基于分形插值的復合材料孔壁微觀表面重構方法

胡文龍, 羅喜東, 楊語, 駱彬, 程暉

(1.西北工業大學 機電學院, 陜西 西安 710072; 2.中航工業陜西飛機工業(集團)有限公司, 陜西 漢中 723099)

碳纖維增強復合材料機械連接的可靠性高,承載能力強,是主承力結構的重要連接手段[1-2]。孔壁作為材料斷口和連接表面,是連接件上的應力集中部位和薄弱環節。孔壁表面形貌在微觀層面是粗糙的,具有接觸的不均勻性,雖然結構尺寸較小,但在很大程度上影響著機械系統的性能及機器的服役壽命等[3-5]。此外,由于復合材料各向異性和纖維束導向結構,加工形成的孔壁表面幾何形貌具有不確定性,表面幾何形貌特征復雜且伴隨著大量斷崖式突降區域和不規則凸起[6-7]。由于復合材料連接孔壁微觀結構尺寸屬于微米級且具有不確定性,在連接強度研究中難以使用現有的模型,需要根據實測微觀數據進行精準表征重構。

目前的重構方法大多是基于逆向建模技術,根據實體模型,掃描數據,重新生成數字模型用于后續的工程問題研究。Li等[8]利用三維數據掃描儀測量物理樣品的點云數據,借助逆向工程軟件Geomagic Studio實現零件的逆向建模和數字模型的誤差檢測分析。Wang等[9]利用實驗測量得到的數據點云重構具有隨機形貌的柔性關節界面,建立2個粗糙隨機表面之間的接觸模型。但對于復合材料孔壁形貌的重構,上述方法并不適用。現有的逆向建模重構技術是基于插值函數對采集點云進行擬合重構得到連續曲面[10]。相較于傳統插值方法,分形插值根據整體與局部相似的原理,將插值數據點的變化特征映射到相鄰點之間的局部區域。復合材料孔壁復雜微觀表面上相鄰2個信息點之間的連線并不是線性或者光滑的,而是存在局部的變化特征[11]。傳統插值重構方法難以對其進行準確的擬合表征,從而影響后續物理模型的準確性。然而這種2個信息點之間更精細一級的特征,用分形插值方法得到的結果更加符合實際。

分形理論作為研究自然界復雜形狀和結構的工具,在復雜結構研究中起著至關重要的作用[12-13]。隨著分形理論研究的深入,針對分形插值應用于粗糙表面的研究,出現了一些實用性的方法。Yang等[14]分別使用了中點位移法(MD)和Weierstrass-Mandelbrot分形函數法(WM)對一維和二維分形表面進行模擬。該研究突出了2種分形模型的形態特征、統計特性和適用性,為今后分形模型的發展與應用提供了科學依據。翟曉雅等[15]提出了一種基于分形模型的3D打印路徑規劃算法,保證邊緣細節的精度條件下最大限度地提高打印效率。趙林等[16]以實測激光切割表面輪廓數據為基礎,應用三維表面分形插值算法,對激光切割表面形貌進行分形插值模擬,分析模擬精度。此外,分形模型在海底地形[17]、地震研究[18]、風速預測[19]等領域均有廣泛應用。由于周期性的鉆孔路徑,復合材料連接孔壁具有周期性的形貌特性,較適合使用自仿射的分形插值方法來研究。然而在現有的分形理論中,給定縱向壓縮比的分形插值曲面在任意小的局部都與整體的結構相似,只能得到具有周期變化形態的自相似結構[20]。而復合材料粗糙表面的粗糙度變量是一種區域化的變量,既有隨機性,也有相關性。因此需要對現有的自仿射分形插值方法進行改進。

