讓學生在結構化教學中感悟運算的一致性*
——以“分數除以整數”教學為例

陽海林

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）指出，課程內容的組織重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑。數學課程的結構化特征，在內容設計上體現了整體性、一致性和階段性。內容結構化為教師引導學生從整體上深刻理解主題的內容和方法，促進學生核心素養的發展提供了條件。在教學活動中，教師要充分考慮學科的核心概念，從體現核心概念的關鍵內容入手，促進學生理解學科本質，逐步發展核心素養。

關鍵內容是指能更好地體現所學內容的學科本質和核心概念的內容，其中蘊含著相關的核心素養。學生對關鍵內容的深刻理解可以促進其對數與運算內容本質的理解，有助于其溝通知識之間的聯系，深刻感悟運算一致性。“分數除法”是“數與運算”主題的關鍵內容。下面，本文以“分數除法”單元中“分數除以整數”的教學為例，來談談如何通過設計關鍵內容和教學方式，溝通“分數除以整數”與“一個數除以分數”之間的聯系，促進學生在結構化的學習中理解算理、掌握算法，感悟運算的一致性，發展運算能力和推理意識。

一、厘清核心概念，明確關鍵內容

核心概念有助于學生更好地理解和強化更多的知識與方法，并將其運用于新場景的學習之中。數的運算的重點在于理解算理、掌握算法，與算理直接相關的核心概念是“計數單位的‘累加’（這里的‘累加’可以擴展至減少（減法）、連續累加（乘法）、連續減少（除法））”。數與運算的結合不僅能促進學生理解算理、掌握算法，也有助于學生從運算的角度進一步理解數的意義，有利于學生數感、符號意識、運算能力、推理意識等核心素養的發展。

“分數除法”單元的核心內容是分數除法的算理理解和算法掌握。分數除法的算理和算法與整數除法有著密切的關系，需要追溯到整數除法運算的含義的教學，教師教學時有必要喚醒學生這方面的經驗，特別是對核心概念“計數單位個數‘累加’”的運用。學生對分數度量意義的理解對于其理解分數除法的算理而言至關重要，教師教學時應注意采用恰當的方式引導學生運用分數的度量意義理解算理。

分析“分數除法”單元的相關知識內容可知，“分數除以整數”可以作為“分數除法”單元的關鍵內容，它直指分數除法運算，學生直接要解決的問題是被除數是分數時怎樣計算，可借助這個問題理解分數除法的算理和算法。

學生要真正理解算理并掌握基本算法，需要逐步達成以下四個層次的目標：一是能理解數的結構以及算式的意義；二是能有自己的計算方法并說明理由；三是能理解不同的方法，且能夠對不同的方法進行比較；四是能在表征、比較的基礎上提煉通法。基于此，學生理解分數除以整數算理的表現為：第一，能夠結合具體情境，根據等分除的含義列出分數除以整數的算式，同時能夠畫圖表征分數“部分與整體”以及分數的“度量意義”；第二，能結合圖形表征，自主探索分數除以整數的算法，除以一個整數相當于求它的幾分之幾是多少或者是把幾個分數單位平均分成幾份；第三，在不同方法的對比中，理解每一種運算的方法，為提煉通法做好鋪墊。“分數除法”的一般算法需要在學習“分數除以分數”之后再提煉，因此，對“分數除以整數”的算理的理解只需達到上述第三個層次的目標即可。

二、學的結構化的路徑設計

學的結構化是指要對學生的學習內容做結構化的分析和設計，從而使其更好地習得數學學習的方法論，形成思維結構。如此，教師不僅需要厘清單元、課時內容的縱橫關聯，還需以學生的數學學習經驗為起點，將新知、未知納入已知模式。以人教版教材為例，“分數除以整數”的例題有兩個小題，第一小題是：“把一張紙的平均分成2 份，每份是這張紙的幾分之幾？”第二小題是：“如果把這張紙的平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？”教材引入“分數除以整數”的模型是“等分除”；表征形式包含程序表征、直觀表征、抽象表征。

為了更好地了解學生的學習起點，筆者組織學生進行了前測。以第一小題為例，有50%的學生用分子與除數直接相除的方法來解決，，并能說出理由“表示4 個，把4 個平均分成2 份，每份是2 個，即”。有35%的學生想到用來解決，在解釋道理時，一部分學生知道“除以一個數等于乘它的倒數”，但難以進一步解釋“除以一個數為什么等于乘它的倒數”；還有一部分學生能結合除法運算的含義和分數乘法的意義來解釋“把平均分成2 份，求每份是多少，就相當于求的是多少”。從單元整體教學的視角來分析，用乘法來解決“一個數除以分數”時，學生很難結合情境解釋這樣算的道理；而用分子與除數直接相除的方法，在不同的情境中都適用，且更能體現運算的一致性——“計數單位的連續減少”。只是這種方法在分子不能整除整數時需要先通分，把被除數的分子變成可以除盡除數（或除數的分子）。這樣也更能說明分數除以整數的例題中需要出現的情況，從而讓學生感受到，在不同情境中需要自主運用已有的知識經驗和方法來進行探索和遷移，這能使他們不僅明白怎么算，還能理解這樣算的道理。

