基于非凸懲罰融合套索模型的電機軸承復合故障診斷

王凡，馬軍,2※，熊新,2，李祥

（1. 昆明理工大學信息工程與自動化學院，昆明 650500；2. 昆明理工大學云南省人工智能重點實驗室，昆明 650500）

0 引言

三相異步電機作為現代農業生產活動中電動力農業機械裝置的核心部件之一，常被應用于電動碾米機、榨油機、粉碎機等各類固定作業機械中進行電力驅動，它具有效率高、污染小、噪聲低、操作方便等優點，因此被廣泛運用于農業工程領域[1-3]。電機內部的滾動軸承在設備運轉過程中起著支撐和導向的作用，滾動軸承安裝簡單使用方便，產生的摩擦力小，能夠提高機械的工作效率，軸承的健康狀態影響著設備機組的運轉性能甚至決定著整個運行過程是否可以正常進行[4]。電機軸承屬于旋轉機械中的易損零部件，由于運行環境和工況復雜多變，當軸承形成一個故障形態后容易惡化并導致其他位置的故障并發，多種故障信號彼此耦合給檢測帶來了巨大的困難[5-6]。因此，如何在復合微弱故障相互耦合以及強烈外界噪聲的環境下，精確提取微弱故障特征是電機故障診斷領域亟待攻克的難題[7-9]。

信號稀疏表示方法作為一種新興的信號壓縮與重構方法，已成功地應用于旋轉機械的故障診斷領域，該方法使一維信號矩陣用盡可能少的原子來構造稀疏字典，在保留特征信息的同時降低信號復雜度，從而使我們簡單有效地獲取復雜信號中所蘊含的特征信息。但是構建懲罰函數的好壞會影響稀疏結果，若懲罰函數設計的不理想會導致函數在表達過程中失去物理意義，且獲得的信號稀疏表示結果容易存在與原有信號脈沖不匹配的問題[10]。為使信號通過稀疏表示方法獲得更準確的重構結果，近年來，學者提出了稀疏正則化方法，該方法的核心思想是把原始振動信號與待提取的故障脈沖看作一維矩陣或向量，引入正則化項來對稀疏過程進行約束，增強了模型的泛化能力和魯棒性，并通過求解稀疏正則化的反問題，近似得到故障脈沖信號[11]。目前，稀疏正則化方法有L0正則、L1正則、L2正則、Lp正則以及全變差正則（total variation，TV）。其中，L0正則可求解x中有多少個非零元素，但此求解方法是NP 難問題（nondeterministic polynomial-hard problem，NP-hard problem）；L1正則表示各個參數的絕對值之和，L1范數不可導且是一個有偏估計，難以對較大的稀疏解實現精確估計[12]；L2正則即歐氏距離，規則化能力強但特征選擇能力弱；Lp正則的構。上述稀疏正則化方法在故障診斷領域廣泛應用，但仍存在難以優化求解的問題。TV 正則因其目標函數保持強凸性，且求解過程較為簡單，為振動信號的稀疏重構提供了新的途徑，TV 正則通常指凸懲罰全變分去噪方法（total variation denoising，TVD），最早被應用于圖像噪聲去除，FIGGUEIREDO等[13]提出構造TVD模型對圖像中的噪聲進行去除，并利用MM（majorization-minimization，MM）算法求解該模型。LAURENT[14]首次將TVD 應用于一維信號降噪并取得了較好的濾波效果，YOU等[15]為了減弱機械振動信號中背景噪聲的干擾并準確提取時頻譜中的特征脊線，引入TVD 方法進行降噪處理，數值仿真和實測結果表明該方法較好地增強了復雜信號的時頻表示能力；JIANG等[16]提出一種VMD（variational mode decomposition，VMD）和TVD 相結合的方法，利用信噪比選取參數，并證明該方法優于小波閾值去噪算法。雖然上述TVD 方法的目標函數具有嚴格凸性且可以有效保留邊緣特征，但在實際運用過程中易低估稀疏系數、丟失高幅值特征成分并難以選取正則化參數[17]。