針對復合材料孔壁復雜表面形貌難以快速表征重構的問題,本文以碳纖維增強復合材料連接表面為研究對象,基于自仿射分形理論,提出了一種分形插值重構復雜表面的方法。利用連接表面少量測量單元,對復合材料孔壁表面微觀形貌進行了重構;同時利用大量測量單元建立了準確的原始實測表面模型,通過對比實測表面模型與分形插值重構表面模型特征,討論了采樣間隔對插值重構結果的影響,驗證重構表面的幾何有效性;最后開展了有限元仿真驗證重構表面的力學有效性。

1 分形曲面與分形插值

1.1 分形曲面與分形插值

分形是指具有自相似性的幾何圖形,它們在工業設計領域和自然界中是普遍存在的,例如車輪輪廓、閃電外形等幾何形狀都具有分形元素。分形曲面在計算機圖形學、地震學、巖土學等許多實際領域有廣泛的應用。常見的分形曲面主要有:Koch分形曲面、布朗分形曲面、隨機網格分形曲面等[20]。

分形插值曲面是根據分形曲面的自相似性原理和迭代函數,將已知數據插值成具有自相似結構的曲面。與分形插值曲線類似,分形插值曲面任何一個局部都與整體自相似。

1.2 分形插值數學模型

根據分形曲面的理論,學者已經研究了通過迭代函數系統(IFS)或遞歸迭代函數系統(RIFS)來構造分形曲面[21]。迭代函數系統以仿射壓縮變換為框架,根據幾何對象的整體與局部具有自相似的結構,將總體形狀以一定的概率按不同的仿射壓縮變換迭代下去,直至得到滿意的分形圖形。在迭代函數系統的基礎上,分形插值曲面有多種構造方法。根據復合材料表面幾何形貌自仿射特征,本文選用矩形區域分形插值曲面的自仿射分形插值方法。

令I=[a,b],J=[c,d],設區域D=I×J={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d},以Δx,Δy為步長,將D剖分為網格

(1)

給定一組網格點上的數據(xi,yj,zi,j)(i=0,1,…,N;j=0,1,…,M),使用常見的二元分形插值函數f:D→R,并且滿足f(xi,yj)=zi,j(i=0,1,…,N;j=0,1,…,M)。

在區域(xn-1,ym-1,zn-1,m-1)→(xn,ym,zn,m)中,令x方向的壓縮變換為φn(x)=anx+bn,y方向的壓縮變換為ψm(y)=cmy+dm,并且需要滿足條件

(2)

由此可得

(3)

將結果帶入壓縮變換中,得

(4)

令z方向的壓縮變換為

(5)

式中,en,m,fn,m,gn,m,sn,m,kn,m均為待求解的參數且滿足

(6)

令sn,m(n∈{1,2,…,N},m∈{1,2,…,M})為自由參數,稱為縱向比例因子,表示大范圍內的數據變化特征映射到小范圍區間的縮小倍數,故需要滿足|sn,m|<1。聯立(5)～(6)式得到方程組,求解得

(7)

將(7)式代入(5)式中得到z方向的壓縮變換表達式。其中參數en,m,fn,m,gn,m,kn,m根據(7)式求得,sn,m為縱向壓縮比,控制分形插值曲面形狀,根據插值形態人為給定。

2 微觀表面分形插值重構

2.1 微觀表面分形插值

2.1.1 整體框架

本文算法總體框架如圖1所示,主體分為三部分。主程序中讀取實驗測量輸出的原始數據,并對原始數據進行填補,再轉換坐標矩陣,將三維數據文件轉換為對應x,y坐標的絕對z值矩陣;再通過對分形插值參數進行計算,得到三維壓縮比;最后對z值矩陣進行插值,得到插值矩陣,完成分形插值過程。

圖1 分形插值算法總體框架圖

2.1.2 幾何特征提取

實驗使用的測量儀器是由奧地利Alicona公司生產的全自動刀具測量儀,如圖2a)所示,能夠測量零部件的微觀表面,其水平光學分辨率為0.44 μm,垂直光學分辨率為10 nm,最小測量高度0.01 μm。實驗所用螺栓為航空級鈦合金螺栓,材料為Ti6Al4V,規格M6。T700級復合材料層合板連接孔名義直徑5.98 mm,鋪層順序[-45/90/45/0]4s,纖維體積分數為60%。實驗前將層合板沿著孔的中軸線進行橫向剖切,便于后期的測量觀察。

