基于時域有限差分算法的光學MATLAB仿真

徐少輝 李波 王連衛

摘? ?要：以“物理光學”課程為例，基于計算電磁學的有限時域差分法和MATLAB軟件圖像顯示功能，動態地展示光學波動圖像，形象化設計課程教學環節。利用MATLAB軟件用戶操作界面（GUI）功能，讓學生自己動手完成結構設計，獲得波動光學數據和圖像。學生通過觀察動態光波傳播過程并分析光學圖像，提升了對物理光學基礎知識的興趣，有利于深入理解物理機制并提升實踐操作能力。

關鍵詞：教學方法；麥克斯韋方程；時域有限差分法（FDTD）；MATLAB

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2023）8-0069-4

高等教育正經歷著從應試教育向素質教育、從單一的知識教育向知識能力全面教育的轉變。因此，可以通過“學”和“做”相結合的方式讓工科學生掌握堅實的理論基礎，并訓練其嚴謹的工匠精神［１－２］。“學”和“做”是學習過程中的一對辯證統一體，古代就有“學而不思則罔，思而不學則殆”的教育，給出的解決方法就是“學而時習之，不亦說乎”，這里的“習”字就包含實踐的意思。教師可以在教學工作中給學生創設情境，讓其在“做”中探索，在“做”中體驗求知的無窮樂趣，以不斷獲得學習動力和新的發展。因此，以“物理光學”這門課的計算仿真為切入點，通過一系列教學模式和教學方法的改革和創新，來提升和轉變工科的基礎教學方法，此新教學方式也能夠拓展到其他基礎學科［３－４］。

光學是物理學專業、電子信息和技術專業開設的必修基礎課，要求學生在掌握基本光學理論的基礎上，培養他們運用基礎知識解決具體光學問題的能力［５－６］。在光學發展過程中，只有很好地掌握物理學基礎知識，才能更好地拓展光學專業的應用探索，并理解最新的科研發展，這是一個漫長的學習過程。光學的基礎理論可以追溯到１９世紀的麥克斯韋（Ｍａｘｗｅｌｌ）方程組，它是由四個一階微分方程組成，需要學習大量的物理基礎知識和高深的數學才能很好地理解。這些基礎知識的限制使得學生很難把握光學知識，感覺其與現代光學技術很遙遠。因此，可以利用最新電磁學發展成果反哺教學，利用編制好的計算機程序展示“物理光學”中的具體物理圖像。借助這些圖像，讓學生嘗試自己解決一些光學問題，使其逐漸走向最新光學科技前沿。國外的課程中也有類似的構思，如美國麻省理工學院（ＭＩＴ）的電磁學公開課中就有利用電磁計算直觀地展示波的傳輸特性的案例。澳大利亞悉尼大學的Ｉａｎ Ｃｏｏｐｅｒ教授完成了一系列的電磁計算案例，直觀地展示了光波的傳輸特性，并應用于光學課程教學。而國內的四川大學、華僑大學［７］、國防科技大學［８］等高校也都嘗試基于計算電磁學去提升光學課程教育。因此，把計算電磁學的最新科研進展應用于教學，精心設計光學物理圖像的動態展示，可以激發學生不斷探索的欲望。另外，讓學生在創設的物理情境中主動學習，能不斷獲得新的學習動力，并提升創新能力。

1? ? 計算方法簡介

隨著計算機性能的提升，計算電磁學得到了快速發展。從１９６６ 年Ｙｅｅ在解決電磁散射問題中提出最初思想到現在，時域有限差分算法（Ｆｉｎｉｔｅ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ Ｔｉｍｅ Ｄｏｍａｉｎ，簡稱ＦＤＴＤ）已經歷了五十多年的發展［９－１０］。ＦＤＴＤ能夠計算Ｍａｘｗｅｌｌ電磁波方程，得到各種結構的電磁波傳輸特性，并可以模擬出各個時刻的電磁場分布。另外，ＦＤＴＤ的方便性和準確性也得到了理論和實驗上的檢驗。實現ＦＤＴＤ計算方法的三大關鍵要素分別為差分格式（包括解的穩定性）、激勵源和吸收邊界條件。