基于以上分析，學生在學習分數除以整數時的路徑如下：首先，在等分除的情境中列出除法算式，并能解釋除法算式和分數表示的含義（特別是分數度量的含義）；其次，結合已有的知識經驗自主探索分數除以整數的方法，并結合圖和文字解釋這樣算的道理；再次，在分子不能整除除數的情況下，進一步思考可以把被除數變成大小相同且能整除的分數再除；最后，通過梳理和對比不同的算法，理解在計算分數除以整數時可以運用以前學過的知識來解決，并為后續學習一個數除以分數奠定基礎。

三、教的結構化的策略設計

教的結構化是指教師以結構化的方式表達自己對教學的思考，建構“從一節課到一類課”的整體教學框架，引導學生結構化地思考。

1.創設情境，提供探索空間

情境的創設要考慮充分激活學生的已有認知，為學生提供自主探索的廣闊空間。從教學內容分析和學情前測來看，在創設分數除以整數的情境時，“等分除”的模型既能幫助學生解釋“”，又有助于其解釋“4 個平均分成2 份，每份是2 個”。另外，情境中“一張紙的”更有助于學生想到用“面積模型”來直觀表征計算的方法和道理。因此，教學時可以采用人教版教材中“等分除”的情境——“把一張紙的平均分成2 份，每份是這張紙的幾分之幾？”

2.精心組織，聚焦核心問題

教師精心設計教學，把學生零散的、個別化的思考關聯起來，能促進學生結構化地思考。教學任務一“把一張紙的平均分成2 份，每份是這張紙的幾分之幾？”時，當學生通過獨立思考呈現計算過程和表征方式以后，應該選擇不同層次的作品，按照一定的順序組織學生討論，引導學生讀懂每一種計算方法。例如，首先呈現用分子直接除以除數的方法“”，引導學生遷移運用分數乘整數的方法，同時結合圖解釋計算的道理，這更易于學生理解，能讓更多學生卷入學習；然后呈現把除法轉化為乘法的方法“”，這種方法側重于解釋“除以2為什么等于”，讓學生關注這樣算的道理和意義。在任務一的討論中，只要學生能解釋清楚計算的過程和道理即可，不需要他們去做方法的概括和優化。教學任務二“如果把這張紙的平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？”時，則要關注學生遇到分子4不能除盡3時是如何思考的。在教學反饋時，要先反饋不能平均分成3 份，怎么辦？通過討論，學生會發現：可以把的方法，然后組織學生討論：4 個化成與之大小相同的，12 個平均分成3 份，每份是4 個，即。同時，這里需要追問學生：為什么要把化成？一方面，讓學生理解，根據分數的基本性質，分子與分母同時乘3，分數大小不變；另一方面，分子變成12 就可以除盡3 了。因為有“異分母分數加減法先通分后計算”的經驗，學生對于這種“先通分再除”的方法也較容易理解，且這種方法也是他們自主探究一個數除以分數時的重要方法，所以需要教師在學生自主探究遇到挑戰時，及時把握學情，設計關鍵問題，引導學生通過討論達成共識。

3.多元表征，實現方法遷移

借助多元表征，有助于學生清晰、準確地解釋計算的道理。比如，教學任務一時，在學生列出算式“”后，教師追問：這里的=表示什么意思？讓學生結合情境解釋是把一張紙的平均分成2 份，從而把現實情境轉化為符號表征。還有教師在解釋的道理時，讓學生結合直觀圖解釋“表示什么意思”“分子4÷2 表示什么意思”“結果表示什么意思”。這些關鍵問題的追問，能讓學生把圖示表征和符號表征聯系起來，既能使他們理解計算的道理，又能為其探究算法提供更多思路。另外，在解釋的算法時，教師同樣讓學生把在圖中表示出來，以便于讓更多學生看到，把變成，分數大小沒變，但分數單位發生了變化，使其深刻感悟運算的一致性，充分積累感性經驗。

4.目標導向，注重知識生長

“分數除法”通法的算法和算理，需要學生學完分數除以分數以后再進行對比、概括與提煉。因此，在“分數除以整數”的教學中，不需要過早地進行方法的對比和優化，只要為一個數除以分數的學習做好探索算法和理解算理的經驗積累即可。比如，在研究學習時，學生結合已有的知識難以解釋；但發現可以通過“通分”把它們的分母變成15，然后計算，即。這種“先通分再除”的方法既是在分數除以整數的方法上生長出來的，又能幫助學生認識到分數除法的計算方法和算理與整數除法的計算方法和算理的一致性。更重要的是，學生的這種認識是在自主探索的過程中發現的，是自主生成的，是自動習得的。