圖2 微觀幾何形貌測量儀器及測量對象

首先對螺栓桿桿壁進行測量,測量區域如圖2b)所示。由于金屬的各向同性,鈦合金螺栓只需選取桿壁的一個區域進行測量,命名為Ti-region。對復合材料層合板的孔壁進行測量,由于層合板的疊層結構,需要在孔的入口處至中間層選取4個具有代表性區域進行多次測量,分別命名為CFRP-region-1,CFRP-region-2,CFRP-region-3,CFRP-region-mid。具體測量區域如圖2c)所示。測量區域為284 μm×216 μm的類矩形區域,每個測量區域選取采樣間隔為4個數據點,共7 815個測量點。

2.1.3 丟失數據填補

主程序中首先讀取原始測量文件,將測量數據變換為矩陣形式。由于在進行原始測量數據采集時,所使用的光學顯微鏡容易受到樣本反光率、環境光和景深等因素的影響,導致表面形貌的個別數據丟失。由于丟失數據點的位置隨機,需要對整體數據進行遍歷,尋找丟失數據點位置并對其進行填補。當丟失點位于中心位置時,如圖3a)所示,利用周圍8個點的z值數據取平均進行缺失點的填補,即缺失點z值為

圖3 不同位置缺失點的填補方法

(8)

式中,z(i,j)表示第i行j列的數據點數值。同理,當丟失點位于邊角位置時,如圖3b)所示,對丟失的z值進行填補。這種方法符合粗糙表面變化規律,較好地解決光學測量丟失少量數據點的問題。

將矩陣中三維測量數據轉換為對應x,y坐標的z值。由于光學顯微鏡測量得到的數據是基于全局坐標系,無法直接進行使用,需要得到相對坐標后對其進行全局坐標系與局部坐標系轉換。

2.1.4 改進的自仿射分形插值重構

在全局統一縱向壓縮比的分形插值曲面中,在任意小的局部都與整體的結構相似,只能得到具有周期變化形態的自相似結構。復合材料微觀表面的粗糙度變量是一種區域化的變量,即既有隨機性,也有相關性。因此需要使用改進的自仿射分形插值方法,即讓每個局部子區域總生成自己的縱向壓縮比。

每個子區間上的壓縮比可以通過該方法得到:首先根據觀測值數據,運用最小二乘法,得到一次擬合面方程,該擬合面反映區域觀測值的平均平面;再利用此方程,求出每個插值點位置上的預測值;用各點上的觀測值減去相應的預測值,得到偏差值,偏差值反映觀測值偏離平均平面的程度。根據變差函數原理,數據具有相關性,某個觀測點的變異特征能夠反映附近較小領域內的變化特征。因此以觀測點偏差值作為縱向壓縮比的依據是合理的。

每個子區間上的一次擬合面方程表達式為

z=b0+b1x+b2y

(9)

式中,b0,b1,b2為待求系數。根據最小二乘法,使得觀測值與預測值的離差平方和Q最小,即

(10)

分別求Q對b0,b1,b2的偏導數,并令其為0。求解整理可得

(11)

(12)

(13)

取每個子區間上壓縮比sn,m為

(14)

按照改進的自仿射分形插值方法,對網格點數據進行分形插值重構。對于給定一組網格點的數據{xi,yj,zi,j}(i=0,1,…,N,j=0,1,…,M),網格剖分為(1)式所示。x方向和y方向的插值公式由(4)式求出;z方向的插值公式由(5)式求出,每個子區間的縱向壓縮比sn,m由觀測值結合(9)～(14)式求出。最后對每組網格數據進行插值重構,得到插值重構數據。根據x,y,z的值,重構出表面輪廓。

