有限信息下基于證據(jù)理論的桁架結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

蘇瑜, 唐和生

(1.湖北工業(yè)大學(xué) 土木建筑與環(huán)境學(xué)院, 湖北 武漢 430068; 2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院, 上海 200092)

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步,對(duì)于土木建筑結(jié)構(gòu)的要求不斷提高,要求具有更高的性能、可靠性及魯棒性,同時(shí)具有更低的資源利用與成本。為了有效地尋求最優(yōu)折衷解,很多學(xué)者[1-3]致力于研究更快速的算法,以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)質(zhì)量最輕及經(jīng)濟(jì)效益最佳等目標(biāo),并發(fā)展了眾多性能優(yōu)良的確定性多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)算法。然而,學(xué)者們還應(yīng)該清醒地意識(shí)到這些確定性算法在實(shí)際應(yīng)用方面的局限。由于工程材料性質(zhì)的缺陷性、制作安裝誤差、結(jié)構(gòu)所處環(huán)境的復(fù)雜性、結(jié)構(gòu)模型的人為簡(jiǎn)化以及對(duì)實(shí)際受力機(jī)理認(rèn)識(shí)水平的有限性等因素,結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中數(shù)據(jù)信息和認(rèn)知水平往往是有限的,這被學(xué)者們稱為認(rèn)知不確定性。認(rèn)知不確定性將會(huì)引起結(jié)構(gòu)性能的改變或波動(dòng),甚至引起嚴(yán)重的偏差,進(jìn)而導(dǎo)致最優(yōu)設(shè)計(jì)出現(xiàn)意料之外甚至前所未有的功能失效。因此,在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中必須考慮不確定性的影響。

從現(xiàn)有的文獻(xiàn)來(lái)看,所采用的不確定量化方法主要以概率理論為主。隨著對(duì)認(rèn)知不確定性的深入研究,一些學(xué)者采用非概率方法對(duì)荷載和材料參數(shù)進(jìn)行不確定量化?，F(xiàn)有研究表明[4-5],證據(jù)理論是一種更為靈活的不確定性建模方法。在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上,證據(jù)理論將點(diǎn)值函數(shù)形式推廣到區(qū)間集合函數(shù)形式,采用一系列區(qū)間數(shù)以及分配到區(qū)間上的信任度來(lái)量化不確定性,以概率區(qū)間代替?zhèn)鹘y(tǒng)概率單點(diǎn)值進(jìn)行可靠性評(píng)估。這更加符合數(shù)據(jù)信息有限且離散的實(shí)際分布情況,并且避免了對(duì)精確概率信息的獲取和對(duì)未知領(lǐng)域過(guò)多且無(wú)據(jù)的假設(shè),在表達(dá)和處理不確定性上體現(xiàn)了很好的優(yōu)勢(shì)。證據(jù)理論可以對(duì)隨機(jī)、模糊、區(qū)間等不確定信息進(jìn)行有效處理,且以概率論為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)可靠性問(wèn)題只是證據(jù)理論的一個(gè)特例[6]。同時(shí),將概率分布離散化為證據(jù)理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),也為概率參數(shù)可靠性建模提供了一種新思路[7]。近年來(lái),證據(jù)理論已成為國(guó)際學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)之一,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)不確定性量化表達(dá)和非概率可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了較多的探索,并取得了一系列研究成果[8-10]。將合理的證據(jù)理論不確定分析方法與先進(jìn)的仿生智能優(yōu)化算法相結(jié)合而形成的非概率多目標(biāo)優(yōu)化方法是目前亟待發(fā)展的一種全新的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法。

