混沌光注入半導體激光器中極端事件的演變*

戈杉杉 王騰午 戈靜怡 周沛2)? 李念強2)?

1) (蘇州大學,光電科學與工程學院,蘇州納米科技協同創新中心,蘇州 215006)

2) (蘇州大學,教育部/江蘇省現代光學技術重點實驗室,江蘇省先進光學制造技術重點實驗室,蘇州 215006)

基于相位共軛光反饋混沌激光系統(主激光器)產生的極端事件,研究了將其輸出注入到一個自由運行的半導體激光器(從激光器)的演化情況.通過注入參數空間中極端事件相對數量的二維統計圖分析注入參數對極端事件產生的影響,發現在主從激光器混沌輸出高相關性參數區域,從激光器中的極端事件的相對數量趨向于一個接近主激光器中極端事件相對數量的穩定值;在某些特定的弱相關區域,從激光器中的極端事件的相對數量趨向于增加.研究結果證明了通過光注入控制極端事件的可能性,有利于優化混沌激光系統性能或拓展其應用場景.

1 引言

具有高影響、異常量級、不可預測性和偏離高斯統計特點的異常波(rogue wave,RW)最初是在海洋學中被提出的,用來描述罕見的高振幅海浪,在自然、技術和社會環境系統中受到了極大的關注[1].由于高振幅RW 在現實場景中會造成破壞性影響,因此研究RW 的產生與形成機制是非常有意義的.然而,RW 自身的稀有性以及實驗實施的困難性一直限制著人們理解RW 形成機理.2007 年,Solli 等[2]將光場在光纖中的傳播與海洋中RW 的出現進行類比,引入了光學RW 的概念,即極端事件(extreme event,EE).得益于快速的動態特性,光纖傳輸系統成為檢測EE 的最佳測試平臺之一.此后,EE 的研究進入了一個繁榮期,人們提出了不同的光學系統來分析EE 的產生和演變.線性系統是研究EE最廣泛的系統之一,例如玻璃纖維[3]、隨機介質[4]和線性干涉模型[5]中的線性光傳播.除了上述線性系統,人們還致力于研究產生EE 的非線性系統,如微結構光纖[2]和錐形漸變折射率非線性光纖[6].在這些非線性系統中,主要是利用非線性薛定諤方程來研究EE 的形成機理.近年來,確定性非線性系統,如半導體激光器,被廣泛用于研究EE 的產生,這極大地加速了EE 相關研究的發展.

一方面,具有豐富動力學特性的半導體激光器為理解和預測EE 提供了一個廉價和可控的平臺.另一方面,EE 的行為是理解不同激光系統中基礎物理的有力工具.目前,已經有很多研究集中在受到光注入以及光反饋的半導體激光器中[7?20].例如,Bonatto 等[19]實驗觀察到光注入半導體激光器輸出強度中出現了罕見的巨脈沖,脈沖幅度的長尾概率分布符合EE 的特征.利用最大李雅普諾夫指數(largest Lyapunov exponents,LLE),發現EE只出現在混沌區域,表明這種EE 源于確定性非線性.在后來的工作中,結合相空間軌跡圖,他們進一步證明了確定性EE 是由一個類似混沌危機的過程產生的[9].物理機制的理解為提高注入半導體激光器的性能提供了一條途徑,例如,EE 可以在較長的時間內被預測,并且可以隨著噪聲的變化而增加或抑制其產生概率.此外,時滯非線性光學中也研究了EE 的形成[7,8,12,14,16].例如,Dal Bosco 等[7]報道了一個光學時滯系統的脈動動力學中的極端事件,研究了反饋強度對極端事件性質的影響.Reinoso 等[8]對具有光反饋的半導體激光器在短腔區產生的脈沖進行了數值研究,發現對于某些參數,偶爾會產生高到足以被認為是極端事件的脈沖.2015 年,Mercier 等[12]在一個相位共軛反饋的激光二極管中觀察到與異常涌浪具有相似統計特性的極強脈沖,證實了EE 產生于自脈動解的一系列分岔,即外腔模式.

