圓漸開線變截面渦旋壓縮機型線的參數優化

彭 斌, 陶耀輝, 劉慧鑫

(蘭州理工大學 機電工程學院,甘肅 蘭州 730050)

渦旋壓縮機因效率高、噪聲低、振動小、體積小等優點而被廣泛應用于制冷、空調等領域。變截面渦旋壓縮機由于能以較少的圈數實現高壓縮比的優勢,一直是研究的熱點。文獻[1]對變徑基圓漸開線渦旋盤的結構進行了優化;文獻[2]基于控制體積法建立了變壁厚渦旋壓縮機的幾何模型;文獻[3]對變截面渦旋壓縮機的結構及其性能優勢進行了分析;文獻[4]提出一種圓漸開線-高次曲線-圓弧組合的變截面型線,構建了渦旋壓縮機的整體數學模型并進行了試驗研究;文獻[5]利用變徑基圓構建了一種變壁厚渦旋齒,改善了渦旋齒的受力變形,得到在介質壓力作用下的應力分布及變形規律;文獻[6]基于泛函理論對變壁厚渦旋型線進行優化,建立了優化數學模型,得到了優化型線;文獻[7]利用NSGA-Ⅱ算法對變截面渦旋壓縮機進行了優化,并對優化模型與傳統變截面渦旋盤進行了對比;文獻[8]基于Frenet標架建立了圓漸開線變截面壓縮機的數學模型,推導了工作腔容積計算公式,并對傳統變截面渦旋壓縮機做了定量分析;文獻[9]提出一種新型圓漸開線變截面渦旋齒構建理論,并給出了通用模型幾何參數;文獻[10]分析了圓漸開線變截面渦旋壓縮機的幾何性能;文獻[11]利用MATLAB遺傳算法工具箱優化了圓漸開線截面渦旋盤的幾何性能;文獻[12]利用遺傳算法對2種變截面渦旋盤的幾何性能進行了優化,并得出優化后渦旋盤幾何參數的非劣解集。

圓漸開線變截面渦旋壓縮機幾何性能優異,在壓縮比、行程容積和面積利用系數方面比其他變截面渦旋壓縮機優勢更大。在圓漸開線變截面渦旋壓縮機的優化方面,只考慮了幾何性能的優化,忽略了力學性能對渦旋壓縮機的影響,而渦旋壓縮機所受氣體力是引起壓縮機振動、噪聲和泄漏的一個主要原因,尤其當渦旋壓縮機所受的軸向氣體力過大時,會增大壓縮機的軸向間隙,使徑向泄漏量增加,嚴重影響壓縮機的性能。因此有必要對渦旋壓縮機進行幾何性能和力學性能的綜合優化,以構建在壓縮比和軸向氣體力方面都有優勢的圓漸開線變截面渦旋機。

1 型線母線的建立

渦旋齒的母線由3段圓漸開線組成,其中第1段漸開線和第3段漸開線的基圓半徑相同,第2段漸開線基圓半徑比其余2段漸開線的基圓半徑大。

第1段圓漸開線母線方程如下:

(1)

第2段圓漸開線母線方程如下:

(2)

第3段圓漸開線母線方程如下:

(3)

為保證型線的連續性和光滑性,曲率半徑需滿足以下條件:

(4)

(5)

(6)

其中:φ1為第1段圓漸開線最大展角;φ2為第2段圓漸開線最大展角;φe為第3段圓漸開線最大展角;a為第1段和第3段圓漸開線基圓半徑;a1為第2段圓漸開線基圓半徑。為方便計算取x0(φ0)=a、y0(φ0)=0。

由漸開線母線方程生成的母線如圖1所示。

圖1 圓漸開線變截面渦旋齒母線

利用法向等距線法[13]由母線生成圓漸開線變截面渦旋齒,對生成的變截面渦旋齒的齒頭采用雙圓弧修正,雙圓弧修正過程如圖2所示。

圖2 雙圓弧修正

圖2中:γ為修正角;φ為修正展角;λ為圓弧中心角;β為修正底角;Rd、Rx分別為大、小圓弧半徑。以上參數中只有1個參數是獨立的,只要確定1個,即可確定出其他參數。其中γ、λ、φ、β的關系為:

γ=φ-λ+π/2

(7)

λ=π-2β

(8)

φ=cotβ-π/2

(9)

修正后的圓漸開線變截面渦旋齒如圖3所示。

2 優化數學模型的構建

2.1 壓縮腔容積計算

圓漸開線變截面渦旋壓縮機腔體如圖4所示,由內到外分別是第1壓縮腔、第2壓縮腔和第3壓縮腔。

圖4 渦旋壓縮機腔體

2.1.1 第3壓縮腔容積

當第3壓縮腔由第2段和第3段圓漸開線組成時,第3壓縮腔母線長度為:

(10)

第3壓縮腔投影面積為:

A3(θ)=2Ror[L3+Rt(φe-2π)-Rt(φe)]

(11)

第3壓縮腔容積為:

V3(θ)=hA3(θ)

(12)

其中:Ror為回轉半徑;h為渦旋盤齒高。

2.1.2 第2壓縮腔容積

當第2壓縮腔由第1段和第2段圓漸開線組成時,第2壓縮腔母線長度為:

(13)

第2壓縮腔投影面積為:

A2(θ)=2Ror[L2+Rt(φe-4π)-Rt(φe-2π)]

(14)

第2壓縮腔容積為:

V2(θ)=hA2(θ)

(15)

2.1.3 第1壓縮腔容積

1) 當第1壓縮腔由第1段圓漸開線和修正圓弧組成時,第1壓縮腔面積為:

(θ-π/2+δ)3+(φ+π+δ)3-

(φ+π-δ)3]-a2(π-4δ)-2Am

(16)

修正齒頭軸向投影面積Am為:

(17)

第1壓縮腔容積為:

V11(θ)=hA11(θ)

(18)

2) 當第1壓縮腔完全由修正圓弧組成時,第1壓縮腔面積為:

(19)

此時第1壓縮腔容積為:

V12(θ)=hA12(θ)

(20)

其中:δ為漸開線發生角;γ為修正角;φ為修正展角;λ為圓弧中心角;Rd為大圓弧半徑;Rx為小圓弧半徑。

2.2 軸向氣體力

渦旋壓縮機渦旋盤上承受的軸向氣體力是渦旋盤上承受的最重要的氣體力,也是渦旋壓縮機的一個主要缺點。動渦旋盤上承受的軸向氣體力越大,動渦旋盤將沿軸向脫離靜渦旋盤,增加渦旋盤之間的軸向間隙,導致壓縮機徑向氣體泄漏量增加。因此,渦旋盤所受軸向氣體力越小,對渦旋壓縮機的力學性能越有利。

軸向氣體力為:

(21)

其中,p1、p2、p3分別為第1、第2、第3壓縮腔的壓力,計算公式如下:

(22)

其中:ps為吸氣壓力;k為氣體等熵指數。

2.3 壓縮比

壓縮比是衡量渦旋壓縮機幾何性能的一個重要指標,壓縮比越大,渦旋壓縮機容積效率越高。

壓縮比為:

(23)

其中,θ*為開始排氣角,θ*=1.5π-γ。

2.4 型線參數影響分析

由式(21)、式(23)可知,渦旋壓縮機所受軸向氣體力和壓縮比都與連接點1處φ1、連接點2處φ2、修正底角β有關,下面利用控制變量法分別將各個型線參數對軸向氣體力和壓縮比的影響進行分析。

圓漸開線變截面渦旋壓縮機第1段、第2段漸開線連接點1處φ1與壓縮比v、軸向氣體力Fa的關系如圖5所示。

圖5 φ1與壓縮比、軸向氣體力的關系

由圖5可知,隨著連接點1處φ1逐漸增大,圓漸開線變截面渦旋壓縮機的壓縮比和所受軸向氣體力都逐漸減小,其中軸向氣體力的減小速度小于壓縮比的減小速度,說明φ1對軸向氣體力的影響小于壓縮比。因為壓縮比的大小直接影響渦旋壓縮機的幾何性能,軸向氣體力下降的同時,壓縮比減小,不利于渦旋壓縮機的幾何性能,因此需要尋求兩者的非劣解。

圓漸開線變截面渦旋壓縮機第2段、第3段漸開線連接點2處φ2與壓縮比v、軸向氣體力Fa的關系如圖6所示。

圖6 φ2與壓縮比和軸向氣體力關系

由圖6可知,隨著連接點2處φ2逐漸增大,圓漸開線變截面渦旋壓縮機的壓縮比和所受軸向氣體力都逐漸增大,其中軸向氣體力的增加速度大于壓縮比的增加速度,說明φ2對軸向氣體力影響較大。因為軸向氣體力的大小與渦旋壓縮機的力學性能相關,所以軸向氣體力越小,渦旋壓縮機力學性能越好。但是壓縮比增加的同時,軸向氣體力也增加,渦旋壓縮機的徑向泄漏也增加,力學性能變差,因此需要尋求兩者的非劣解。

修正底角β與壓縮比和軸向氣體力的關系如圖7所示。

圖7 β與壓縮比和軸向氣體力關系

與圖5、圖6對比可知,β對壓縮比的影響明顯大于φ1、φ2對壓縮比的影響,對軸向氣體力的影響小于φ1。

由圖7可知,隨著修正底角β的增大,圓漸開線變截面渦旋壓縮機的壓縮比和軸向氣體力都逐漸增大,但是壓縮比和軸向氣體力的增速都逐漸減小,即隨著修正底角的增大,對壓縮比的影響和軸向氣體力的影響逐漸減小。同樣,壓縮比增加的同時軸向氣體力也增加,徑向泄漏增加,對渦旋壓縮機的力學性能不利,因此需要尋求兩者的非劣解。