桁架結(jié)構(gòu)具有跨越能力大、施工速度快、結(jié)構(gòu)形式活潑新穎以及能夠突出人類藝術(shù)創(chuàng)造力等優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于各種跨度的建筑結(jié)構(gòu)、鋼桁架橋以及衛(wèi)星承力結(jié)構(gòu)等工程中。由于桁架結(jié)構(gòu)中各桿件受力均以單向拉、壓為主,通過(guò)對(duì)各桿件進(jìn)行尺寸優(yōu)化,對(duì)結(jié)構(gòu)形狀以及拓?fù)錁?gòu)形進(jìn)行合理布置,能夠使材料強(qiáng)度得到充分發(fā)揮,從而保證結(jié)構(gòu)在滿足一定功能要求下獲得較大的經(jīng)濟(jì)效益,桁架結(jié)構(gòu)也被應(yīng)用于各種優(yōu)化算法的尋優(yōu)性能評(píng)價(jià)中。正因如此,本文以桁架結(jié)構(gòu)為優(yōu)化對(duì)象,采用證據(jù)理論量化結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的不確定性,提出了基于證據(jù)理論的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。將結(jié)構(gòu)質(zhì)量與結(jié)構(gòu)可靠性同時(shí)作為優(yōu)化目標(biāo),得到一系列最優(yōu)折衷解集,決策者根據(jù)自己的喜好、結(jié)構(gòu)重要性以及經(jīng)濟(jì)預(yù)算選擇合適的拓?fù)湓O(shè)計(jì)。為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提方法的有效性,以木桁架結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象,選取木材的彈性模量和作用荷載為不確定變量,采用本文所提方法進(jìn)行多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),根據(jù)Pareto最優(yōu)解集中的一組解,制作若干榀相同桁架試件進(jìn)行隨機(jī)靜力加載試驗(yàn),并通過(guò)得到的荷載-變形關(guān)系以及荷載-應(yīng)變關(guān)系,驗(yàn)證基于證據(jù)理論的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。

1 基于證據(jù)理論的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

1.1 基于證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化模型

一般來(lái)說(shuō),可靠性優(yōu)化是將結(jié)構(gòu)的可靠性要求作為優(yōu)化設(shè)計(jì)的約束條件,采用優(yōu)化方法尋求結(jié)構(gòu)在概率意義下的最佳設(shè)計(jì),即基于概率理論的可靠性優(yōu)化問(wèn)題,可表述為:

(1)

從公式(1)可以看出,可靠性分析是進(jìn)行不確定性多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的核心內(nèi)容。然而,在實(shí)際結(jié)構(gòu)中對(duì)不確定量的認(rèn)識(shí)信息通常是有限的或不充足的,此時(shí),建立精確概率模型非常困難。根據(jù)證據(jù)理論的不確定量化基本原理[6]可知,證據(jù)理論采用區(qū)間集合以及分配在區(qū)間上的信任度(basic belief assignment,BBA)來(lái)量化參數(shù)的不確定性,采用似然函數(shù)(belief function,Bel)和信任函數(shù)(plausibility function,Pl)來(lái)度量結(jié)構(gòu)的可靠概率或失效概率,可以證明[PBel,PPl]是真實(shí)概率的區(qū)間估計(jì),如(2)式所示,真實(shí)的失效概率夾逼在該區(qū)間內(nèi),即

(2)

由此可推出如(3)式所示的結(jié)論:

PPl{g(d,u)<0}

(3)

故可將PPl{g(d,u)<0}

在基于證據(jù)理論的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)中,結(jié)構(gòu)經(jīng)濟(jì)性與結(jié)構(gòu)可靠性呈相互制約的權(quán)衡關(guān)系,如果能引入多目標(biāo)優(yōu)化思想,將用于體現(xiàn)結(jié)構(gòu)經(jīng)濟(jì)性的結(jié)構(gòu)質(zhì)量與用于描述結(jié)構(gòu)可靠性的失效概率指標(biāo)同時(shí)作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),這樣就可以在盡可能最小化結(jié)構(gòu)質(zhì)量的同時(shí),最大化結(jié)構(gòu)的可靠性(最小化結(jié)構(gòu)失效概率)?；谏鲜龇€(wěn)健性優(yōu)化思想,本文將基于證據(jù)理論不確定測(cè)度表達(dá)的可靠性約束轉(zhuǎn)化為第二個(gè)優(yōu)化目標(biāo),建立了兩目標(biāo)穩(wěn)健性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型,其表達(dá)式如(4)式所示。

findd=[A,X,T]

minF(d)

…,PPl(gJ(d,u)<0))

subject tog(d)≥0

(4)

