一種尋北儀二位置測量法中轉位誤差影響分析方法

郭 銳

(中國船舶集團有限公司第八研究院,南京 211153)

0 引 言

常用的陀螺尋北儀根據慣性原理研制,不易受使用環境的干擾,具有連續工作時間長、精度高等特點,能夠為載具提供準確的航向信息[1]。為了消除陀螺常值漂移,工程上常采用旋轉定點采樣尋北方案,將尋北儀旋轉至不同方位停下,根據陀螺在這些方位的靜態輸出數據進行尋北解算,以此來達到消除陀螺常值漂移的目的,二位置測量方法正是其中最常用的一種[2]。但實際存在的尋北儀陀螺轉位誤差、載體姿態角誤差以及尋北儀安裝誤差等都會引起陀螺測量采樣值出現偏差,影響尋北儀最終輸出。為此,本文在文獻[3]的基礎上采用更為直觀的空間解析幾何法分析轉位誤差對尋北儀輸出的影響,以代替傳統較為繁瑣的坐標變換誤差分析方法。

1 尋北儀工作原理

尋北儀利用其內部高靈敏度、高精度的陀螺測量地球自轉角速度分量,解算出北向與被測方向的夾角。假設北半球上一載體所在地點S緯度為φ,該點地球自轉角速度矢量Ω,方向如圖1所示。Ω沿水平面的分量為Ωx0,指向北;垂直向上的分量為Ωz0,可以得到

Ωx0=Ωcosφ,Ωz0=Ωsinφ

(1)

圖1 陀螺尋北儀工作原理圖

假設尋北儀所在載體完全水平,其與正北的夾角為H,則Ωx0在尋北儀陀螺敏感軸上的分量為

M1=M0+DΩx0cosH=M0+DΩcosφcosH

(2)

式中,M0為陀螺零偏;D為陀螺標度因數。

在Ω、φ確定和零值漂移M0已知的情況下即可求出方位角H(即載體絕對水平、無安裝誤差的理想情況下尋北儀的輸出值):

(3)

2 尋北儀二位置測量法

為了消除M0,根據二位置測量法原理,將尋北儀在式(2)基礎上方位角轉過180°再采樣此時的靜態輸出。此時陀螺測量值為

(4)

觀察式(2)和(4)不難發現,只要將兩式相減即可抵消M0,得到尋北儀輸出方位角,即

(5)

此時D、Ω、cosφ均為定值,因此尋北儀輸出將由這兩個位置的陀螺測量值之差ΔM決定。

但實際工程中存在的尋北儀陀螺轉位誤差、載體姿態角誤差以及尋北儀安裝誤差都會引起陀螺測量值出現偏差,對ΔM造成影響。

3 基于空間解析幾何法的轉位誤差影響分析

3.1 載體空間坐標系的建立

空間解析幾何法在具體的坐標系中才能使用,因此在分析轉位誤差前先建立載體空間坐標系。假設載體質心為O,首先定義地理空間坐標系O-XYZ如圖2所示:X軸沿當地子午線,指北為正;Y軸沿當地緯線,指西為正;Z軸垂直于當地水平面,向上為正。顯然平面XOY、YOZ、XOZ兩兩之間相互垂直,3個面將空間分為8個卦限。

圖2 載體空間坐標系

先不考慮安裝誤差,假定陀螺中心與載體質心、陀螺測量軸與載體首尾線均完全重合,單位向量OM位于陀螺測量軸上,沿載體首尾線向前,另一單位向量ON垂直于OM向左。載體姿態誤差角定義如下:縱搖誤差角θ為OM與水平面的夾角,即OM與OXb(OM在水平面的投影)的夾角,其測量平面為鉛垂面,載體前部抬起為正;橫搖誤差角γ為ON與OYb(過ON的載體剖面與水平面的交線)的夾角,載體左側抬起為正。得到正北線OX與OXb的夾角即為方位角H,順時針為正。

由以上定義可知,OYb位于水平面,OM、OZ位于鉛垂面,OXb為水平面與鉛垂面的交線,因此可以得到以下垂直關系:OYb⊥OXb、OYb⊥OZ、OXb⊥OZ,即平面XbOYb、XbOZ、YbOZ兩兩之間互相垂直,這3個平面即可組成載體空間坐標系O-XbYbZ。載體空間坐標系O-XbYbZ可以理解為由地理空間坐標系O-XYZ繞Z軸順時針轉過方位角H形成的。

3.2 轉位誤差分析

假設載體所在點地球自轉角速度水平分量、垂直分量分別為向量OA、OB,則可以得到在載體空間坐標系O-XbYbZ中A點坐標為(Ωx0cosH,Ωx0sinH,0),B點坐標為(0,0,Ωz0)。此時尋北儀處于位置1,M點坐標為(cosθ,0,sinθ),N點坐標為(-sinθsinγ,cosγ,cosθsinγ)。由于M、O、N三點都在載體平面上,載體平面可用MON表示,得到其法線向量為

(6)

根據平面的點法表達式,可得到平面MON方程:

xsinθ+ytanγ-zcosθ=0

(7)