盡管具有光注入或光反饋的半導體激光器中EE 的研究已經得到了相當多的關注,但是對于兩者相結合的系統中EE 的產生與調控仍然缺乏深入和全面的研究.一個有趣的問題是,具有EE 的光反饋主激光器(master laser,ML)的混沌輸出注入到一個從激光器(slave laser,SL)中,是否能夠觸發、增強或抑制從激光器中EE 的產生.近期,Huang 等[17]通過實驗研究了受到混沌光注入的SL中EE 的演變,其中ML 受到傳統光反饋(conventional optical feedback,COF).他們揭示了注入參數對SL 中EE 出現的重要性,在所選擇的注入參數范圍內,可顯著提高EE 的出現概率,SL 中EE 的出現與注入鎖定機制相關聯.相位共軛反饋(phaseconjugate feedback,PCF)是另一種類型的光反饋,與COF 相似,在適當的工作條件下,PCF 可以誘導出混沌動力學[21].然而,相比于COF,對于相同的系統固有參數和操作參數(延遲、泵浦電流和反饋強度),PCF 系統產生的混沌帶寬更大,光譜平坦度更優以及復雜性更高[22],這些優越特性增加了使用PCF 代替COF 的內在優勢,即反饋場的自對準和高反饋耦合效率.相位共軛反射鏡也很容易實現,例如,利用自泵浦的、適當對齊的光折變晶體的內部反射率[23].因此,本文致力于利用PCF代替COF,進一步研究PCF 與光注入相結合的混沌光注入系統中EE 的產生與調控.基于此,對基于PCF 的混沌光注入系統(chaotic optical injection system based on PCF,COIS-PCF)進行了數值模擬,研究輸出中EE 的演變情況,通過討論不同注入參數的選擇對EE 出現的作用,發現當主從系統的互相關系數(cross-correlation coefficient,CC)進入部分區間內(如0—0.2,0.4—0.6),SL 中會對EE出現產生明顯的增強作用.此外,還發現調節反饋強度和ML 的泵浦電流大小也會對系統中EE 的出現產生影響.

2 理論模型

基于Lang-Kobayashi 模型提出了下列的方程用于描述當前研究的系統[24?26],其中ML 方程為

式中,下標M 和S 分別代表主激光器ML 和從激光器SL;E(t)和N(t)表示慢變電場和載流子密度;G為光增益;g為差分增益系數;ε為增益飽和系數;α為線寬增強因子;N0為透明載流子數;τp為有源區內光子的壽命;τe為有源區內載流子的壽命;J為泵浦電流(Jth為閾值電流);q為電子電荷;?PCM為相位共軛反射鏡引起的相移(不失一般性,假定?PCM=0);kf為反饋強度;τM為主激光器中的反饋時延;fML為主激光器的中心頻率;kinj為注入強度;τc為注入時延(不失一般性,假定τc=0);Δf為主從激光器頻率失諧(Δf=ΔfML– ΔfSL,其中fSL為從激光器的中心頻率).

這里采用四階龍格-庫塔算法來解方程(1)—方程(6),選取步長h=1 ps,仿真時長為11 μs,選取后10 μs 計算EE 的相對數量.激光器的參數取值為[12,24?26]:

為了描述兩個激光器之間的相關性,計算了互相關系數CC,表達式如下[27?29]:

其中I(t) 表示強度時間序列;下標M 和S 分別表示ML 和SL;Δt為時間偏移;〈·〉 為時間平均值.CC值越大,兩激光器輸出之間的相關性越高.特別地,值為1 對應于完全同步,而值為0 表示沒有相關性.

這里定義事件為序列中的局部極大值,而為了將EE 與所有其他事件區分開來,采用了一種常見的標準異常指數(abnormality index,AI),該指數在以往的研究中被廣泛使用[12,16,30?32].一個事件n的AI 被定義為

其中Hfn為事件n的峰值高度與該序列所有事件平均高度之差,而H1/3為Hfn中最高三分之一事件峰值的平均值.如果一個事件n的異常指數滿足AIn≥2,該事件即為極端事件.此外,EE 的相對數量表示強度時間序列中的EE 占所有峰值的比例.

