巧用等面積求解圖形轉化問題

盧宗凱

撫順市第十五中學賴濤老師的直播課“巧用平行線進行等積變換”選自遼寧教育學院“學到匯”公眾服務平臺“遼寧省初中數學學科周末名師公益課堂”，旨在貫徹落實國家“雙減”政策，幫助廣大師生自主學習和個性化提升。

對于不易直接求得的四邊形或者三角形的面積，賴老師根據“平行線間距離處處相等”進行圖形的等面積轉化，“不易求”即刻變成“直接求”.

模型構建

等積變換基本模型：如圖1，AB[?]CD，3對面積分別相等的圖形是：△ACD和△BCD，△CAB和△DAB，△ACE和△BDE.

等積變換模型變式：1.如圖2，在平行四邊形ABCD中，點E為BC的中點，點F為DC的中點，連接AE，AF，EF，則S△ABE? = S△ADF = [14]S平行四邊形ABCD.

2.如圖3，連接BD，BF，DE，由平行四邊形ABCD可知AD[?]BC，AB[?]CD，由點E為BC的中點，F為DC的中點，可知EF[?]BD，則S△ABE = S△DBE = S△DBF = S△ADF.若將“E，F分別為BC，DC的中點”改成EF[?]BD，結論仍成立.

真題呈現

例1 如圖4，在平行四邊形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，且EF[?]BD，若△ABE的面積為2，則△ADF的面積為__________．

解析：連接DE，BF，由圖4可得S△ABE = S△DBE = S△DBF = S△ADF，則S△ADF = 2.故填2.

變式延伸

例2 四邊形ABCD是平行四邊形，面積為72 cm2，點E，F分別為AB，BC的中點，DE，DF分別交AC于M，N，則圖5中①②③的三部分面積和為__________cm2.

解析：連接EF并兩端延長，分別與DA，DC的延長線相交于P，Q，如圖6.

因為點E，F分別為AB，BC的中點，所以EF[?]AC.易證? ? ?△BEF≌△CQF≌△AEP，則EF = FQ = PE，因此△DPE、 △DEF、△DFQ的面積相等.由AC[?]PQ可知△DAM、△DMN、△DNC的面積相等，則AM = MN = CN.顯然，DE，DF與AC的交點是AC的三等分點.易得S△DMN = 72 × [12] × [13] = 12，S△AEM = S△CNF = 72 ×? ?[12] × [13×12] = 6，所以S① + ② + ③ = 72 - 12 - 6 - 6 = 48. 故填48.

例3 如圖7，△ABC的面積為2，AP垂直于∠ABC的平分線于P，則△PBC的面積為__________.

解析：由角平分線、垂線聯想等腰三角形“三線合一”，延長AP交BC于D，如圖8.

由題意知∠ABP = ∠DBP，BP = BP，∠APB = ∠DPB = 90°，

∴△ABP≌△DBP，∴AP = DP，∴S△ABP = S△DBP.

∵ S△APC = S△CPD， ∴S△ABP + S△APC = S△BPD + S△CPD = [12]S△ABC = 1，

∴S△PBC = 1.故填1.

分層作業

難度系數：★★★解題時間：5分鐘

如圖9，正方形ABCD的邊長為8 cm，長方形EBGF的長為10 cm，EF經過點A，G在邊CD上，那么長方形的寬BE為__________cm.

答案

6.4