為了邏輯，而自然數有無限個。因此，我們有無限個對象可供使用。不過，如何利用自然數構造一個量域呢？

由于所有的R-關系rB和構成一個量域（這需要證明），因此量域存在。在此基礎上可定義實數。但是，不難看出這種做法存在循環：在證明這個量域存在的時候，我們就假設了實數的存在。不過，弗雷格說，不需要實數就能定義R-關系rB和。（[11]，第161 頁）在第6 節中，我們將簡要討論這如何可行。

如前所說，為了給實數理論奠定基礎，弗雷格需要先完成兩個任務。然而，弗雷格只完成了第一個任務——給出了量的定義，而沒有完成第二個——定義實數。下面我們介紹弗雷格的量域概念，然后考慮如何定義實數。

4 量域

《算術的基本規律》中的邏輯系統GG 由二階邏輯+第五公理構成。GG 的語言中的名字分為兩類：函數名字和對象名字（值域的名字和真值的名字）。這種分類和弗雷格的本體論相對應：一切存在者要么是函數要么是對象。量域是類（一階概念的值域），而類是對象。(*)假設D是一個量域，從而是某個概念C的值域，對于任意一階二元關系的R-關系R，R是D的元素當且僅當R落入C之下。值域受第五公理的轄制。由于第五公理和二階邏輯不一致，為了重建弗雷格關于量域從而關于實數的理論，我們必須對弗雷格的二階語言進行修改。

我們有兩種選擇。要么保留第五公理，將GG 的內涵公理替換為直謂的（predicative）內涵公理，從而得到一個系統GG*，要么刪除它，從而將值域名字從GG的語言中刪除。第一種選擇行不通。這是因為，盡管GG*沒有矛盾，但是在GG*中不能推演出通常的自然數理論，而如在第3 節中所說，自然數是證明量域存在的基礎。

第二個選擇行得通。在這種情況下，我們不能談論R-關系滿足什么條件才是量，或者等價的，一個類滿足什么條件是量域，不能談論實數是R-關系的比例；因為表示值域的項已經從GG 的語言中刪除了。不過，我們可以談論實數是一階二元關系的比例。當然，在這種情況下，要談論這些，我們需要一個高于二階的語言。在[1]中，博客尼（Boccuni）和潘薩（Panza）采用的就是這個選項，而在[18]中，羅珀（Roeper）同樣如此。

在如上高階語言中定義量域，從而定義實數（實數不以對象的形式出現），這固然可行，但這不是第二個選擇中唯一的選項。事實上，一階集合論語言同樣能滿足我們的目的。我們使用集合論ZF。對于我們的目的而言，對于ZF 的任何子理論，只要從其中能推出自然數理論，其都滿足我們的目的。為了方便，我們使用ZF。

在定義與量和實數有關的概念——(D1)-(D5)、(D14)-(D17) 以及下一段中出現的概念——的時候，本文使用[15]中的符號。之所以如此，是因為本文著重討論庫契拉（Kutschera）對弗雷格的實數理論的重構。

ZF 的語言的非邏輯詞包括表示集合的變元x,y,z,...和二元謂詞∈。我們約定：字母t,r,p,q表示有序對構成的集合——這種集合就是R-關系在ZF 中的對應物；u,v,s表示由有序對構成的集合構成的集合；ιxφ(x)表示滿足公式φ(x)的唯一的x；λxφ(x)表示滿足公式φ(x)的x構成的集合。作為弗雷格的量域概念的預備，我們需要如下定義：