3 結果與討論

首先,研究了作為混沌注入信號源ML 中的時序.圖1 為ML 的輸出時序和峰值強度的概率密度函 數(probability density function,PDF).結合圖1 中PDF 呈現的長尾特征和ML 的輸出時序,很容易知道ML 處于混沌狀態.經計算,在反饋強度kf=9 ns–1時,ML 中EE 的相對數量為1.84%,當反饋強度增加到kf=15 ns–1,EE 相對數量增加到3.13%,再進一步增加反饋強度到kf=30 ns–1,EE 相對數量減小為2.29%.事實上,增加反饋強度會使帶有PCF 的半導體激光器振蕩在一個或幾個諧波頻率越來越高的外腔模式之間[14],正如圖1(a1)—(c1)所示,在10 ns 的時間范圍內,隨著反饋強度增加,脈沖數量逐漸增多.當反饋強度從9 ns–1增加到15 ns–1時,由于反饋強度的增加,激光器可能工作在更高階的外腔模式下,于是在固定的時間間隔內更多的高強度脈沖出現,EE 的相對數量增加.而反饋強度從15 ns–1增加到30 ns–1時,由于更多強度低于EE 閾值的脈沖產生,因而EE 的相對數量減小.這些分析表明反饋強度可顯著影響EE 的產生,類似的現象在帶有COF 的垂直腔面發射激光器(vertical-cavity surface-emitting laser,VCSEL)中也被觀察到[30].

圖1 ML 的時序圖和峰值強度的統計分布圖(紅色虛線和豎線代表極端事件的閾值AI=2) (a) kf =9 ns–1;(b) kf =15 ns–1;(c) kf =30 ns–1Fig.1.Time series and statistical distributions of peak intensity in ML (Red dashed lines and vertical lines represent the threshold of EEs,AI=2): (a) kf =9 ns–1;(b) kf =15 ns–1;(c) kf =30 ns–1.

接著,分析SL 輸出中的EE 情況.這里選擇了一個適中的注入強度kinj=100 ns–1和反饋強度kf=15 ns–1,展示了三種頻率失諧下的SL 中的時序和對應的峰值強度的PDF.圖2(a)為頻率失諧為正失諧Δf=15 GHz 時的情況,此時在10 μs的時序中EE 的相對數量為2.12%;在圖2(b)所示的零失諧情形中,EE 的相對數量為4.71%;而圖2(c)對應負頻率失諧Δf=–20 GHz,通過計算得到EE 的相對數量為1.29%.相比于零失諧情形,在正失諧的情形中,可以在固定的時間間隔內觀察到更多的高強度振蕩脈沖,這導致EE 的閾值顯著變高,一些原來剛高于零失諧閾值的EE,由于新閾值變高不再是EE,因而EE 的相對數量較零失諧情形下有所降低.同樣,負失諧情形中,也可以在固定的時間間隔內觀察到更多的振蕩脈沖,但是出現的主要是強度不太大的脈沖,很少有高強度脈沖出現,甚至零失諧中的部分高強度脈沖被抑制,導致EE 的閾值和零失諧閾值相比幾乎不變,同時由于更多低于閾值的脈沖的出現,這種情形下EE 的相對數量低于零失諧情形.由以上結果可以知道,頻率失諧也可以影響EE 的產生.

圖2 kf=15 ns–1,kinj =100 ns–1 時,SL 的時序圖和峰值強度的統計分布圖 (紅色虛線和豎線代表極端事件的閾值AI=2) (a) Δf=15 GHz;(b) Δf=0 GHz;(c) Δf=–20 GHzFig.2.Time series and statistical distributions of peak intensity in SL at kf =15 ns–1 and kinj =100 ns–1 (Red dashed lines and vertical lines represent the threshold of EEs,AI=2): (a) Δf=15 GHz;(b) Δf=0 GHz;(c) Δf=–20 GHz.

下面研究注入強度對SL 中EEs 的影響.圖3展示了在 Δf ∈[-20,15]GHz,kf∈[9,30]ns-1條件下,EE 相對數量隨注入強度kinj的變化情況.在零失諧情形下,SL 中EE 的相對數量幾乎在整個參數范圍內都是高于ML 中EE 的相對數量,表現為增強作用.對于負失諧的情形,即Δf=–20 GHz時,當注入強度約小于150 ns–1時,SL 中EE 相對數量低于ML,表現為抑制作用,超過150 ns–1,SL中EE 相對數量主要表現為增強作用.對于Δf=15 GHz 正失諧情形,EE 的相對數量會隨著注入強度的增大先增大后減小,隨著注入強度的進一步增大,EE 的相對數量會再次增加并逐漸達到飽和,在整個注入強度的參數范圍內,EE 的相對數量會在一些區域被抑制,另外一些區域被增強,當反饋強度達到30 ns–1,EE 相對數量得到增強的區域最為廣泛.通過比較圖3(a)—(c),發現隨著反饋強度增加,零失諧和負失諧情形中,SL 中EE 相對數量得到增強的參數范圍幾乎不發生改變,而在正失諧情形中的EE 相對數量得到增強的參數范圍先縮小,后擴大.因而可知: 注入強度對SL 中EE 的相對數量的增強、抑制同樣也很關鍵,同時注入強度的作用還會受到反饋強度的影響.