2.2 微觀表面分形插值重構結果

分別對螺栓桿表面區域與復合材料孔壁表面4個特征區域進行分形插值,初始采樣間隔均為4個數據點,得到多組分形插值數據。其中CFRP-region-mid的表面輪廓重構結果如圖4所示,圖4a)為實驗采集的原始表面輪廓,圖4b)為分形插值重構表面。分形插值表面與實測表面的幾何結構相似且重要幾何特征基本相同,如圖4中的紅圈所示。分形插值重構表面更平滑,相較于原始實測表面更加的簡化。

圖4 表面輪廓分形插值結果圖

通過上述分析發現,分形插值后的粗糙表面幾何形貌和原始實測粗糙表面幾何形貌基本相似,但在某些細節特征上略有不同。圖5左側為原始實測表面,中間為采樣表面,右側為插值重構表面。分析發現局部細微差異主要為兩部分,首先如圖5a)所示,當采樣間隔設置過大時,部分包含在采樣間隔內的細節特征數據點會被篩選出去,出現細節特征丟失。其次如圖5b)所示,當采樣間隔過大時,采樣點與采樣點間的距離過大,會導致插值點所依據的采樣點超出鄰域范圍,不能很好地表征插值點的原始形貌,導致細節特征畸變。因此,選取適當的采樣間隔對于分形插值重構的結果至關重要,將在3.1.2節進行詳細說明。

圖5 分形插值表面微觀細節特征

3 分形插值重構表面有效性

3.1 幾何有效性驗證

3.1.1 三維表面輪廓表征與誤差分析

三維表面輪廓表征參數主要分為幾何參數和性能參數[22]。由于本研究主要是對復合材料連接孔壁進行表征,幾何參數選用常用的三維輪廓算術平均偏差Sa;性能參數選用表面接觸面積比Sdr。其中,三維輪廓算術平均偏差Sa表示被測表面上所有像素點到基準面上對應點的直線距離的算數平均值。

(15)

式中:l(i,j)表示像素點到基準面的直線距離;M和N分別為基準面的邊長。表面接觸面積比Sdr描述采樣面積內表面在水平面上的投影面積和表面積的相差程度。

(16)

式中:A表示總展開面積;Δx,Δy分別為x和y方向相鄰像素點的間隔距離。表征結果如圖6所示。

圖6 實測表面與重構表面三維輪廓參數表征

對比原始實測表面與插值重構表面的三維表面輪廓參數表征結果發現,復合材料孔壁4個代表性區域的三維輪廓算術平均偏差Sa的誤差均在2%以內,接觸面積比Sdr的誤差均在10%以內。通過對重構模型與實測模型表面幾何參數分析,認為分形插值模型具有較好的幾何精確性。復合材料表面的粗糙度起伏較大,并且在分形插值過程中出現細節特征丟失與細節特征畸變現象,從而導致粗糙表面總展開面積A產生較大波動,帶來接觸面積比Sdr的誤差。通過上述分析,結果符合精度要求。

3.1.2 采樣間隔對分形插值的影響

由上文發現采樣間隔對分形插值結果影響較大。針對此問題進行研究,又分別進行了相同區域,采樣間隔為2～8的原始采樣表面測量實驗,使用上文相同的方法,得到采樣間隔分別為2～8的原始采樣表面形貌與分形插值結果并分析。在某些微觀細節特征上,原始實測表面與插值重構表面有細微差別,并且隨著采樣間隔的增大,相似性降低,會出現原始形貌所不具有的表面特征。使用三維輪廓算術平均偏差Sa進行表征,如圖7所示。