1．１? ? 差分格式

基于Ｙｅｅ 元胞圖，每一個磁場分量有四個電場分量環繞。同樣，每一個電場分量也由四個磁場分量環繞。這種電磁場分量的空間取樣方式符合法拉第定律和安培環路定律的自然結構，電磁場各分量的空間相對位置也適合于Ｍａｘｗｅｌｌ的差分計算，能夠恰當地描述電磁場的傳播特性。因此，給定相應電磁問題的初始值及邊界條件后，利用 ＦＤＴＤ 方法就可以逐步求得各個時刻的空間電磁場分布。

1．２? ? 激勵源

1．３? ? 吸收邊界條件

ＦＤＴＤ計算過程中，往往只能選擇有限的空間范圍，只對計算區域內部的網格上的電磁場數值有效。電磁波到達邊界時，理論上應該繼續向外界傳播。實際上，電磁波將在邊界上發生強烈反射，反射回來的電磁波與計算區域中的電磁波發生重疊，導致假的計算圖像和錯誤的計算信息。因此，需要引入吸收邊界條件，使得計算區域的邊界上，電磁波如同在自由空間一樣無反射地傳播。人們已經發展出了各種吸收邊界條件，如Ｍｕｒ、Ｌｉａｏ和人為構造的ＰＭＬ（Ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ Ｍａｔｃｈｅｄ Ｌａｙｅｒｓ）等。

利用ＭＡＴＬＡＢ軟件的用戶交互式（ＧＵＩ）功能，學生自己動手修改參數，并基于ＦＤＴＤ獲得光波傳輸圖像，讓學生在“做”中探索，在“做”中體驗求知的樂趣。

2? ? 教學思路和過程

由于“物理光學”課程主要針對大學二年級學生，他們的數學計算能力、計算機編程能力和工程訓練都較弱。基于此，分兩步完成教學任務。

第一步，通過編制好的計算電磁學程序，利用ＦＤＴＤ求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程，得到光波傳輸數據和動態圖像（可以錄制為電影模式）。讓學生通過觀察動態圖像的方式理解光學物理現象，也能給學生展示光學科研領域的最新進展，讓其打開眼界和思路。

第二步，學生利用ＧＵＩ功能操作計算程序、設計實驗結構、改變計算仿真參數。通過觀察光學圖片和動畫，討論各個參數對物理性質的影響，從而培養學生的動手能力和創新能力。

2．１? ? 光學物理圖像的展示部分

做一個表格，把“物理光學”課程中主要物理問題列出。基于ＦＤＴＤ方法做出一系列展示程序，并整理成一個應用程序集，用于演示平面波、球面波（柱面波）、介質界面的反射和折射、光波的全反射、光的干涉、光的衍射和光柵衍射等。在教學過程中，利用ＭＡＴＬＡＢ平臺運行ＦＤＴＤ程序，讓學生直觀地感受電磁波的演變過程和物理圖像。

顯示界面（圖１）列出了不同的物理過程，選擇感興趣的物理過程，點擊Ｓｔａｒｔ 按鈕，就可以觀察到物理圖像隨時間的動態演變過程。圖２是實例中展示的光學圖像，分別是平面波的傳輸、球面波的傳輸、雙縫干涉和單縫衍射過程。學生觀察電磁波的演變過程后，可以很好地理解電磁波的傳輸特性。這是一個開放式展示程序，能逐步把新開發出來的應用程序加入其中，使教學內容更加豐富。

2．２? ? 實踐操作部分

二年級學生不易掌握模擬計算的源程序和相關算法，讓他們修改源程序來實現不同的物理過程還很困難。因此，使用更友好的ＧＵＩ來實現物理過程的設計以及物理圖像的模擬計算，會更加容易。讓學生觀察計算得到的圖片和動畫，討論各個參數對光學性質的影響，可以深入地理解物理機理，也可以鍛煉他們的數據分析能力和創新能力。