3 多目標遺傳算法

3.1 多目標遺傳算法

多目標遺傳算法是利用仿生學中的選擇、交叉、變異3個遺傳算子,利用隨機選擇的父代對子代基因進行隨機的交叉和變異,形成新的種群;并在新種群中利用適應度函數進行排序,選擇出適應度較好的個體進行下一次迭代,直至得到最優解。

3.2 目標函數、優化變量和約束條件的選取

由圖5、圖6、圖7可知,壓縮比和軸向氣體力在同一參數的區間變化上呈現相同的變化趨勢,當其中一個目標性能變優的同時,另一個目標性能變差,因此需尋求兩者的非劣解集。因為遺傳算法優化默認的是最小值優化,所以目標函數選擇為壓縮比倒數(1/v)最小和θ=θ*時軸向氣體力(Fa)最小。由于圓漸開線變截面渦旋壓縮機的軸向氣體力和壓縮比有多個初始參數共同作用,因此在優化時,優化變量選擇了相互獨立的變量,即連接點1處φ1、連接點2處φ2和修正底角β。

綜上,得到目標函數、優化變量和約束條件的關系如下:

(24)

3.3 單初始參數的優化

3.3.1 φ1、φ2的優化

由圖5、圖6可知,φ1、φ2都與軸向氣體力和壓縮比的性能好壞成相反的關系,因此利用多目標遺傳算法對目標函數進行優化。分別對φ1、φ2利用多目標遺傳算法進行優化,結果如圖8、圖9所示。

圖8 優化連接點1處φ1

圖9 優化連接點2處φ2

從圖8、圖9可以看出,隨著φ1、φ2的變化,兩目標函數呈現相反的變化趨勢。

各自選取部分非劣解集見表1、表2所列。由表1、表2可知,隨著連接點的變化,兩優化目標的性能無法同時達到最優,而兩表中φ1、φ2的取值則考慮了兩優化目標性能的最優性。

表1 多目標優化下連接點1處φ1的非劣解集

表2 多目標優化下連接點2處φ2的非劣解集

3.3.2 β的優化

對修正底角β利用多目標遺傳算法進行優化,結果如圖10所示。

圖10 優化β

從圖10可以看出,隨著β的變化,兩目標函數呈現相反的變化趨勢。與連接點處φ1、φ2的優化結果對比可知,修正底角β對壓縮比的影響較大,對軸向氣體力的影響較小。這同φ1、φ2、β與壓縮比和軸向氣體力的關系相對應,證明了優化結果的合理性。

選取部分非劣解集見表3所列。由表3可知,隨著修正底角的變化,兩優化目標的性能無法同時達到最優,而表3中β的取值則考慮了兩優化目標性能的最優性。

表3 多目標優化下β的非劣解集

3.4 多初始參數的優化

連接點處φ1、φ2和修正底角β同時變化時對兩目標函數的取值進行優化,結果如圖11所示。由圖11可知,相對于單目標初始參數優化,多目標初始參數優化中軸向氣體力和壓縮比倒數的范圍都更廣,這為圓漸開線變截面渦旋壓縮機設計時參數的取值提供了更大的選擇空間。

圖11 優化φ1、φ2和β

當φ1、φ2、β同時優化時,選取部分非劣解集見表4所列。

表4 多目標優化下φ1、φ2和β的非劣解集

由表4可知,兩優化目標無法同時達到最優,而表4中φ1、φ2、β的取值則同時考慮了兩優化目標性能的最優性。

3.5 優化前、后對比

在相同基圓半徑和終端展角下,在多初始參數的非劣解集中選取一組優化型解集與未優化渦旋盤在壓縮比和軸向氣體力方面進行對比,結果見表5所列。

表5 多目標優化前、后渦旋盤參數對比

表5對比結果表明,經過多目標優化之后的優化型渦旋盤壓縮比提升了16.14%,而軸向氣體力減小了5.62%,有效改善了圓漸開線變截面渦旋盤的幾何性能和力學性能。

4 結 論

本文以圓漸開線變截面渦旋壓縮機為優化對象,分析得到連接點1處φ1與軸向氣體力和壓縮比負相關,連接點2處φ2、修正底角β都與軸向氣體力和壓縮比正相關;結合幾何性能和力學性能對優化對象進行優化,利用多目標遺傳算法分別在單初始參數和多初始參數條件下對目標函數進行優化,得到Fa和1/v的非劣解集;并得出在多初始參數優化下,目標函數的取值比單初始參數優化下范圍更大;從定量角度將非劣解集中的優化型渦旋盤和未優化渦旋盤所受的軸向氣體力和壓縮比進行對比。結果表明,優化型渦旋盤在壓縮比提升16.14%的同時,軸向氣體力降低了5.62%,證明通過算法優化可以有效改善變截面渦旋盤的幾何性能和力學性能。

因此,進行圓漸開線變截面渦旋壓縮機設計時,可以根據相關性能的要求選取滿足設計要求的型線參數,以得到兼顧幾何性能和力學性能的圓漸開線變截面渦旋盤。