共軌飛行航天器軌道特性分析

張相宇 田百義 汪中生

(北京空間飛行器總體設計部,北京 100094)

隨著我國空間站的全面建成,一種新的與空間站保持長期共軌飛行,在必要時可與空間站交會對接進行燃料補給、維修和設備更新換代的飛行模式被提了出來[1]。這種模式既不對空間站的主任務造成影響,還將空間站視為在軌服務平臺從而擴展了空間站的應用范圍。共軌飛行期間空間站按照自身的任務目標進行軌道維持,共軌飛行航天器以空間站軌道為基準進行相對軌道控制,平時在距離空間站一定的相位范圍內自主獨立飛行,對空間站的軌道無任何約束,需要維護時通過遠程導引、近程導引與空間站實現交會對接。為了保證在任何時刻以較小的代價且較快實現與空間站的交會對接,需要將共軌飛行航天器的軌道限制在相對空間站軌道面內、面外一定范圍[2-4]。這種飛行模式既不同于現有編隊飛行任務中將多顆衛星作為一個整體進行軌道控制[5];也不同于對航天器的近距離繞飛、伴飛任務,其輔星采用基于C-W方程的相對運動控制[6]。

共軌飛行可擴展為兩在軌飛行航天器的長期近共面飛行問題。文獻[2]針對載人航天任務中與空間站保持長期共軌飛行的軌道問題,分析了航天器在J2項攝動、大氣阻力攝動和軌道機動下,升交點赤經和相位的相對變化,但并沒有給出兩者之間的直接關系,僅給出了一種控制策略和誤差的仿真算例,并未從解析的角度分析誤差的演化關系。文獻[3]以與空間站共軌飛行的光學艙補給燃料為背景,基于虛擬共面的思想提出了一種減小軌道面外沖量的共軌飛行器位置部署方法,得到的相位與升交點赤經部署關系的相對誤差小于3%,但該方法沒有考慮大氣阻力和軌道機動的影響。文獻[7]針對小衛星與共軌目標星之間的交會問題,基于相對運動模型采用Lambert算法設計了制導策略使小衛星在固定時間內與目標星相遇,但未給出共軌飛行期間的軌道參數關系。文獻[8]應用GNSS數據擬合衛星的半長軸,給出了星座緯度幅角和半長軸之間的關系,提出了星座構型的自主維持策略,但該方法僅給出了面內的關系,且未對星座運行中的誤差進行分析。

與空間站長期共軌飛行的航天器軌道維持問題中,兩航天器的軌道衰減率不同、主星軌控時機不定、共軌飛行軌道面還需滿足后續交會對接的共面條件,這些因素給共軌策略的設計帶來了較大挑戰,本文基于共軌飛行的相對軌道參數演化關系,考慮J2攝動、大氣阻力、軌道機動等因素,推導升交點赤經、傾角、相位、半長軸等相對參數間的解析關系,在此基礎上針對空間站共軌飛行任務等工程應用背景設計了標稱共軌軌道,制定了共軌飛行維持策略,進行了共軌飛行誤差分析,包括定軌誤差、控制誤差、環境預報誤差和面質比誤差等帶來的共軌飛行過程中升交點赤經偏差和相位偏差的解析表達式的推導,以及相應的數值分析算例,所得分析結果在空間站共軌飛行任務中有重要應用價值。

1 共軌飛行相對軌道參數的關系

環繞地球低軌飛行的航天器在軌飛行過程中軌道參數變化主要受到大氣阻力、J2攝動、太陽引力攝動和軌道控制的影響。其中大氣阻力會使軌道半長軸減小,但不改變軌道面,對軌道傾角和升交點赤經無直接影響。J2攝動為地球非球形攝動的主要項,對軌道面影響較大,對半長軸a、偏心率e和傾角i的影響是周期性的,不存在長期攝動項。太陽引力攝動主要影響軌道傾角,對于軌道高度相近的兩低軌航天器,軌道傾角的相對變化量為小量[9]。