為了避免上述問題并有效提高信號特征的提取精度，一些學者提出了 NCTVD（non-convex total variation denoising，NCTVD）非凸正則方法能更準確地估計信號值并增強沖擊成分的特征，如LP(p＜1)方法[18]、重賦權L2/L1方法[19]、對數懲罰函數、反正切懲罰函數、極小極大凹懲罰函數等。有學者通過加入新的懲罰函數項來提升NCTVD 模型稀疏分解效果，如LIN等[20]將莫羅增強函數融合至非凸懲罰模型中，增強了軸承微弱故障特征，同時利用包絡譜識別故障特征頻率；HE等[21]將可調小波基因子與廣義極小極大凹函數相結合成功應用于旋轉機械的微弱故障診斷；TRIPATHI[22]利用對數懲罰函數構造非凸正則化項，并證明了此方法優于其他懲罰函數項和小波閾值去噪；WANG等[23]利用極小極大凹函數結合小波函數構造非凸小波全變分模型成功提取了滾動軸承的微弱故障特征，并應用于實測健康狀態數據，驗證了該方法的低誤報率。還有學者通過構建新的非凸懲罰模型和改進稀疏系數的求解方法來解決原模型難以診斷復雜微弱故障的問題，如WANG等[24]利用k-稀疏性策略來求解NCTVD 模型中的稀疏參數，通過仿真實驗和實際測試證明了該方法可以顯著提高軸承故障信號的估計精度，HE等[25]將觀測到的噪聲信號建模為兩個重復群稀疏分量與高斯白噪聲的和，并采用非凸正則化重復瞬態提取算法對機車軸承的復合故障進行診斷；LI等[26]提出交替方向乘子算法與二分量稀疏低秩矩陣分離方法，對減速機齒輪箱復合故障進行診斷；HUANG等[27]將稀疏表示和傅里葉變換融合構成一個緊湊框架，避免了高維逆矩陣的計算，之后通過分割增廣拉格朗日收縮算法迭代求解得到兩種混合分量的稀疏系數，從而有效地從齒輪箱振動信號提取出復合故障瞬態成分。

雖然上述非凸懲罰稀疏正則化方法例如反正切懲罰函數模型[28]（arctan non-convex total variation denoising）在故障診斷方面取得了良好的效果，但是在實際應用于電機軸承復合故障診斷時仍然存在著如下問題：稀疏后的數據原子復雜度較大，模型稀疏性能較差；不能充分反映信號的稀疏特征成分，無法提取復合故障特征。

基于此，本文提出基于NCFLM（non-convex fused lasso model，NCFLM）的電機軸承復合故障診斷方法，核心思想是將構造融合套索模型的思想應用到基于arctan 非凸懲罰函數的NCTVD 模型中，構建對L0范數逼近程度高且能保持較高稀疏性的信號分解模型，針對復合故障的振動信號需準確分離的工程需求，引入具有良好保幅值能力的GMC（generalized minimax concave，GMC）函數優化稀疏懲罰函數項，在使模型保持強凸性狀態的正則化參數和凸性參數取值范圍內，進一步利用遍歷尋參方法確認最優的參數組合，并通過試驗驗證該模型對電機復合故障診斷的有效性。

1 基于TVD 改進的NCFLM 模型

1.1 TVD 的基本原理

全變分去噪模型包含保真項和凸正則化項，可實現對原始信號的稀疏表示。定義一維信號為x(n)(0≤n≤N-1)，n為信號中的第n個原子，N為信號長度，該信號的一階全變分為

式中Dx表示一階微分，||·||p（p≥1）為Lp范數，p表示階數，其中矩陣D的定義如下：

三對角矩陣DDT表示為

且||x||p為

當p=1 或者p=2 時，一階和二階范數分別定義如下：

信號x(n)加入高斯白噪聲w(n)，可得到合成的原始噪聲信號y(n)：

定義全變分去噪模型的目標函數為

式中‖y-表示信號保真項，λ‖Dx‖1表示正則化項，λ為正則化參數，TVD 的目的是找到信號x從而最小化目標函數：

采用MM 算法對式（9）進行求解，以xk+1表示F(x)經MM 算法而產生的第k+1個子序列，diag 表示對角矩陣，求解方程如下：

式（10）迭代求解后得到經TVD 模型處理的重構信號，但通過比較式（8）可以發現正則化參數λ調控著正則化項的懲罰程度：λ越小，懲罰程度越小，重構信號x可能會更接近原始信號y，從而失去稀疏表示的意義；λ越大，懲罰程度越大，當λ大于某個閾值后可能會使信號失真。

1.2 NCTVD 與NCFLM 的基本原理

式（8）中正則化項本質上是L1范數，L1范數在凸函數中有效地增強了稀疏性，但作為懲罰函數的L1范數往往低估了較大的信號值。在誘導信號的稀疏性和估計信號值方面，非凸懲罰函數通常優于L1范數，將λ‖Dx‖1變為非凸正則化項形式，式（8）轉化為