Rel(r)=:r是二元關系，即r是有序對的集合。

r(x,y)=:(x,y)∈r，即x和y具有r關系。

r-1(x,y)=:r(y,x)，即r-1是r的逆關系。

Ne(r)=:?x,y,z(r(x,y)∧r(x,z)→y=z)，即r是單值關系。

r|t(x,y)=:?z[r(x,z)∧t(z,y)]，即r|t是r和t的復合。

rm=:r|rm-1，即rm是r的m(m ＞1)次復合。

r-m=:(rm)-1，即r-m是r的m(m ＞1)次復合的逆關系。

0=:r0=λz?x(z=(x,x))，即0 是單位關系。

弗雷格將量域定義為“屬于正類的域”。為了定義量域，他首先定義了如下幾個概念。

關系r ∈當且僅當r ∈s，或r是單位關系0，或r的逆關系r-1∈s。

(D2)s是正向類（positival class）：

s是正向類P(s)，當且僅當關系r和其逆關系r-1具有單值性，r和t的復合屬于s，單位關系0 不屬于s，r和t-1的復合屬于，t-1和r的復合屬于。

(D3)集合s中，r小于t：

集合s中，r小于t，當且僅當s是正向類，且中的關系t和r的逆關系的復合屬于s。

(D4)t是u在s中的上界（upper limit）：

t是u在s中的上界，當且僅當s中比t小的關系都是u中的關系，且對于比t大的任意關系r，都存在一個比r小的關系q，且q不屬于u。

(D5)s是正類（positive class）：

s是正類，當且僅當對于s中的任意關系r，s中都有一個比它小的關系；且對于任意的關系集u，如果s中存在一個關系r使得比它小的關系都在u之中，且s中存在一個不在u中的關系，那么u在s中存在一個上界。

如果s是正類，那么是屬于s的量域。13弗雷格用自己的符號定義了這些概念：(D1)是[11]第169 頁的定義X；(D2)是[11]第171 頁的定義Φ；(D3)在[11]第185 頁中；(D4)是[11]第187 頁的定義AA；(D5)是[11]第187 頁的定義AB。

(T6)p ＜s r ∧r ＜s t →p ＜s t。14在這些命題中，(A1)是[11]第187 頁的命題588；(A2)是[11]第187 頁的命題589；(T1)是[11]第243 頁的命題689；(T2)是[11]第233 頁的命題670。而剩下的命題，盡管弗雷格沒有直接證明，但庫契拉在證明的時候，使用了弗雷格已經證明的其它命題。（[15]，第108-109 頁）(A1)(A2) 表明量域滿足三歧性；(A3) 表明量域是稠密的；(A4) 表明是連續的。

這個公理被稱為“連續性公理”。其第六公理為：

關于A＇，有兩點需要特別指出。首先，根據塔爾斯基，(斷言1)A＇的第四個公理就是戴德金連續(DC)，只是比后者“在形式上稍微復雜”。（[26]，第203 頁）我們知道，戴德金連續說的是：如果R的任意子集有上界，其有上確界，其中，

(D7)x ∈R和u ?R，x是u的上界=:?y(y ∈u →y≤x)。

(D8)x是u的上確界=:x是u的上界且?z(z ＜x →?w(w ∈u ∧z ＜w))。因此，(斷言1)意謂著DC 是A＇的定理。其次，根據塔爾斯基，(斷言2)A＇和另一個系統A＇＇=〈R,＜,+,×,1,0〉在如下意義上等價：如果在A＇上以適當的方式定義零元和乘法，那么A＇＇中的任意涉及零元和乘法的公理，都是A＇的定理。（[26]，第208 頁）15A＇＇ 是一個連續的阿基米德有序域。阿基米德公理是A＇＇ 的定理。關于此證明，見[19]第9 頁。從(斷言1)和(斷言2)可推出如下兩個結論：

(C1)A＇是一個戴德金連續的阿基米德有序域。

(C2)A＇是F的模型，反之亦然。

(C1)和(C2)蘊含一些重要的結論。如果將(D7)和(D8)中出現的“＜”和“R”分別替換為“＜s”和“”，那么我們就得到s的任意子集的“s-上界”和“s-上確界”的定義：

(D9)t ∈和u ?，t是u的上界=:?r(r ∈u →r≤s t)。16“r ≤s t”是“r ＜s t ∨r= t”的簡寫。

(D10)t是u的上確界=:t是u的上界且?r(r ＜s t →?p(p ∈u ∧r ＜s p))。17定義(D9)和(D10)，所有涉及它們的命題，均未出現在[15]中。現在，如果用“”、“s-上界”和“s-上確界”替換(DC)中的“R”、“上界”和“上確界”，我們就得到如下命題：

因為(C1)，所以(DC)是A＇的定理；又因為(C2)，所以

(C3)(DC*)是F的定理。

利用A＇的第六個公理，我們可在A＇上定義“0“，從而定義“正實數”：x是正實數=:x ＞0。然后，將“s”解釋為“正實數”，那么A＇是(T2)和(T3)的模型。從(C1)可知R中的元素對加法滿足交換律和保序性，且關系＜滿足傳遞性，從而

(C4)(T2)(T3)(T6)是F的定理。

不過，我必須強調，如上論證只是為了使我們相信(C3)，而絕不是說，(C3)的證明在任何實質的意義上需要A＇。因為(DC)是A＇的定理，所以只要將(DC)的證明中出現的A＇中的概念替換為F中的概念，我們就能得到(DC*)從F的證明。這同樣適合于(C4)。從(C3)和(C4)可推出：