對于近圓軌道下共軌飛行的航天器,主要關注其相對于主航天器的半長軸、傾角、升交點赤經和相位等各參數之間的相互影響關系,其中傾角變化較小可單獨考慮。本文主要分析相對軌道參數,即兩航天器之間的半長軸差Δa、升交點赤經差ΔΩ和緯度幅角差Δθ(相位)之間的關系,在此基礎上提出共軌飛行的軌道維持策略和誤差分析方法。

1.1 升交點赤經差、半長軸差與相位的關系

1.1.1 升交點赤經差隨時間的變化關系

考慮J2攝動的影響,升交點赤經的變化為

(1)

(2)

1.1.2 相位隨時間的變化關系

為推導相位隨時間的變化關系,考慮軌道角速度方程

(3)

式中:n為軌道平均角速度,對式(3)取變分再積分可得衛星在軌道上的角位置相對標稱位置的相位偏差

(4)

1.1.3 相位與半長軸差的變化關系

(5)

圖1以空間站共軌飛行任務為例,采用高精度軌道預報模型,仿真得到的不同初始半長軸差對應的相對相位演化關系,其中初始半長軸差分別為Δa=1km、Δa=2km、Δa=2.5km和Δa=3km,其最遠相位分別為-33.4°、-75.9°、-110.6°和-155.6°,可見通過對共軌飛行航天器初始半長軸的偏置,可以將共軌飛行的相位維持在一定范圍內。

圖1 不同初始半長軸差對應的相對相位演化Fig.1 Evolutions of relative phase corresponding to different initial semi-major axis

1.1.4 升交點赤經和相位之間的關系

根據式(2)和式(4),可得到升交點赤經差和相位差之間的關系

(6)

由式(6)可知,升交點赤經差與標稱軌道半長軸的倒數的平方、傾角和相位差有關。考慮到兩共軌飛行航天器的半長軸和傾角的偏差較小,因此在設計過程中可將系數k近似為常值。在共軌飛行任務中,通過半長軸偏置和定期軌道維持,可將兩器相角差維持在一定范圍內,則式(6)表明兩器的升交點赤經差也會維持在一定范圍內,即是被動穩定的。

表1給出了目標軌道高度在380～410km之間,傾角在40°～43°之間,不同組合下k值的計算結果。

表1 不同傾角和高度下k值Table 1 Value of k in different initial inclination and altitude

從表1可知,相同傾角下,目標軌道高度380～410km內升交點赤經差與相位差的線性系數(斜率)k的偏差僅0.44%。

1.2 傾角對升交點赤經的影響

在僅考慮傾角變化的情況下,對式(1)取變分再積分可得

(7)

式中:Δi為傾角變化量,式(7)也給出了傾角誤差對升交點赤經影響的解析表達式。可以看出,升交點赤經偏差與初始傾角偏差成正比。當傾角存在初始偏差,升交點赤經偏差隨時間線性增加。

2 標稱共軌飛行軌道和軌道維持策略

在與空間站長期共軌飛行的航天器軌道設計中,需要考慮兩航天器的軌道衰減率不同、主星軌控時機不定和轉交會對接軌道的共面約束等因素,本節以目標航天器(空間站)自由飛行且定期進行軌道維持的任務場景為例,說明前述分析結果在標稱共軌飛行軌道設計中的應用,包括所得標稱共軌飛行軌道特性和軌道維持策略的設計結果。數值計算中采用的軌道模型包括:①地球引力場模型采用JGM3的32×32階次引力場模型;②太陽、月球三體引力;③采用NRLMSISE 2000大氣模型,其中Kp=3,F10.7指數分別考慮F10.7=120、F10.7=110和F10.7=130;④目標航天器的面質比為0.0056m2/kg,共軌飛行航天器的面質比為0.0068m2/kg。軌道參數統一采用平根進行描述。

2.1 標稱共軌飛行軌道

根據前面討論的不同初始半長軸差對應的相位演化關系,可以通過在預定初始相位設置共軌飛行航天器與目標航天器的半長軸差,將標稱共軌飛行軌道設計成類似圖1所示的包含定期升軌維持的周期性飛行軌道。