式中?表示參數化非凸懲罰函數，正則化項用反正切懲罰函數（arctangent penalty，arctan）來表示，即可得到arctan-NCTVD 模型：

式中參數a控制模型的凸性程度，一般來說，非凸懲罰函數項還包括對數懲罰函數項（logarithmic penalty，log）和一階有理懲罰函數項（first order rational penalty，rat）如下所示：

SELESNICK 利用MC 非凸懲罰函數和線性最小二乘Huber 函數推導出GMC 非凸懲罰函數，該模型能更精確地估計稀疏解的高振幅分量和誘導稀疏性[29]。本文以文獻[28]中的arctan-NCTVD 模型為原始模型，融合GMC 函數對模型進行套索化處理，此步驟的GMC 是由卷積下定義的Huber 泛化推導得到，設一元Huber 函數s(x)的表達式為

設b為壓縮尺度變量，若b=0，則s(x)=0；若b≠0，則尺度Huber 函數sb(x)為

設A,B∈RM×N，A、B、R為實數矩陣，v表示靠近x兩側鄰域內的點，M和N為矩陣行數和列數，對式（17）進行變尺度處理，將其轉化為變尺度Huber 函數sB(x)，表示為

利用式（18）定義的sB(x)進行泛化推導得到GMC懲罰函數PB(x)為

融合套索模型是非凸懲罰模型的擴展，將式（12）按式（20）的形式拓展后并代入式（19），此稀疏優化問題可轉化為如式（21）的鞍點近似求解問題，此問題可通過FBA 算法求解，該算法具體步驟見文獻[29]，其中 β為數據原子，(xopt,vopt)為迭代處理后得到的鞍點坐標，嚴格凸函數的參數取值范圍如圖1 所示，可以看出，參數需在三角形內部取值才能保證模型為嚴格凸。NCFLM 與常規非凸懲罰模型的區別在于它同時對信號數據原子本身及其差分的絕對值之和進行懲罰控制，減少了具有相同特征鄰近原子之間的差值，并統籌兼顧了所有原子的順序聯系性，使得不同特征成分更容易區分。也可以說，融合套索模型處理后的原子不僅是稀疏的，原子之間的連續性差異也是稀疏的，因此在原子和連續性差異之間產生稀疏解，更能促進模型的稀疏性。

圖1 強凸函數的參數取值范圍Fig.1 Value range of parameters for strong convex function

1.3 NCFLM 與其他非凸懲罰函數的函數值變化曲線分析

為驗證本文模型在重構性能方面比常規非凸懲罰函數更具優勢，將NCFLM 模型與初始L1范數模型、log模型、rat 模型、arctan 模型的函數值變化曲線進行對比分析。

圖2a 為不同懲罰因子的懲罰函數值對比，L0范數雖稀疏特征明顯但因其較難優化求解而被稱為NP 難問題，L1范數被稱為L0的最優凸近似并且比其更容易優化求解而得到了廣泛應用，log、rat 以及arctan 非凸懲罰因子作為L1范數的改進，比L1范數更能實現對L0范數的逼近，以x=3 為例，R1、R2、R3、R4、R5的懲罰函數值與R0分別相差1.5、0.89、0.83、0.7、0.25，R5與R0最為接近，即NCFLM 函數曲線與L0范數的函數曲線最為相近，逼近程度最高。

圖2 基于不同懲罰因子的函數值及模型近端算子函數值對比Fig.2 Comparison of function values and proximal operator function values based on different penalty factors

圖2b 為不同懲罰因子的近端算子對比，懲罰因子?(x,a)的近端算子θ為

當0≤a≤1/λ時，近端算子θ變為連續的非線性閾值函數：

若a=0，近端算子轉化為軟閾值函數，基于L1范數的近端算子是軟閾值函數，其低估了較大的非零奇異值。這些懲罰因子的近端算子都是固定閾值函數，sign 為符號函數，當閾值變化時θ可轉化為

由圖2 可知，在信號系數較大時，NCFLM與L0范數的曲線重合，而其他懲罰因子的近端算子曲線都與L0范數所對應的θ=y處存在一個固定的距離，證明在y較大時，NCFLM 的稀疏能力與L0范數持平，由此可知，融合套索化后的NCFLM 有更加優秀的稀疏性能。以斜率作為接近L0范數程度的評判標準，NCFLM 的逼近性能比arctan 懲罰函數提高了15%。以y=-3 為例，在y值相同時，NCFLM 具有最小的θ值，由式（21）可知，此時在argmin 條件下能取得更合適的x值；以θ=-3 為例，θ相同時，只需要取絕對值更小的y值就可以滿足式（21）相同的稀疏重構結果。由上述分析可知，相比于其他模型，本文的NCFLM 懲罰因子更接近理想的L0范數，逼近程度更高，能更好地反映信號的稀疏特征。