式中,g(d)表示與不確定變量無(wú)關(guān)的約束函數(shù)。

由于證據(jù)理論所表達(dá)的不確定變量是區(qū)間不連續(xù)的,其導(dǎo)數(shù)很難定義。因此,基于證據(jù)理論的多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)不能采用傳統(tǒng)的以獲取梯度信息為導(dǎo)向的優(yōu)化方法進(jìn)行求解。近年來(lái),一些基于種群思想的進(jìn)化算法在多目標(biāo)優(yōu)化求解方面取得了豐碩的成果,這些算法不僅不需要導(dǎo)數(shù)信息,而且具有并行求解能力,可處理大規(guī)模的搜索空間,在單輪優(yōu)化期間可產(chǎn)生多個(gè)非支配解,有效克服了古典方法的局限性。因此,針對(duì)證據(jù)理論可靠性指標(biāo)的不連續(xù)性,引入智能優(yōu)化算法克服這一弊端,實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)性能與可靠性的兩目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。

1.2 多目標(biāo)微分演化算法

多目標(biāo)微分演化算法(differential evolution for multiobjective optimization,DEMO)采用了與NSGA-Ⅱ(non-dominated sorting genetic algorithm)相似的優(yōu)化機(jī)制,并將DE算法中優(yōu)良的尋優(yōu)機(jī)制與快速非支配排序、擁擠距離排序以及精英保留機(jī)制相結(jié)合,以簡(jiǎn)便的操作獲得分布廣泛的Pareto最優(yōu)解集[11]。因此,本文采用多目標(biāo)微分演化算法并對(duì)其進(jìn)行并行化改進(jìn),以實(shí)現(xiàn)公式(4)所示的多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)。為了更好地理解DEMO,本節(jié)簡(jiǎn)單解釋算法中的有關(guān)操作,并附以圖1進(jìn)行形象說(shuō)明。

圖1 DEMO優(yōu)化流程圖

1) 快速非支配排序

當(dāng)多個(gè)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時(shí),不會(huì)存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最大或最小的最優(yōu)解,為此采用“支配”的概念來(lái)決定解的好壞。例如,設(shè)計(jì)變量解d1和d2如果滿足2個(gè)條件:①d1的所有目標(biāo)函數(shù)的值不比d2差;②d1至少有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值明確優(yōu)于d2。那么d1支配d2。若d1的解沒(méi)有被其他解所支配,則d1稱為非支配解(Pareto解)。DEMO采用與NSGA-Ⅱ相同的非支配排序思想,其過(guò)程如下:將一系列設(shè)計(jì)變量的值定義為種群,種群大小為NP。當(dāng)代種群中所有非支配個(gè)體的等級(jí)設(shè)為1,然后將它們從種群中暫時(shí)移去;再在余下的種群中將所有非支配個(gè)體的等級(jí)設(shè)為2,也暫時(shí)移去;如此循環(huán)直至所有個(gè)體都被賦值。確定進(jìn)化個(gè)體的等級(jí)后,就可以對(duì)種群進(jìn)行裁剪,使種群整體向著Pareto最優(yōu)前沿的方向進(jìn)化[11]。

2) 多樣性保持

保持種群多樣性、避免其進(jìn)化早熟是保證算法收斂到全局Pareto最優(yōu)前沿的有效手段。同NSGA-Ⅱ一樣,在DEMO中通過(guò)計(jì)算種群個(gè)體在目標(biāo)空間中相對(duì)于同級(jí)個(gè)體的擁擠距離來(lái)保持種群在進(jìn)化中的多樣性。一般而言,擁擠距離越大越好。擁擠距離越小,說(shuō)明聚攏現(xiàn)象越嚴(yán)重,在同級(jí)個(gè)體中越先被裁剪。

3) 選擇操作

在多目標(biāo)優(yōu)化中,需要借用支配的概念[11],DEMO選擇操作使用以下的原則:①當(dāng)子代解支配父代時(shí),則子代被選擇進(jìn)入當(dāng)前種群;②當(dāng)父代解支配子代時(shí),則子代舍棄,父代被選擇;③當(dāng)父、子二代互不支配時(shí),則均被選擇進(jìn)入當(dāng)前種群。這種將每代優(yōu)勢(shì)解進(jìn)行選擇的做法保證了精英解信息的保存。