不失一般性,標稱情況下考慮空間環境的F10.7=120,目標航天器初始軌道高度為400km,傾角為40°。假定目標航天器的高度維持在380～400km,其控制規律為當高度降低到380km時進行軌道維持。首先通過仿真計算在空間環境F10.7=120情況下,目標航天器的控制周期為95.889天。然后設計共軌飛行航天器與目標航天器同步控制,其初始時刻在目標航天器后方20°相位處,一個目標航天器軌道維持周期內,共軌飛行航天器從后方20°相位逐漸遠離目標航天器,然后再回到后方20°相位處。通過式(4)計算得到的初始半長軸為2.365km,數值仿真計算的初始半長軸為2.243km,偏差5.2%。

圖2和圖3分別為共軌飛行航天器在共軌飛行期間相對目標航天器的相位和升交點赤經隨時間的變化關系,可以看出相位和升交點赤經的變化規律剛好相反,且解析法也較好地近似了兩個參數的變化規律。圖4為共軌飛行航天器相對目標航天器的半長軸和相位的關系,初始時刻共軌飛行航天器半長軸大于目標航天器,因此逐漸遠離目標航天器,但由于其面質比較目標航天器大,當其半長軸衰減到與目標航天器半長軸一致后半長軸小于目標航天器,因此逐漸接近目標航天器,其間最遠端相位為91.5°。

圖2 共軌飛行相位隨時間的變化曲線Fig.2 Curves of phase change with time during co-orbital flying

圖3 共軌飛行升交點赤經隨時間的變化曲線Fig.3 Curves of RAAN change with time during co-orbital flying

圖4 共軌飛行半長軸-相位關系Fig.4 Relationship between semi-major axis and phase during co-orbital flying

圖5為共軌飛行相位和升交點赤經之間的關系,按共軌飛行航天器遠離和接近目標航天器的相對運動過程可分為兩個階段。其中Phase1為相位遠離目標航天器階段,采用最小二乘法擬合共軌飛行航天器和目標航天器的相位和升交點赤經的關系,得到系數kPhase1=-0.00253,其與表1的偏差為1.5%;Phase2階段為相位接近目標航天器的階段,擬合得到系數kPhase2=-0.00262,其與表1的偏差為1.8%。兩者系數不一致的原因為:在Phase1階段目標航天器高度變化范圍在400～390km之間,在Phase2階段目標航天器高度變化范圍在390～380km之間。

圖5 共軌飛行相位-升交點赤經關系Fig.5 Relationship between RAAN and phase during co-orbital flying

2.2 共軌飛行維持策略

基于前述標稱軌道設計以及相對軌道參數關系的分析結果,可制定如下共軌飛行航天器的軌道維持策略。

(3)面外升交點赤經控制:根據式(6),理想情況下升交點赤經相對相位被動穩定,但由于存在攝動和傾角初始偏差帶來的誤差累積,升交點赤經和相位偏離線性關系。共軌飛行過程中的軌道面還需滿足后續轉交會對接時兩航天器共面——即相位為零時升交點赤經偏差為零,按照式(6)不同的相位對應不同的升交點赤經偏差量,因此共軌飛行過程中可根據當前兩航天器的相位求得此時對應的理論升交點赤經差ΔΩt=k(a0,i0)θ0,再與實際測量的升交點赤經相比較得到升交點赤經修正量。如當兩航天器在相位差為90°的位置,此時對應的標稱升交點赤經差為ΔΩt=0.2295°(取k=0.00255),如果當前實際升交點赤經差為0.27°,則升交點赤經控制的修正量為0.0405°。

如圖6所示為一典型的共軌飛行軌道,初始時刻航天器相對于空間站在A處,此時相位差為20°,高度差為2.365km;經過約48天后遠離空間站到達最遠相位C處,此時相位差為90°,高度差為零,升交點赤經按照式(6)的線性關系計算為0.2295°,如果實際飛行過程中升交點赤經差為0.27°,則對應的修正量為0.0405°;修正后再經過約48天后到達C處,此時相位差為20°,高度差為-2.365km;再經過半長軸控制和傾角控制回到A處,完成一次共軌飛行。