(T4)r ∈s ∧t ∈s →?n(r ＜s n·t)。（[11]，第203 頁，命題635）

其中，自然數n和r ∈之間的運算·按如下方式定義：

(D11)n·r=:rn。

在我們將F當做一個公理系統的時候，“s”只是一個符號而已（和A＇中的“正實數”對應），它并不是正類。然而，我們已經看到，假定s是正類，那么(A1)-(A9)、(T1)-(T3)(T6)都成立。因此，如下結論成立：

(C6)如果s是正類，那么量域是一個戴德金連續的阿基米德有序域。

既然量域是一個戴德金連續的阿基米德有序域，弗雷格為何不直接將量域中的每一個量視為一個實數呢？原因有三個。首先，弗雷格打算將實數定義為量的比例（或者R-關系的R-關系）；中的每一個量固然是R-關系，但卻不是量的比例。其次，如果實數是某個特定的量域中的量，那么，如果有很多個不同的量域，那么我們就有不同種類的實數。第三，從弗雷格反對實數理論的幾何化可以看出，他反對將實數等同于任何一個量域中的量。

5 實數

弗雷格將實數定義為“量的比例”，但他并未明確說明如何理解它。這為不同的解釋提供了空間。這些解釋可以分為兩類。19在[21]中，夏丕羅提出了一種使用抽象原則（principle of abstraction）定義實數的方法。首先，定義基數，用休謨原則做為基數相等的標準。然后用自然數定義整數，即任意兩個自然數a 和b 決定一個整數Int(a,b)，而判定整數相等的標準是：Int(a,b)= Int(c,d)≡(a+d)=(b+c)。接著，用整數定義有理數，即任意兩個整數m 和n 決定一個有理數Q(m,n)，而判定有理數相等的標準是：Q(m,n)= Q(p,q)≡(n=0 ∧q=0)∨(n ≠0 ∧q ≠0 ∧m·q= n·p)。最后，使用有理數定義實數，任意一個有理數集合P 決定一個實數C(P)，而判定實數相等的標準是：?P ?Q(C(P)= C(Q) ≡?r(P ≤r ≡Q ≤r)。這種構造實數的方法雖然可行，但卻和《算術的基本規律》中的精神不一致。首先，弗雷格沒有提到用遞進的方式，從自然數開始一步一步定義實數。其次，這種方法完全不涉及量。第一類解釋是這樣的。假定a和b是某個量域中的任意兩個元素，我們將“a:b”，即“量的比例”，當作一個不可被定義的項。不過，我們要提供一個判定兩個量的比例相等的標準。準確來說，令D和D＇為任意兩個量域（不一定是同一個量域），對于a,b ∈D和c,d ∈D＇，我們需要判定a:b和c:d相等的標準：a:b=c:d當且僅當Φ(a,b,c,d)。現在的問題是如何刻畫Φ(a,b,c,d)。關于這個問題，有幾種不同的選項。一個選項為歐幾里得的“正比”概念（proportionality）。例如，西門（Simons）就建議用它作為量的比例相等的標準：

a和b的比例等于c和d的比例，當且僅當，對于所有的自然數n和m，an大于，等于，或者小于bn，如果相應地，cn分別大于，等于，或者小于dn。（[23]，第40 頁）在[1]中，博客尼和潘薩認同西門的觀點，并且給出了如何在高階語言中將這個概念形式化。在[18]中，羅珀建議用“同構”刻畫它：Φ(a,b,c,d)當且僅當D和D＇同構，且a和b在同構函數下的象分別是c和d。

第二類解釋是庫契拉的。他在集合論中重構弗雷格的實數理論，從而實數被當作集合。毫無疑問，集合的相等標準就是外延公理。因此和第一種解釋不同，在庫契拉那里，判定量的比例相等的標準是已經被給予了的，即外延公理。現在，重要的是如何在集合論中定義“量的比例”。如下，我們深入考察庫契拉的解釋。

給定一個正類s的量域，我們定義幾種量的運算。對于任意的r,t ∈,p ∈s：

庫契拉為何認為(D14) 中的量t和r應該滿足等式呢？他沒有提供理由。弗雷格說，每一個正實數都可以表示為的形式。（[11]，第161 頁）庫契拉的觀點可能基于弗雷格的這一評論。