4) 種群裁剪

為使在進(jìn)化中各代種群大小NP保持不變,需要在選擇操作后對(duì)當(dāng)前種群進(jìn)行裁剪。根據(jù)非支配分級(jí)與計(jì)算擁擠距離,選擇質(zhì)量最優(yōu)的NP個(gè)個(gè)體進(jìn)入下一代種群。

重復(fù)每一代的這四項(xiàng)操作直至達(dá)到設(shè)定的最大迭代代數(shù),終止尋優(yōu),得到多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)Pareto解集,如圖1所示。

5) 并行化計(jì)算

雖然DEMO算法可以克服基于證據(jù)理論的多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)中難以求導(dǎo)的缺陷,但基于種群思想的一類進(jìn)化算法普遍存在著計(jì)算量大的弊端。分析DEMO算法可以發(fā)現(xiàn),它是一種并行搜索算法,對(duì)于初始隨機(jī)生成的種群以及通過(guò)后續(xù)操作產(chǎn)生的新種群,其評(píng)價(jià)函數(shù)的計(jì)算都是相互獨(dú)立的?？梢?jiàn),DEMO算法很適合應(yīng)用并行計(jì)算來(lái)提高其計(jì)算效率。另外,導(dǎo)致不確定優(yōu)化計(jì)算量繁重的另一個(gè)原因是證據(jù)理論失效似然度(第二個(gè)優(yōu)化目標(biāo))的計(jì)算。具體來(lái)說(shuō),就是不確定傳播中響應(yīng)區(qū)間極值的求解,同樣發(fā)現(xiàn),在每一個(gè)區(qū)間焦元上求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)下界的過(guò)程也是相互獨(dú)立的,如圖1中虛線框所示。為了從上述2個(gè)方面降低DEMO求解證據(jù)理論多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算量,本文在原始的程序中引入并行計(jì)算策略,即將一個(gè)規(guī)模很大的計(jì)算任務(wù)分配到多個(gè)工作空間(worker)中,同時(shí)執(zhí)行各個(gè)子工作,從而將原始的相互獨(dú)立的串聯(lián)任務(wù)轉(zhuǎn)換為并行任務(wù),而多計(jì)算資源下解決問(wèn)題的耗時(shí)要小于單個(gè)計(jì)算資源下的耗時(shí),這必然將提高計(jì)算效率。

1.3 基于證據(jù)理論的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

本節(jié)采用證據(jù)理論建立了多目標(biāo)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì),分析流程如圖2所示。由于圖1已詳細(xì)介紹了DEMO算法的計(jì)算過(guò)程,故此處對(duì)DEMO算法的描述較為簡(jiǎn)潔。

圖2 基于證據(jù)理論的多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

2 數(shù)值測(cè)試

本節(jié)采用一測(cè)試函數(shù)來(lái)說(shuō)明證據(jù)理論的不確定量化、多目標(biāo)可靠性優(yōu)化模型以及并行智能優(yōu)化算法效率等問(wèn)題,該測(cè)試函數(shù)取自文獻(xiàn)[12],具體優(yōu)化問(wèn)題如(5)式所示

minimizef(X)=X1+X2

(5)

式中,X1和X2視為不確定變量。在實(shí)際工程中,數(shù)據(jù)信息和認(rèn)知水平往往是不完備的,不確定變量的區(qū)間表達(dá)以及區(qū)間信任度更易于得到,且無(wú)任何分布假定。因此,采用證據(jù)理論量化不確定變量更為理想。假定不確定變量的證據(jù)理論BBA如表1所示,表中X1,N和X2,N分別為優(yōu)化算法每一次迭代所賦予的值。將該測(cè)試問(wèn)題按照第1.1節(jié)所述的方法轉(zhuǎn)換為兩目標(biāo)可靠性優(yōu)化問(wèn)題,如(6)式所示