圖3 SL 中EE 的相對數量隨著注入強度變化情況(灰色虛線代表ML 中EE 的相對 數量) (a) kf =9 ns–1;(b) kf =15 ns–1;(c) kf =30 ns–1Fig.3.Relative number of EEs versus injection strength(Gray dashed lines represent the relative number of EEs in ML): (a) kf =9 ns–1;(b) kf =15 ns–1;(c) kf =30 ns–1.

為了全面研究SL 中EE 相對數量隨注入參數的變化情況,圖4(a1)—(c1)展示了不同反饋強度下SL 中EE 相對數量隨注入參數 Δf,kinj變化的二維圖.圖4(a1)—(c1) ML 中的EE 相對數量分別為1.84%,3.13%,2.29%,圖中的藍色區域表示SL 中EE 相對數量受到抑制,黃綠色區域表明SL 中EE 的相對數量接近于ML 中EE 的相對數量,深紅色區域對應EE 相對數量得到增強.考慮到SL 中EE 的發生可能與ML 和SL 之間的相關性有關,還展示了注入參數空間中對應的CC 的二維映射圖,如圖4(a2)—(c2)通過三種反饋強度的比較可以發現,隨著反饋強度的增加,用暗紅色標記的高相關性的區域在選定的參數空間中越來越小.值得注意的是,在該區域內反饋強度為9 ns–1時,SL 中EE 的相對數量接近于ML 中EE 的相對數量.然而,隨著反饋強度的增大,例如,反饋強度為15 ns–1以及30 ns–1時,高相關性區域內EE的相對數量顯著增加.有趣的是,在該區域之外,當CC 在0.4—0.6,對應圖4(a2)—(c2)中的黃綠色區域時,相應的參數區域在圖4(a1)—(c1)均被標記了暗紅色,也就是說,在三種不同的反饋強度下,正負失諧部分都存在EE 相對數量得到明顯增強的區域.進一步觀察,還發現該增強區有逐漸擴大的趨勢,同時負失諧增強區始終大于正失諧增強區,這揭示了非零線寬增強因子帶來的關于零失諧的不對稱行為[2].此外,在圖4(a2)—(c2)中的藍色區域,即CC 低于0.2 時,在對應的圖4(a1)—(c1)中正失諧部分還有一塊暗紅色增強區域,該增強區域的產生類似于已經報道的傳統光反饋形成的混沌光注入系統 (chaotic optical injection system based on COF,COIS-COF)[17].上述討論表明: 在ML和SL 相關性不高的特定參數區域中,SL 中EE 相對數量可能會被增強,尤其在CC 處于0.4—0.6時,被增強的概率很大,當CC 低于0.2 時,正失諧參數下EE 的產生也可能被增強.而反饋強度的增大,一方面可以擴大高相關系數外的增強區域,另一方面可以增加高相關性區域內的EE 相對數量.

圖4 COIS-PCF 中EE 相對數量在注入參數空間內的二維圖(a1)—(c1)以及對應的主從激光器互相關系數的二維映射圖(a2)—(c2) (a) kf =9 ns–1;(b) kf =15 ns–1;(c) kf =30 ns–1Fig.4.Maps of relative number of EEs generated from the COIS-PCF in the injection-parameter space (a1)–(c1) and corresponding CC between the ML and SL (a2)–(c2): (a) kf =9 ns–1;(b) kf =15 ns–1;(c) kf =30 ns–1.