圖6 共軌飛行過程Fig.6 Stage of co-orbital flying

3 共軌飛行誤差分析

共軌飛行的誤差主要包括由計算模型誤差帶來的半長軸計算誤差、定軌誤差、軌道控制誤差、環境預報誤差、面質比誤差、傾角控制誤差等,在這些誤差作用下共軌飛行一定時間后會帶來相位偏差。其中計算誤差、定軌誤差、軌道控制誤差三項均可等效為初始半長軸偏差;面質比誤差可等效為環境預報誤差;傾角控制誤差已在式(7)中進行了分析。

3.1 傾角偏差對升交點赤經的影響

在2.1節標稱軌道的基礎上,考慮在共軌飛行的初始時刻存在傾角偏差,仿真一個共軌周期后的升交點赤經累積偏差。取仿真開始時刻傾角相對標稱值的偏差為δi=±0.001°,一個共軌周期95.889天內仿真計算和解析計算的升交點赤經變化如圖7所示,表2為一個共軌飛行周期結束后的升交點赤經偏差,可見解析計算結果與仿真結果相比偏差小于3%。

表2 初始傾角偏差下一個共軌飛行周期結束后的升交點赤經偏差比較Table 2 Comparison of simulation and analytical results of RAAN in different initial inclination

上述分析表明,共軌飛行期間的傾角偏差會造成升交點赤經偏差隨時間線性累積,例如當傾角偏差0.001°則一個共軌飛行周期(96天)后的升交點赤經偏差增加0.009°。因此,共軌飛行中需要設計傾角偏差控制閾值或定期進行傾角維持以減小共軌飛行期間的面外維持燃料消耗,也可通過對傾角的偏置實現對升交點赤經的控制。

3.2 半長軸偏差對共軌飛行相位的影響

對式(4)取變分后得共軌相位誤差δθ與半長軸偏差δa的關系為:初始半長軸偏差帶來的共軌飛行相位誤差。

(8)

表3 不同初始半長軸偏差下終端相位偏差仿真結果和解析計算結果比較Table 3 Comparison of simulation and analytical results of phase in different initial semi-major axis

圖8 不同初始半長軸偏差下相位隨時間的變化Fig.8 Evolutions of phase corresponding to different initial semi-major axis

上述分析表明,在初始半長軸偏差影響下,共軌飛行相位誤差與飛行時間近似呈線性關系,例如當初始半長軸偏差200m,則共軌飛行90天后的相位偏差約31°。因此,共軌飛行任務中需要盡量提高定軌預報精度和變軌控制精度。

3.3 環境偏差和面質比偏差對共軌飛行相位的影響

環境預報誤差和面質比誤差,最終的影響都是半長軸的衰減,因此都可通過式(4)對半長軸的衰減率的變分來計算。因此共軌飛行相位的誤差δθ與環境誤差或面質比誤差的關系為

(9)

式中:pc為環境誤差或面質比誤差百分比。相位誤差與其近似成線性關系和飛行時間成平方關系。

在2.1節標稱大氣參數F10.7=120的標稱軌道基礎上,考慮偏差情況下的大氣參數分別為F10.7=110和F10.7=130兩種情況,兩者對應的大氣密度相對F10.7=120的偏差分別為-15.4%和+16.7%,對應的目標航天器的控制周期分別為116.266天和80.096天。圖9為僅考慮環境偏差下,不同空間環境對應的相位隨時間的變化關系。盡管存在環境偏差,由于初始半長軸與F10.7=120條件下的半長軸一致,一個共軌飛行周期結束后仍然會回到初始相位,但共軌飛行過程中的最遠端相位隨空間環境的減小而增大。該結論也與2.2節共軌維持策略1和式(5)一致:當初始半長軸偏置不變的情況下即Δa(t=0)=+Δa0,空間環境變化影響共軌飛行周期,但在一個共軌飛行周期結束后共軌飛行航天器仍然會回到初始相位且有Δa(t=end)=-Δa0。表4給出了不同空間環境下的最遠端相位仿真結果和解析計算結果,最遠端相位由標稱的-91.485°分別變為-105.115°(F10.7=110)和-81.135°(F10.7=130),且解析法的計算誤差小于3.5%。