表1 X1和X2的證據(jù)理論BBA結(jié)構(gòu)

(6)

采用并行化DEMO求解該兩目標(biāo)優(yōu)化,其參數(shù)設(shè)置為:NP=25,Imax=200,F=0.75,CR=0.9。在求解過(guò)程中,利用MATLAB編程創(chuàng)建多個(gè)工作空間進(jìn)行并行計(jì)算,計(jì)算機(jī)系統(tǒng)處理器為Intel(R) Core (TM) i7-4770 CPU。為了對(duì)比,分別考慮4種情況:無(wú)并行計(jì)算(1個(gè)worker)、2個(gè)worker、3個(gè)worker、4個(gè)worker,相應(yīng)的計(jì)算時(shí)間匯總于表2。

表2 數(shù)值測(cè)試并行計(jì)算效率對(duì)比結(jié)果

通過(guò)表2可以看出,隨著工作空間分配的越多,優(yōu)化程序所用的時(shí)間也越少,加速比也越高。可見(jiàn),并行計(jì)算明顯地提高了計(jì)算效率。另外,將無(wú)并行計(jì)算的Pareto最優(yōu)解集與采用4個(gè)worker的并行計(jì)算結(jié)果同時(shí)繪于圖3。由圖3可得, 兩者的 Pareto最優(yōu)解集是極其接近的,這足以表明并行計(jì)算的可行性和有效性?？梢韵胂?在不影響計(jì)算精度的前提下,未來(lái)多核計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展必然會(huì)導(dǎo)致并行計(jì)算效率的大幅提升,具有并行性質(zhì)的多目標(biāo)不確定優(yōu)化問(wèn)題將不會(huì)受制于計(jì)算成本。

圖3 串聯(lián)與并行計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3 木桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化及試驗(yàn)研究

本節(jié)采用基于證據(jù)理論的不確定優(yōu)化方法對(duì)一初始木桁架橋在彈性模量和荷載均為不確定的情況下進(jìn)行兩目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),在Pareto最優(yōu)解集中選取一點(diǎn)并根據(jù)其所代表的尺寸、形狀以及拓?fù)湫畔⒅谱?榀相同的桁架試件。對(duì)6榀木桁架進(jìn)行隨機(jī)靜力加載試驗(yàn),通過(guò)6榀木桁架桿件的應(yīng)變和節(jié)點(diǎn)位移來(lái)驗(yàn)證不確定性優(yōu)化算法的有效性。

3.1 木材材性試驗(yàn)

試驗(yàn)采用木材為落葉松,為了后續(xù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì),首先根據(jù)相關(guān)試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)木材標(biāo)準(zhǔn)小試件進(jìn)行順紋抗壓強(qiáng)度、順紋抗拉強(qiáng)度和抗彎彈性模量3項(xiàng)木材性能試驗(yàn),試件加載過(guò)程見(jiàn)圖4。根據(jù)木材性能試驗(yàn)可得木材順紋抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值fc為14.7 N/mm2,順紋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值ft為24.5 N/mm2,木材彈性模量E的均值為13 200 N/mm2。由于本文將木材彈性模量視為認(rèn)知不確定,故僅給出木材彈性模量的數(shù)據(jù)信息,如表3所示。

表3 木材抗彎彈性模量試驗(yàn)記錄及計(jì)算結(jié)果

圖4 木材試件加載過(guò)程

3.2 基于證據(jù)理論的木桁架多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

3.2.1 木桁架基本信息

桁架橋的初始形狀為平行弦桁架,如圖5所示,荷載僅作用于下弦節(jié)點(diǎn),豎直向下,大小相等,不考慮桁架側(cè)向穩(wěn)定問(wèn)題。試驗(yàn)類型為短期靜力試驗(yàn),不考慮長(zhǎng)期荷載和動(dòng)力作用的影響。

圖5 桁架橋的計(jì)算簡(jiǎn)圖(單位: mm)