然而，定義(D14)有三個問題。第一，且最重要的是，(D14)中出現的庫契拉給出的定義是錯誤的。由于我們已經假定存在正類，即存在s使得P*(s)。現在我們需要保證，對于r ∈s，有定義，即它是一個量。

究竟該如何定義C∞呢？根據(C6)，是戴德金連續的。庫契拉的意思有可能是根據(A4)，C∞應該被定義為u的s-上確界嗎？庫契拉絕無這樣的意思，因為他根本沒有“s-上確界”這個概念，盡管我們確實應該這樣定義C∞。為了證明u有s-上確界，只需證明u有s-上界。我們證明，r就是u的一個s-上界。令其中n ∈N-{0}。根據(D14)，r ∈s。不難證明，(i)bn+1＜s bn。另外，不難看出，(ii)Cn≤s b1+...+bn+1。根據(i)和(T3)有：

根據(ii)，對于任意的n ＞0，Cn ＜s r。

(D14)所面臨的第二問題是，它所定義的所有實數，其基數是2?0嗎？這個問題答案是肯定的。用|x|表示x的基數。令R是實數集。不難證明，|{M:0M∧M ?N ∧|M|=?0}|=|R|。20令M1= {M ?N : |M|= ?0}，M2= {M ?N : |M| ＜?0}。因此N 的冪集P(N)= M1 ∪M2。令mn= {M ?N : |M|= n}，F= {mn : n ＜?0}。因此，M2=∪F。因為| F |= ?0，且|mn|= ?0，根據[14]第71 頁的定理I.12.14，|∪F| ≤?0。因為M1 ∩M2= ?，所以|M1 ∪M2|= |M1|+|M2|=。根據基數的加法，|M1|=。此外，容易證明，|M1|= |{M :0M ∧M ?N ∧|M|= ?0}|。因此，|{(m,M):0|M|=?0}|=|R|；這意味著R(m,M)和R一一對應。

(D14) 面臨的第三個問題是，實數被定義為了正類中的量的比例，而非量域中的量的比例。但是，弗雷格的計劃是將實數定義為“屬于正類的域中的量的比例”。（[11]，第243 頁）(D14)符合弗雷格的計劃嗎？現在對于量域中的任意兩個量，總共有9 種情況：(1)t,r ∈s；(2)t-1,r-1∈s；(3)t ∈s,r-1∈s；(4)t-1∈s,r ∈s；(5)t=r=0；(6)t ∈s,r=0；(7)t-1∈s,r=0；(8)t=0,r ∈s；(9)t=0,r-1∈s。因為量的比例被等同為有序對（其第一和第二個元素是量）構成的集合，所以實數作為這樣的集合，它必須滿足如下條件（還有其它條件）：它的有序對的第一和第二元素可以是如上9 種情況的任意一種。但是，在(D14)中，(5)-(9) 被排除了。排除(5)-(7) 是合理的，因為如果量t和r之間滿足條件，那么在r=0 的情況下，沒有定義。因為M是由不包括0 的自然數構成的無限集合，所以在(8)-(9)中，如果t=0 而r ∈s（或者r-1∈s），那么，不可能是0，因為M是一個無限集合。因此，如果M是由不包括0 的自然數構成的無限集合，那么(D14)和弗雷格的計劃——實數是“屬于正類的域中的量的比例”——是一致的。

現在，為了證明(D17)是一個良好的定義，我們需要證明：存在m＇＇和M＇＇滿足(Eq)且滿足(Eq)的m＇＇和M＇＇是唯一的。因為是戴德金連續的，所以存在性滿足。如下我們證明唯一性。

證明：反設存在(m,M)和(m＇,M＇)滿足(Eq)，且m≠m＇或者M≠M＇。因此，

如下三種情況至少有一種成立：

[情況1]m≠m＇且M=M＇?

[情況2]m=m＇且M≠M＇?