尋北儀陀螺測量值即地球自轉角速度水平分量OA、OB在敏感軸OM上的投影值之和再加上陀螺零值漂移M0。根據空間直線投影定義可以求得不考慮安裝誤差時的陀螺實際測量值:

(8)

在實際使用中,由于安裝問題,尋北儀陀螺測量軸很難與載體首尾線完全重合,存在誤差角[4]。為了便于分析,在不影響推導結果的前提下,假設原點仍在陀螺中心。此時陀螺敏感軸即測量軸向量為OC1,如圖3所示,這里將安裝誤差角放大處理。繞測量軸OC1旋轉的誤差角對測量值不會有影響,可以忽略,因此定義以下兩個誤差角表示安裝誤差:χ為陀螺測量軸OC1繞陀螺縱軸旋轉的角度,即OM到OP1(測量軸OC1在載體平面的投影)的角度,順時針為正,載體面內測量;σ為陀螺測量軸相對于載體平面的俯仰角,即圖3中OC1與OP1的夾角,向上抬起為正,其測量平面垂直于載體平面。

圖3 陀螺安裝誤差角與轉位誤差角

設單位向量OP1的方向向量為(a1,b1,c1),由于角χ為OM與OP1的夾角,又已知OP1位于載體平面MON,根據空間解析幾何相關定義得到OP1方向向量:

a1=cosχcosθ+sinχsinθsinγ

b1=-sinχcosγ

(9)

c1=cosχsinθ-sinχcosθsinγ

設平面C1OP1法線向量為(a2,b2,c2),因為其垂直于平面MON且垂直于OP1,可得

b2=-c1sinθ-a1cosθ=-cosχ

(10)

設測量軸OC1方向向量為(a3,b3,c3),因為其位于平面C1OP1,必垂直于其法線向量(a2,b2,c2),結合角σ的定義和單位向量定義,可求得陀螺測量軸OC1方向向量:

sinθcosγsinσ

(11)

cosθcosγsinσ

此時陀螺測量值為OA、OB在測量軸OC1上的投影值之和再加上M0：

M1=M0+DΩ[cosφ(a3cosH+

b3sinH)+c3sinφ]

(12)

考慮到實際中θ、γ、χ、σ均為小角度,所以其中任意兩個角度正弦值的乘積為二階無窮小量,可忽略,將式(11)代入式(12),得到陀螺位置1測量值:

M1=M0+DΩcosφcosχcosσcosθcosH-

DΩcosφsinχcosγcosσsinH+

DΩsinφ(sinθcosχcosσ+cosθcosγsinσ)

(13)

旋轉定點采樣只對式(13)中的安裝誤差角χ、σ產生影響。采用二位置測量法將尋北儀整體順時針轉過180°到位置2,此時測量軸為OC2,當不考慮轉位誤差時,安裝誤差角χ2=χ+π,σ2=-σ,陀螺位置2測量值為

M2=M0-DΩcosφcosχcosσcosθcosH+

DΩcosφsinχcosγcosσsinH-

DΩsinφ(sinθcosχcosσ+cosθcosγsinσ)

(14)

轉位誤差在實際工作中總會出現,假設轉位誤差角為φ,即圖3中OC3與OC2的夾角,由于φ一般很小,因此安裝誤差角可近似為χ3≈χ+π+φ,σ3≈-σ,則陀螺測量值為

M3=M0-DΩcosφcosσcosθcosHcosχcosφ+

DΩcosφsin(χ+φ)cosγcosσsinH+

DΩsinφ[sinθcosχcosφcosσ-

cosθcosγsinσ]

(15)

由式(13)和式(15)可以得到轉位誤差φ與陀螺測量值偏差ΔM的關系如下式所示:

cosφ(sinHcosγsinχ-cosHcosθcosχ)cosφ+

sinφsinθcosχ+cosφ(cosHcosθcosχ-

sinHcosγsinχ)]

(16)

3.3 Matlab仿真驗證

Matlab版本為R2014a,利用GUIDE編輯的GUI界面如圖4(a)所示,驗證以下兩種情況[5]：

(1)假設載體方位角H=30°,姿態角誤差固定為θ=1°、γ=1°,安裝誤差角固定為χ=1°、σ=1°,根據式(12),不同緯度下陀螺測量值偏差隨轉位誤差角φ(φ∈[-1°,1°])變化的曲線如圖4(b)所示。可以看出:緯度越高,轉位誤差角φ對測量值偏差的影響越大;

(2)當緯度固定φ=30°、姿態角誤差和安裝誤差角均為1°、轉位誤差角φ=0.5°時,陀螺測量值誤差還與方位角H(H∈[-π,π])有關,如圖4(c)所示,可以看出:在存在轉位誤差的情況下,當H=0°時測量值偏差最大。

(a)陀螺測量值偏差計算界面

(b)不同緯度測量值偏差與轉位誤差角關系

(c)測量值偏差與方位角關系

4 結束語

針對尋北儀二位置測量法中轉位誤差角會影響其最終輸出的問題,本文采用空間解析幾何法進行分析,較傳統方法更為直觀。此方法可以擴展用于分析造成陀螺測量誤差的其他因素,為尋北儀精度分析提供了一種新的思路,并為誤差補償提供了理論依據。