3.2.2 設(shè)計(jì)變量

1) 桿件截面變量

依據(jù)文獻(xiàn)[13],一般構(gòu)件的長(zhǎng)細(xì)比應(yīng)小于150,由于上弦桿件承受壓力,故以上弦桿件的最大長(zhǎng)度計(jì)算桿件所需最小截面尺寸。經(jīng)分析,取上弦桿件的最大長(zhǎng)度為600 mm較合適,故:

(7)

因此,在后續(xù)的尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),桿件截面厚度均取14 mm,截面面積選自集合S={14×14,14×16,14×18,14×20,14×22,14×24,14×26,14×28,14×30,14×32,14×34,14×36}mm2,共12種截面面積。為保持對(duì)稱性,將桿件分為12組,包括上弦桿(所有上弦桿取相同截面,記為A1)、下弦桿(所有下弦桿取相同截面,記為A2)、兩兩對(duì)稱的豎桿(4組,A3(AAB=ANH),A4(ACI=AGM),A5(ADJ=AFL),A6(AEK))以及斜腹桿(6組,A7(AAC=AGN),A8(ABI=AHM),A9(ADI=AFM),A10(ACJ=AGL),A11(AEJ=AEL),A12(ADK=AFK))。

2) 形狀變量和拓?fù)渥兞?/p>

由文獻(xiàn)[14]可知,平行弦、多邊形以及弧形木桁架高跨比(h/l)最小限值為1/6。故桁架跨中高度最小值為:h=l/6=3 000/6=500 mm。正因如此,在后續(xù)形狀優(yōu)化中,設(shè)置上弦節(jié)點(diǎn)E的y坐標(biāo)在500～800 mm內(nèi)變化,其余上弦節(jié)點(diǎn)y坐標(biāo)在200～800 mm內(nèi)變化。為使結(jié)構(gòu)保持對(duì)稱性,形狀變量縮減為:y1(yE),y2(yD=yF),y3(yC=yG),y4(yB=yH)。

由于荷載作用在下弦節(jié)點(diǎn)上,故下弦桿和下弦節(jié)點(diǎn)保留,其余桿件和節(jié)點(diǎn)的增刪視為拓?fù)渥兞?即,上弦桿:T1(TBC=AGH),T2(TCD=AFG),T3(TDE=TEF);下弦桿:保留;豎桿:T4(TAB=THN),T5(TCI=TGM),T6(TDJ=TFL),T7(TEK);斜腹桿:T8(TAC=TGN),T9(TBI=THM),T10(TDI=TFM),T11(TCJ=TGL),T12(TEJ=TEL),T13(TDK=TFK)。

3.2.3 優(yōu)化目標(biāo)

本文以最小化木桁架總重和結(jié)構(gòu)失效似然度2個(gè)相互沖突的問(wèn)題作為優(yōu)化目標(biāo),桁架總重由設(shè)計(jì)變量和木材密度ρ=0.57×10-6kg/mm3確定,較為簡(jiǎn)單。此處,重點(diǎn)闡述結(jié)構(gòu)失效似然度的計(jì)算。

1) 不確定信息

在該試驗(yàn)中,主要考慮木材彈性模量E和節(jié)點(diǎn)荷載P的不確定性。在木材材性試驗(yàn)時(shí),抗彎彈性模量試件個(gè)數(shù)為30個(gè),具體測(cè)量數(shù)值見(jiàn)表3,據(jù)此繪制統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)圖6。由圖6可見(jiàn),木材彈性模量具有較大的離散性,由有限的30個(gè)數(shù)據(jù)無(wú)法建立其精確的概率分布。針對(duì)這種具有一定數(shù)量累計(jì)但又不足以確定其概率分布的情況,木材彈性模量的證據(jù)理論描述更為理想。根據(jù)圖6中各樣條之間的關(guān)系,采用小樣本數(shù)據(jù)信息量化方法[15],獲得彈性模量的區(qū)間集合及分配到各區(qū)間上的信任度,見(jiàn)圖7。

圖6 木材彈性模量的統(tǒng)計(jì)直方圖

圖7 木材彈性模量的區(qū)間集合表達(dá)