2 模型對比試驗

2.1 試驗平臺

為驗證基于NCFLM 的電機軸承復合故障診斷方法的可行性，使用昆明理工大學旋轉機械故障綜合模擬試驗平臺對外圈和內圈軸承故障電機進行試驗驗證。圖3為試驗平臺，包括變頻調速三相異步電機（型號為101-19-01，額定轉速為3 000 r/min，最高轉速為5 000 r/min）、彈性聯軸器（型號為d14-e18+d18-e18）、磁粉制動器（額定扭矩12 N·m）、加速度傳感器（型號為JF2100）、電機控制儀和負載控制儀。故障電機右側的旋轉軸通過彈性聯軸器與磁粉制動器左側的制動器軸相連，故障電機電源線接在電機控制儀的“電機電源”孔位，磁粉制動器線纜接在負載控制儀的“磁粉制動器”孔位，加速度傳感器安裝于故障電機上的傳感器接口位置，采集振動信號并傳輸至數據采集儀中，再通過數據采集儀傳輸至電腦終端進行數據分析。

圖3 故障電機模擬試驗平臺Fig.3 Faulty motor simulation experiment platform

表1 電機軸承參數Table 1 Motor bearing parameters

2.2 基于NCFLM 模型的復合故障診斷流程

基于NCFLM 的電機軸承復合故障診斷方法的流程圖如圖4 所示，主要包括以下步驟：

圖4 基于 NCFLM 的電機軸承復合故障診斷方法流程圖Fig.4 Flow chart of motor bearing compound fault diagnosis method based on NCFLM

1）通過試驗平臺采集三相異步電機軸承復合故障的振動信號；

2）對arctan-NCTVD 模型中的懲罰函數項進行基于GMC 非凸懲罰函數的融合套索化處理，構造新的NCFLM 模型；

3）通過一系列稀疏性能指標評判NCFLM 模型與arctan-NCTVD 模型的優劣性；

4）將采集到的復合故障信號導入新模型中，并引入FBA 算法進行求解，同時約束正則化參數和凸性參數，即可得到可準確識別復合故障的稀疏字典。

2.3 結果與分析

圖5 為各模型對采集信號進行稀疏重構后的原子分布情況，為避免幅值較小的原子造成信息冗余，將幅值絕對值小于0.2 的原子定義為零原子，圖5a、圖5b 和圖5c 中的零原子數目分別為8 600、9 269 和10 125個，NCFLM 模型處理后的結果更為稀疏，其原子壓縮數目比arctan-NCTVD 增大了9.2%。NCFLM 的懲罰項在相鄰原子之間進行相似估計，融合一些特征相同的原子，并將幅值絕對值較小的原子向原點壓縮，在一定程度上減少了信息量較少的原子數目，降低運算復雜度。圖5a和圖5b 中的模型原子過于稠密，原子復雜度較大，難以滿足解非凸優化的稀疏性要求。由圖6 中3 種模型的收斂曲線對比可知，NCFLM 模型收斂速度快于其他模型，在函數值收斂時，arctan-NCTVD 和NCFLM 的初始函數值分別為10 000 和9 297，收斂函數值分別為1 482 和174，NCFLM 的收斂速度比arctan-NCTVD 提高了6.6%。

圖5 經不同模型稀疏重構后的原子分布圖Fig.5 Atomic distribution diagram after sparse reconstruction by different models