下面考慮在COIS-PCF 中調節ML 的泵浦電流JM對EE 產生的影響.在討論SL 之前先討論ML中產生的EE.為了便于討論,固定了ML 的反饋強度kf=30 ns–1和閾值電流Jth=14.7 mA,只調節ML 的泵浦電流.通過觀察圖5 中展示的不同泵浦電流下ML 中的時序和對應的峰值強度的PDF,很容易知道ML 輸出均處于混沌狀態,都有少量EE產生,經計算其相對數量分別為2.29%,1.90%,1.30%,1.36%.對于圖5(a)—(c),盡管隨著泵浦電流變大,有高強度的脈沖出現,但信號時序的平均強度增加使得EE 的閾值變高,導致EE 的相對數量降低.而在圖5(c),(d)中,泵浦電流進一步增加,由于激發強度較小的脈沖數量變少,后者中EE 相對數量反而略高于前者.由此可知,ML 的泵浦電流JM同樣影響著EE 的產生.

圖5 kf =30 ns–1 時,ML 的時序圖和峰值強度的統計分布圖 (紅色虛線代表極端事件的閾值AI=2) (a) JM=1.05Jth;(b) JM=1.30Jth;(c) JM=1.50Jth;(d) JM=2.00JthFig.5.Time series and statistical distributions of peak intensity in ML at kf =30 ns–1 (Red dashed lines and vertical lines represent the threshold of EEs,AI=2): (a) JM=1.05Jth;(b) JM=1.30Jth;(c) JM=1.50Jth;(d) JM=2.00Jth.

接著我們進一步研究JM對SL 中EE 的影響.圖6(a1)—(d1)為JM/Jth∈[1.05,2],kf=30 ns–1條件下,SL 中產生EE 的相對數量隨注入參數Δf和kinj變化的二維圖,其中ML 的EE 相對數量分別為2.29%,1.90%,1.30%,1.36%,對應圖中淡藍色區域.同樣地,圖6(a2)—(d2)也展示了注入參數空間中對應的CC 的二維映射圖.通過對比4 種JM的映射圖,發現隨著JM不斷增加,參數空間中用暗紅色標記的ML,SL 高相關性區域不斷擴大,而在高相關性區域參數下SL 中產生EE 的相對數量均趨向于一個接近ML 中EE 相對數量的穩定值,并且類似于圖4,主從激光器CC 在0.4—0.6 的參數區域也出現了紅黃色的增強區域.值得注意的是,在圖6(a2)中CC 低于0.2 的藍色區域對應的參數下,盡管在正失諧部分有EE 增強區,卻并未在負失諧部分觸發EE 增強區,但當JM不斷增加,如圖6(b1)—(d1)所示,負失諧部分逐漸產生了一塊不斷增大的紅黃色增強區.于是可以得出結論: ML 的泵浦電流JM增加會導致參數空間中高相關性區域的擴大,同時促進低相關性區域中EE 負失諧增強區的產生與增大.

圖6 COIS-PCF 中EE 相對數量在注入參數空間內的二維圖(a1)—(d1)以及對應的主從激光器互相關系數(a2)—(d2) (a) JM=1.05Jth;(b) JM=1.30Jth;(c) JM=1.50Jth;(d) JM=2.00JthFig.6.Maps of relative number of EEs generated from the COIS-PCF in the injection-parameter space (a1)–(d1) and corresponding CC between the ML and SL (a2)–(d2): (a) JM=1.05Jth;(b) JM=1.30Jth;(c) JM=1.50Jth;(d) JM=2.00Jth.

4 結論

本文對COIS-PCF 系統進行仿真,數值分析了混沌輸出中EE 的特性.通過觀察可知在研究的參數范圍內,作為注入源的ML 和被注入的SL 始終工作在混沌狀態,輸出中均有EE 的產生.接著討論了注入參數對輸出中EE 相對數量的影響,結果表明: 在高相關性參數區域,SL 中EE 的相對數量趨向于一個接近ML 中EE 相對數量的穩定值;在CC 處于0.4—0.6 的參數區域,有很大概率會出現EE 的增強區;而CC 低于0.2 的區域僅在正失諧部分有增強區的出現.進一步,發現對于相同的注入參數范圍,反饋強度的增加不僅會擴大增強參數區域,還會增加高相關性區域內的EE 相對數量.此外,在一個適當的反饋強度條件下,不斷增加ML 的泵浦電流并進行比較,發現ML 泵浦電流的增大會導致主從系統有更大的鎖定參數范圍,還會在負失諧部分產生一個不斷擴大的EE 增強區.