另外,由于下弦節(jié)點(diǎn)處的荷載大小相同,假定其不確定變化保持一致,如圖8所示。為了在試驗(yàn)過(guò)程中模擬這種不確定性,隨機(jī)選擇桁架試件按照表4所示的荷載設(shè)計(jì)值進(jìn)行加載。

表4 桁架試件加載值

圖8 荷載的區(qū)間集合表達(dá)

2) 失效似然度

(1) 應(yīng)力失效似然度:當(dāng)桿件受壓時(shí),按照文獻(xiàn)[13]考慮受壓桿件的穩(wěn)定系數(shù)φ,應(yīng)該滿足σc<φf(shuō)c。為了便于計(jì)算,在優(yōu)化設(shè)計(jì)中假定穩(wěn)定系數(shù)為0.70。壓應(yīng)力失效似然度表示為PPl(σc(E,P)-φf(shuō)c>0);當(dāng)桿件受拉時(shí),應(yīng)滿足σt0)。

(2) 位移失效似然度:桁架節(jié)點(diǎn)位移最大值umax不應(yīng)超過(guò)7 mm,位移失效似然度為PPl(umax(E,P)-7>0)。

(3) 第二個(gè)優(yōu)化目標(biāo):最小化max{PPl(σc(E,P)-φf(shuō)c>0),PPl(σt(E,P)-ft>0),PPl(umax(E,P)-7>0)}。

3.2.4 不確定優(yōu)化結(jié)果

針對(duì)上述桁架結(jié)構(gòu)的基本信息、設(shè)計(jì)變量以及優(yōu)化目標(biāo),可靠性多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)模型如(8)式所示。

(8)

在求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題(8)時(shí),DEMO優(yōu)化參數(shù)設(shè)置為:NP=200,Imax=500,隨著優(yōu)化迭代代數(shù)的增大,最優(yōu)解集從混亂無(wú)序的支配解逐漸向問(wèn)題的非支配解集收斂,目標(biāo)向量也向著最小化的方向逼近,最終得到Pareto最優(yōu)前沿,如圖9所示。本文選取圖9最優(yōu)折衷解集中的A點(diǎn)(1.41 kg,0.16)來(lái)驗(yàn)證所提理論方法的有效性。由于桿件壓應(yīng)力約束較為嚴(yán)格、節(jié)點(diǎn)位移同時(shí)受到荷載和彈性模量不確定的影響,在優(yōu)化過(guò)程中壓應(yīng)力和位移失效似然度起控制作用,拉應(yīng)力失效似然度不起控制作用。本文所選的最優(yōu)解A點(diǎn),其失效似然度最大值為壓應(yīng)力失效似然度,即PPlmax=PPl(σc(E,P)-φf(shuō)c>0)=0.16。將A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的桁架組命名為HJA,其具體的截面尺寸信息如表5所示,形狀和拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖10所示。

表5 試驗(yàn)桁架HJA的截面面積

圖9 最優(yōu)Pareto前沿

圖10 桁架HJA的最優(yōu)形狀和拓?fù)洳季?/p>

3.3 木桁架試驗(yàn)方案及加載結(jié)果分析

根據(jù)Pareto A點(diǎn)的截面尺寸、形狀以及拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果制作6榀相同的桁架試件,分別命名為HJA-1、HJA-2、HJA-3、HJA-4、HJA-5、HJA-6,試驗(yàn)加載如圖11所示。為了驗(yàn)證基于證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效性,現(xiàn)將各試件在其設(shè)計(jì)荷載作用下的最大響應(yīng)值以及失效情況匯總于表6。

圖11 HJA組木桁架的加載過(guò)程

由表6可知,HJA-1至HJA-4的響應(yīng)最大值均小于強(qiáng)度和位移約束條件,未發(fā)生失效。HJA-5的最大壓應(yīng)力為10.5 MPa,該值非常接近臨界值φf(shuō)c=10.3 MPa,兩者相差僅2%,屬于實(shí)際工程中可以接受的范圍,而且HJA-5具有一定的初始損傷,如圖12所示,并非正常受力所導(dǎo)致的應(yīng)力增大,故可近似認(rèn)為HJA-5未發(fā)生失效。因此,HJA組桁架的失效概率為Pf=1/6=0.16,與Pareto前沿中A點(diǎn)的失效概率相一致。