圖6 不同模型的收斂曲線Fig.6 Convergence curves of different models

圖7 為2 種模型的重構誤差M隨正則化參數λ1和λ2的變化曲線。隨著λ1從0 增加到2，arctan-NCTVD的M值從0.154 增大到0.903，NCFLM的M值從0 緩慢增加到0.683 且一直比前者小；arctan-NCTVD 沒有λ2項因此其M值保持在0.45，隨著λ2從0 增加到2，NCFLM的M值從0.165 緩慢減小到0.043，NCFLM 的重構誤差更小。圖8 為2 種模型的稀疏度k和正則化參數λ1和λ2的變化關系。信號的稀疏度是指信號向量中非0 元素的個數，隨著λ1從0 增加到2，arctan-NCTVD 的稀疏度從32 768 緩慢下降到7 277，而NCFLM 從32 768 下降到1 822，NCFLM 比arctan-NCTVD 需要更少的元素來進行稀疏表示。同理，λ2相同時也可得到相同的結論。在重構誤差為0～1 時，分別計算圖7a、圖7b在λ1從0到2和λ2從0 到0.8 時各模型重構誤差的變化值，結果取平均值，可得NCFLM 的重構準確度比arctan-NCTVD 提高了10%；同上，在稀疏度方面NCFLM 的性能比arctan-NCTVD 提高了46.2%，由上可知，NCFLM 的稀疏性能更優。

圖7 不同模型的重構誤差與正則化參數的關系對比Fig.7 Comparison of relationship between reconstruction errors and regularization parameters of different models

圖8 不同模型的稀疏度與正則化參數的關系對比Fig.8 Comparison of the relationship between sparsity and regularization parameters of different modelss

綜上所述，NCFLM 的原子壓縮數目、收斂速度、重構準確度、稀疏度和L0范數逼近程度分別比arctan-NCTVD 提高了9.2%、6.6%、10%、46.2%和15%，因此NCFLM 模型更具優越性。

3 診斷結果與分析

前面已證明NCFLM 在稀疏性能指標方面比arctan-NCTVD 更具優勢，本節展示NCFLM 的最優參數選取方法和復合故障診斷結果。

3.1 遍歷尋找最優參數

圖9 為電機外內圈復合故障軸承振動信號標準化處理后得到的時域及頻域波形，可見頻譜中識別不了fo和fI，因此無法識別軸承復合故障特征頻率及其倍頻成分。

圖9 電機軸承復合故障信號波形圖Fig.9 Waveform diagram of motor bearing compound fault signal

在進行NCFLM 處理前，需要對模型進行正則化參數選取。本文采用遍歷尋參的方法來確定最優正則化參數λ1和λ2。

對圖9a 的觀測信號進行分析，試驗中發現若λ1選取較大值，會抑制沖擊成分導致結果失真，本文選取λ1范圍為[0,2]，尋參過程中步長設置為0.2，文獻[29]算法中參數λ2范圍為[0,1)，步長設置為0.1，通過相關峭度CK刻畫總體重構效果，如圖10 所示，最大相關峭度CK=10.2，此時λ1=2，λ2=0.8。

圖10 遍歷尋找最優參數過程Fig.10 Traversal to find optimal parameter procedure

3.2 復合故障診斷結果

arctan-NCTVD 模型和NCFLM 模型的外內圈復合故障結果如圖11 所示，圖11a 表明arctan-NCTVD 模型雖然可初步提取外圈故障沖擊成分，但是會淹沒內圈故障特征；并且在恢復信號特征的過程中大量衰減信號能量，從而導致故障特征不明顯。

圖11 不同模型的復合故障診斷信號頻域波形圖Fig.11 Frequency domain waveform diagram of composite fault diagnosis signal with different models

圖11b 表明NCFLM 可檢測到外圈和內圈故障特征頻率以及轉頻的調制邊頻帶，且幅值更大，噪聲更少。綜上，NCFLM 在處理軸承外圈和內圈復合故障信號時比arctan-NCTVD 模型更具有優越性。

4 結論

本文基于arctan-NCTVD 模型并借鑒融合套索模型的思想，將原模型進行GMC 套索化構造了NCFLM 模型，解決了原模型無法準確識別復合故障和稀疏性能欠佳的問題，通過對自制故障電機試驗平臺的實測信號驗證、對比和分析得到了如下有益結論：

1）NCFLM 的原子壓縮數目、收斂速度、重構準確度、稀疏度、L0范數逼近程度分別比原始arctan-NCTVD 模型提高了9.2%、6.6%、10%、46.2%和15%，驗證了NCFLM 的優越性；

2）所提的NCFLM 方法成功提取了由外圈和內圈局部損傷引起的周期性沖擊特征，驗證了本文方法的可行性和工程實用性。

NCFLM 作為一種基于信號稀疏表示的方法，其分析結果往往會受到電機軸承的時變轉速和負載的影響，定工況下的復合故障診斷方法失效，故障類型會更加難以評估。因此，如何根據變工況下復合故障演變規律以及該振動信號的時頻域特征構造出重構性能更強的稀疏分解模型和指標，并針對重構結果獲得更準確的故障識別和分類效果，這將是之后研究工作中的重點之一。