2．２．１? ? 反射和折射的仿真實驗

不同介質界面處光的反射和折射過程是常見的自然現象，雖然中學時就學了反射和折射定律，但直到“物理光學”課上，才獲得了反射率和折射率的定量關系（菲涅耳公式）。因此，基于時域有限差分法，利用ＧＵＩ功能開發了介質界面反射和折射的仿真程序（圖３），以波動方式理解光的反射和折射現象。具體操作包括：

（１）結構設計界面：選擇或修改參數，包括入射波長（５ μm～２０ μm）、入射介質和出射介質的折射率、入射角度（０°～９０°）以及計算時間等。然后，點擊操作按鈕可獲得不同的物理圖像。

（２）選擇Ｒｕｎ按鈕，可以獲得由菲涅耳公式計算得到的介質界面的反射率和透射率結果，并標記布儒斯特角（對于Ｐ光，或者ＴＭ模式）和全反射臨界角，如圖３（ａ）所示。

（３）輸入入射波長（５ μm～２０ μm），入射角度（０°～９０°）和計算時間，選擇Ｓｈｏｗ按鈕，基于ＦＤＴＤ方法求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程，確定不同入射角度時反射和折射的波動圖像。

在玻璃（折射率１．５）／空氣（折射率１．０）界面處，計算得到的反射率和透射率結果如圖３（ａ）所示。同時，也可以得到布儒斯特角（對于Ｐ光，或者ＴＭ模式）為３３．８０°，全反射臨界角為４１．８１°。小角度（入射角２５°）入射情況，如圖３（ｂ）所示，光波以折射現象為主，大部分電磁波通過界面進入空氣中，顯示出較大的折射角。也可以從波動圖形中觀察到弱的反射率（約５％），其主要表現為光強度的明暗變化，對應光波的干涉圖樣。這是由于入射波和反射波滿足干涉條件，在此區域相遇時發生干涉現象。對于大角度（入射角５５°）入射情況，如圖３（ｃ）所示，光波以反射現象為主，大部分電磁波被反射進玻璃中。由于入射光線和反射光線的偏移，導致全反射過程中的古斯－哈恩斯（Ｇｏｏｓ－Ｈａｎｃｈｅｎ）位移現象［５－６］。反射光與入射光的疊加區域也出現了明顯的干涉現象。同時，要注意到折射光并沒有完全消除，透射進入空氣中的光波強度以指數衰減，這就是全反射現象中的隱失波特性。學生通過自己動手實踐操作，可以深入理解介質界面的反射和折射現象。

2．２．２? ? 光學干涉和衍射仿真實驗

光波的干涉和衍射現象是“物理光學”的重要內容，因此，基于時域有限差分法并利用ＧＵＩ設計了干涉和衍射現象的操作界面（圖４），以波動方式形象化地展示光的干涉和衍射現象。具體操作如下：

（１）結構設計界面。輸入參數（狹縫數，狹縫大小，狹縫間距）后，右端顯示結構圖形（按Ｓｈｏｗｐｉｃｔｕｒｅ鍵）。

（２）確定光波的波長并運行程序。輸入光波的波長，選擇平面（２Ｄ）或者立體（３Ｄ）顯示，運行計算程序（按Ｒｕｎ鍵）。

（３）觀察計算結果。觀察計算得到的動態干涉（或者衍射）圖形（圖５），以及不同位置光波干涉強度分布圖（圖６）。

以計算結果為例，在空氣（折射率１．０）中設置狹縫寬度為４ μm、間距為１０ μm，按Ｓｈｏｗｐｉｃｔｕｒｅ鍵可得到圖４所示的楊氏雙縫結構圖。當光波波長為５ μm時，按Ｒｕｎ鍵可得到雙縫干涉圖形，如圖５所示。可以觀察到明顯的光波強弱變化，三個干涉峰向外傳播。用三維圖像顯示是為了方便觀察光強的變化。考慮到ＦＤＴＤ計算范圍有限，在光學近場范圍內（菲涅耳衍射），隨著通過狹縫的兩束光波向外傳播，干涉峰強度發生明顯變化。首先，顯示為兩個明顯的峰，即兩個光源還處于相互獨立的狀態，如圖６（ａ）所示。隨著傳播距離的增加，兩個光源的光波發生重疊，得到中間強度最大的光波分布圖，如圖６（ｂ）（ｃ）所示。隨著傳播距離的增加，中間區域出現三個峰，如圖６（ｄ）所示。