圖12 HJA-5下弦桿U5的初始裂縫和木節(jié)

經(jīng)對(duì)比分析,6榀桁架結(jié)構(gòu)的響應(yīng)值均具有一定的離散性。由于篇幅限制,本節(jié)僅選取HJA-4和HJA-5的部分響應(yīng)實(shí)測(cè)值進(jìn)行說(shuō)明,如圖13～14所示。由于HJA-4和HJA-5的加載等級(jí)和設(shè)計(jì)荷載是相同的,理論上,兩者的應(yīng)變和撓度在各個(gè)階段是相同的。但通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析發(fā)現(xiàn),兩榀桁架在每一加載等級(jí)處的響應(yīng)值以及整個(gè)曲線趨勢(shì)上都表現(xiàn)出一定程度的離散性,尤其是受壓上弦桿的應(yīng)變、受拉下弦桿的應(yīng)變和節(jié)點(diǎn)J的撓度,具有極大的差異。這些差異主要是由一些不可避免的不確定擾動(dòng)因素所導(dǎo)致的,比如節(jié)點(diǎn)連接、加載形式(非節(jié)點(diǎn)位置加載以及不同步加載等)、木材缺陷、彈性模量以及制造工藝等,這些不確定因素使相同桁架的受力性能存在極大的變異性。由此可見(jiàn),在優(yōu)化設(shè)計(jì)中考慮不確定的影響是極其必要的。

圖13 HJA-4和HJA-5部分桿件應(yīng)變實(shí)測(cè)值的比較

圖14 HJA-4和HJA-5節(jié)點(diǎn)J撓度實(shí)測(cè)值的比較

本文在多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中,采用證據(jù)理論考慮了認(rèn)知不確定因素,通過(guò)增大截面尺寸和改變拓?fù)錁?gòu)形使得結(jié)構(gòu)在最優(yōu)的前提下具有更大的安全儲(chǔ)備。從HJA-1至HJA-5的試驗(yàn)結(jié)果可以看出,由于具有較高的安全儲(chǔ)備,即使試件響應(yīng)實(shí)測(cè)值具有較大的離散性,并且大于理論模擬值,但并未發(fā)生失效,可見(jiàn)該方法能夠抵御外在不確定對(duì)結(jié)構(gòu)性能的擾動(dòng),避免最優(yōu)設(shè)計(jì)提前破壞,使結(jié)構(gòu)具有良好的穩(wěn)健性。

4 結(jié) 論

針對(duì)實(shí)際工程中人們對(duì)經(jīng)濟(jì)性和安全性兩方面最優(yōu)化的期望,本文遵循Pareto最優(yōu)折衷解的概念,采用證據(jù)理論表達(dá)了認(rèn)知不確定性,提出了基于證據(jù)理論的多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型,采用無(wú)需梯度信息且具有出色非支配策略的多目標(biāo)并行化微分演化算法求解Pareto最優(yōu)前沿。為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性,將木材彈性模量和節(jié)點(diǎn)荷載作為不確定變量,對(duì)一初始木桁架進(jìn)行了以最小化桁架質(zhì)量和失效概率為目標(biāo)的不確定優(yōu)化設(shè)計(jì),從中選取一個(gè)最優(yōu)化結(jié)果,并據(jù)此制作了6榀相同結(jié)構(gòu)形式的桁架試件。6榀木桁架的靜力加載試驗(yàn)反映了結(jié)構(gòu)承載能力的離散性以及應(yīng)用證據(jù)理論的必要性,并通過(guò)應(yīng)力和位移限值驗(yàn)證了基于證據(jù)理論的不確定優(yōu)化方法的有效性。通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn),基于證據(jù)理論的多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)是通過(guò)增加結(jié)構(gòu)安全儲(chǔ)備來(lái)抵抗信息不完備情況下不確定變量對(duì)結(jié)構(gòu)性能產(chǎn)生的擾動(dòng),避免了概率參數(shù)偏差造成錯(cuò)誤的優(yōu)化結(jié)果,這是一種穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)思想。