圖7 采樣間隔對插值重構結果影響

隨著采樣間隔的增大,原始實測表面與插值重構表面三維輪廓算術平均偏差之間的誤差增大。當采樣間隔超過5個數據點時,誤差量超過預估范圍,分形插值結果與原始表面產生較大差異,精度無法保證。當采樣間隔小于等于5個數據點時,誤差值均小于5%,符合精度要求。采樣間隔越小,原始實測表面與分形插值表面的差異越小,難以顯示出等效表征的效果。因此,取采樣間隔為3～5個數據點,既可以保證分形插值精度,也可以對原始實測表面進行有效的等效表征。

綜上,通過對比重構結果發現,選取合適的采樣間隔時,分形插值后三維模型的粗糙表面幾何形貌和原始三維模型的粗糙表面幾何形貌基本相似,分形插值重構結果具有幾何有效性。

3.2 力學有效性驗證

3.2.1 有限元模型

利用有限元軟件進行力學擠壓仿真模擬,根據擠壓力學性能所關注的物理量,對比原始表面模型與重構表面模型的應力應變以及相互作用面積,驗證分形插值重構結果的力學有效性,從而驗證分形插值重構方法的正確性。

將逆向建模得到的三維實體模型導入有限元軟件中,分別對復合材料板與鈦合金板進行材料屬性設置、接觸設置和邊界條件設置,給予擠壓載荷,模擬復合材料裝配連接擠壓過程。最終得到的有限元模型如圖8所示。

圖8 力學有效性驗證模型

3.2.2 結果分析

將每組原始表面模型與重構表面模型進行有限元仿真,圖9為CFRP-region-mid區域的仿真結果。

圖9 力學有效性驗證仿真結果

根據有限元模擬結果圖可以發現原始表面輪廓擠壓模型和插值重構表面輪廓擠壓模型的接觸區域大致相同,部分細節特征有所不同。對每組模型最大應力值與最大變形量進行分析,如表1～2所示。結果發現,4組模型的最大應力值和最大變形量差距均在10%以內。

表1 各區域原始模型與重構模型最大應力值及誤差

表2 各區域原始模型與重構模型最大變形量及誤差

利用二值化程序分別對4組有限元變形云圖的變形區進行處理計算,得出4組變形區域與整個面積的百分比,如表3所示。通過分析發現,CFRP-region-1的原始表面輪廓與插值表面輪廓的變形區域占比相差較大,達到9.5%,4組的差距均在10%以內,整體趨勢與圖6b)中接觸面積比誤差結果一致。分析重構模型與實測模型力學性能,認為分形插值模型具有較好的力學預測精確性。分析原因發現,由于CFRP-region-1區域的接觸表面粗糙度較大,加劇細節特征丟失與細節特征畸變現象。此外,在進行曲面逆向重構擬合時,急劇起伏的曲面擬合誤差較大,擬合的效果不太理想,進而導致原始輪廓模型與插值輪廓模型的誤差。

表3 各區域原始模型與重構模型變形區域占比及誤差

通過對比重構前后力學擠壓模擬結果發現,分形插值重構預測模型的力學性能誤差均在10%以內,分形插值重構結果具有力學有效性。

4 結 論

本文主要提出了一種利用分形插值重構研究復合材料孔壁微觀表面等效表征的方法,并使用重構誤差分析和有限元仿真驗證其有效性。分析得出以下結論:

1) 分形插值過程中,由于細節特征丟失與細節特征畸變,原始表面與插值表面有細微差別,并隨采樣間隔增大,相似性降低。當采樣間隔為3～5時,既可以保證分形插值誤差,又可以對原始實測表面進行有效的等效表征。

2) 通過重構的曲面模型,對比原始表面與插值表面幾何形貌相似性,三維輪廓算術平均偏差的誤差均在2%以內,接觸面積比的誤差均在10%以內,證明了分形插值重構結果具有幾何有效性。

3) 通過有限元仿真,在擠壓載荷下,實測原始表面與插值重構表面的最大應力、最大變形量以及接觸變形區域面積預測誤差均在10%以內,證明了分形插值重構結果具有力學有效性。