可以對此干涉和衍射仿真程序進行拓展研究。例如，研究單縫衍射現象和光柵衍射現象（３到７個狹縫）。對于雙狹縫結構，還可以改變狹縫大小、狹縫間距和入射波波長等參數，定量研究這些參數對干涉圖形的影響。干涉和衍射圖形的展示和數據分析過程，非常考驗學生的光學基礎知識，有助于他們對“物理光學”課程基礎知識的理解。另外，此仿真實驗程序非常適合作為開放性仿真實驗，學生可以基于此程序自主設計新結構，獨立操作創新型仿真實驗，獲得不同結構下的干涉和衍射圖像。

3? ? 結? 論

針對求解Ｍａｘｗｅｌｌ電磁波方程的難點，通過ＭＡＴＬＡＢ平臺運行求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程的ＦＤＴＤ程序，計算不同環境下的電磁學問題。模擬完成“物理光學”中的光學部分，形象地展示了電磁波圖像和最新的光學科研進展，讓學生直觀感受光學的演變過程和物理圖像，提升其學習興趣。利用ＧＵＩ功能建立電磁學實驗仿真平臺，在教學過程中進行多參數光學仿真實驗，為設計型和研究型仿真實驗創造條件。也能把動態光學演變過程展示給學生，培養其創新能力。此思路雖然是在高校教學中發展而來，但可以很方便地拓展到中學物理教學中。

參考文獻：

［１］史峰． 高等教育中現代教育技術的應用研究［Ｊ］． 課程教育研究，２０１７（２７）：６１－６２．

［２］顧培蒂． 可視化技術在教育中的應用［Ｄ］． 北京：北京師范大學，２００８．

［３］徐寧． “物理光學”研究型教學模式探索與實踐［Ｊ］.電氣電子教學學報，２０１２，３４（３）：１０３－１０５．

［４］黃元申，李柏承，徐邦聯，等． 物理光學本科教學體會［Ｊ］.上海理工大學學報（社會科學版），２０１４，３６（３）：２９３－２９６．

［５］梁銓廷． 物理光學（第５版）［Ｍ］.北京：電子工業出版社，２０１８．

［６］鐘錫華． 現代光學基礎（第２版）［Ｍ］.北京：北京大學出版社，２０１２．

［７］周權． ＦＤＴＤ方法在波動光學教學中的應用探索［Ｊ］.物理通報，２０１９（４）：１２－１６．

［８］林志立，陳子陽，陳旭東，等． 基于ＦＤＴＤ和ＭＡＴＬＡＢ的光學理論課程可視化輔助教學研究［Ｊ］． 教育現代化，２０１９，６（８２）：１７３－１７５．

［９］Ｙｅｅ Ｋ Ｓ． Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｉｔｉａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ Ｍａｘｗｅｌｌｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｍｅｄｉａ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｎｔｅｎｎａｓ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ，１９６６，１４（３）： ３０２－３０７．

［１０］Ｔａｆｌｏｖｅ Ａ，Ｈａｇｎｅｓｓ Ｓ． Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｅｌｅｃｔｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ：Ｔｈｅ Ｆｉｎｉｔｅ－Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ Ｔｉｍｅ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｅｔｈｏｄ，３ｅｄ ［Ｍ］.Norwood，MA： Ａｒｔｅｃｈ Ｈｏｕｓｅ，２００５．

（欄目編輯? ? 賈偉堯）