[情況3]m≠m＇且M≠M＇。

假定(a)。在這種情況下，Ck=Ck-1+0=Ck-1，而Bk=Bk-1+bk=Ck-1+bk。現在我們證明(d):對于任意n ＞0，Ck+n ＜s Bk。Ck+n≤s Ck-1+bk+1+...+bk+n。根據(c)，Ck-1+bk+1+...+bk+n ＜s Ck-1+bk=Bk。于是(d)得證。

現在可以證明Bk是{Cn}的一個s-上界。顯然，Ck ＜s Bk；利用(c)，對于?i ＜k，Ci≤s Bk。再根據(d)，Ck+n ＜s Bk。此外，因為M是無限集合，所以M中一定存在大于k的自然數j，從而Bk ＜s Bj。因為b是{Bn}的s-上確界，所以Bj≤s b。于是Bk ＜s b。因為Bk是{Cn}的一個s-上界，而是戴德金連續的，所以其s-上確界≤s Bk。因為b是{Cn}的s-上確界，所以b≤s Bk ＜s b。但是b ＜s b和0s矛盾。

類似的，假定(b)會導致矛盾。因此我們證明了：如果[情況1]或[情況2]成立，那么有序對(m,M)和(m＇,M＇)不滿足(Eq)。顯然，如果[情況3]成立，這個結論也成立。Q.E.D.

6 正類的存在和實數的應用

對于弗雷格的實數理論而言，我們必須證明正類的存在。在第4 節中，在給定實數的前提下，我們陳述了弗雷格構造正類的思路。不過，這個思路只有教育啟迪的作用，因為對他的實數理論而言，實數自身是它的終點而非起點。我們要做的是如何從自然數理論出發，構造出一個正類。

顯然，從ZF 中可以推演出自然數理論。辛德和夏丕羅認為，達米特以自然數為基礎構造正類的方法（[6]，第284-285 頁）可行。（[25]，第354 頁）23令A、B 和C 為任意的由大于0 的自然數構成的無限集合，a、b 和c 是任意的自然數。對于任意的自然數n，我們首先定義“n 對于A 和B 是自由的”：

每一個有序對(

b

,

B

)決定一個關系

R

(

b

,

B

)

。達米特斷言，所有的

R

(

b

,

B

)

構成一個正類。 在不做出更進一步討論的前提下，我滿足于指出，達米特的方法似乎不可行。

24

在我們驗證所有的R(b,B)構成的集合是正類，即滿足(D5)中的條件的時候，我們會遇到困難。

不過，我認為，西門提到的方法（[23]，第38 頁）——其用自然數構成的無限集合模擬實數，并以此貫徹弗雷格的思路（[11]，第161 頁）——是可行的，盡管據它而構造正類在技術上比較繁瑣。

正如在第2 節所言，弗雷格認為，數的應用必須在數的定義中找到根據，而實數的應用是度量。25不難看出，弗雷格的邏輯主義——將基數理論和實數理論還原為邏輯——是有層次的:前者比后者更加根本，即正類的存在——對實數定義必不可少——是在基數理論上加以證明的。實數和基數不屬于同一種類，這一斷言對于邏輯主義具有重大意義。對于弗雷格而言，基數和實數的不同，根本上是因為其應用不同：前者用來計數，后者用來度量。這種不同被弗雷格植入基數和實數的定義中了。如果基數可以用來度量，實數可以用來計數，那么弗雷格再不能以他定義基數和實數的方式定義它們了。關于數的應用和數的定義之間的聯系，詳細的討論見[25]第357-368 頁。定義(D14)如何是如何為實數的應用提供根據的？根據第3 節中的(AR)，說量t是r的x倍，就是說x是量t與r之間的比例。每個實數x都和某個有序對(m,M)一一對應。根據(D14)，說x是量t與r之間的比例，就是說x=R(m,M)，即存在一個正類s使得t,r ∈s且

實數的應用中涉及理想化。如果說長度t和長度r的比例是x，那么，根據上一段所說，存在一個包括t和r的正類，即長度構成的正類。但是，我們無法確定這個正類的存在，而這也是我們以自然數為基礎構造正類的原因。因此，在做出“某物的長度是x 米”這種陳述的時候，我們假定了一個由長度構成的正類。事實上，這種理想化的假定同樣發生在基數的應用中。應用基數的前提是概念的完備性。然而，我們所使用的概念不具有完備性；我們只是假定它具有這種性質。

7 結論

本文詳細討論了庫契拉在集合論的框架中對于弗雷格的實數理論的重構。除了如下兩點之外,這個重構是成功的。第一，庫契拉對于“C∞”的定義是錯誤的。它無法用(D4)中的“上界”這個概念加以定義，而只能用“s-上界”和“s-上確界”這兩個概念加以定義。第二，他對實數加法的定義同樣是錯誤的，因為其在邏輯上預先假定了實數。在庫契拉的重構中，他只證明了量域和實數集是稠密連續有序且具有阿基米德性的阿貝爾群。借助于塔爾斯基的(斷言1)和(斷言2)，我們可進一步推出量域和實數集是戴德金連續的阿基米德有序域。