表4 不同空間環境下的最遠端相位仿真結果和解析計算結果比較Table 4 Comparison of simulation and analytical results of maximum phase in different atmospheric

圖9 不同空間環境下相同初始半長軸偏差對應的相位隨時間的變化Fig.9 Evolutions of phase corresponding to different atmospheric

圖10以標稱軌道為基準,分別繪制了考慮空間環境變為F10.7=110、空間環境變為F10.7=130和空間環境變為F10.7=130且初始半長軸偏差+100m三種情況下60天內共軌飛行相位與標稱情況下的偏差,可見隨著時間的增加解析計算的精度降低,其中前兩種情況的解析計算按照式(9)計算,第三種情況按照式(8)和(9),即環境偏差和半長軸偏差的線性疊加計算。表5給出了時間分別為50天和60天時的相位偏差數值仿真和解析計算結果,其中50天的解析計算結果誤差小于7%,60天的解析計算結果誤差小于15%。

表5 不同空間環境和初始半長軸偏差下相位偏差仿真結果和解析計算結果比較Table 5 Comparison of simulation and analytical results of phase deviation in different atmospheric and initial semi-major axis

圖10 不同空間環境和初始半長軸偏差對應的相位偏差隨時間的變化Fig.10 Evolutions of phase corresponding to different atmospheric and initial semi-major axis

另一方面,在2.1節大氣參數F10.7=120的標稱軌道基礎上,考慮共軌飛行航天器相對目標航天器的面質比增加56.7%,按照式(9)的計算方法解析計算相位偏差和仿真結果如圖11所示,可見解析計算能很好地近似仿真結果。如當共軌飛行時間為60天時對應的解析計算相位差為62.542°,仿真得到的相位差為61.169°,解析計算偏差僅2.24%。

圖11 面質比存在偏差下的相位偏差隨時間的變化Fig.11 Evolutions of phase corresponding to different area-mass ratio

上述分析表明,在環境預報偏差或面質比誤差影響下,共軌飛行相位誤差與飛行時間呈平方關系,例如當環境偏差16.7%或面質比偏差56.7%,則共軌飛行60天后的相位偏差分別為19.6°和61.2°,因此需要定期更新大氣模型或航天器的面質比模型。

4 結束語

本文針對與空間站長期共軌飛行的航天器軌道維持問題,在分析兩航天器的半長軸、傾角、升交點赤經和相位等相對軌道參數演化規律的基礎上,給出了相對空間站共軌飛行的標稱軌道設計方法和相應的軌道維持策略,此外還進一步推導了考慮定軌誤差、控制誤差、環境預報誤差和面質比誤差等對共軌飛行軌道的影響。

分析結果表明,本文提出的解析誤差分析計算方法能較好地近似數值仿真分析結果,對于共軌飛行任務,面內控制可通過共軌飛行航天器相對目標航天器的相位計算半長軸的維持量;面外升交點赤經的修正量可通過升交點赤經差與相位差的簡化公式ΔΩt=k(a0,i0)θ0計算得到且偏差小于2%,傾角偏差控制閾值可以通過傾角偏差與升交點赤經偏差的線性關系得到。此外,初始半長軸偏差、環境預報偏差或面質比誤差均會導致共軌飛行相位相對標稱設計發生顯著偏差,需要盡量提高定軌精度和變軌控制精度,特別是要定期更新大氣模型或航天器的面質比模型。因此,本文基于解析計算方法設計的共軌維持策略和誤差分析方法大大簡化了共軌飛行策略的設計,在近地共軌飛行任務中有重要工程應用價值。