海雜波多普勒譜Hurst指數特性分析及目標檢測

董云龍，張兆祥，劉寧波，黃 勇，丁 昊

（海軍航空大學信息融合研究所，山東煙臺 264001）

0 引 言

對海面漂浮小目標進行檢測是對海探測雷達的主要任務之一，此類目標主要包括浮標、小船、水雷和飛機殘骸等，具有雷達回波微弱的特點［1-3］。基于統計理論設計的似然比檢測器實際上是一種能量檢測器，其性能極易受到信雜比（Signal-Clutter Ratio,SCR）和海雜波幅度分布類型的影響。在高分辨率、低擦地角和高海況情形下，通常存在大量海尖峰，海雜波具有明顯的非平穩、非均勻和非高斯特性，似然比檢測器無法實現漂浮小目標的有效檢測，且存在高虛警率的突出問題［4-5］。

分形特征作為一類非能量特征，能夠在一定程度上克服SCR 的影響，自提出以來就受到人們的廣泛關注［6］。為描述自然界廣泛存在的不規則幾何，1980 年，Mandelbrot 教授介紹了分形幾何的基礎［7］。海、陸、云和山的表面非常粗糙，這表明它們是分形表面。1990 年，人們證明了分形表面的散射信號仍然是分形信號［8］，這激發了分形幾何在雷達探測中的應用。1993 年，Haykin 等人首次將單尺度分形維數運用于雷達目標檢測［9］。單分形參數只能從整體上描述集合的分形特性，為此Kaplan 等人研究了分數布朗運動（Fractional Brownian Motion, FBM）的擴展自相似特性［10］，文獻［11］研究了海雜波的多重分形特性。為改善時域信號的SCR，增大海雜波和目標回波的分形特性區分度，人們研究了海雜波頻譜（本文將頻譜稱為多普勒譜）、AR 譜和分數階傅里葉變換譜的分形特性，提出了眾多變換域分形特征［12-16］，多普勒譜Hurst 指數是其中之一。多普勒譜Hurst 指數能夠從整體上描述多普勒譜的分形特性，兼顧相參積累和分形特征的優勢，具備較強的實際應用價值。然而人們對分形類特征檢測方法的研究存在兩點不足：一是沒有深入研究參數選擇、極化方式和海況因素對海雜波分形特征特性的影響，這導致分形特征很難應用于實際；二是人們往往通過蒙特卡洛仿真或非參量恒虛警（Constant False Alarm Rate,CFAR）方法確定判決門限，蒙特卡洛仿真方法確定判決門限需要計算大量數據，非參量CFAR 方法為實現恒虛警會帶來較大的檢測性能損失。

鑒于此，針對已有研究的不足，本文對海雜波多普勒譜Hurst 指數的統計特性進行研究，引入合適的CFAR 檢測器確定判決門限，以期為多普勒譜Hurst 指數的實際應用提供支撐。本文首先基于實測數據，分析參數選擇、極化方式和海況等級對海雜波多普勒譜分形特性及多普勒譜Hurst指數統計特性的影響；其次使用6 種常見的統計分布模型對實測海雜波多普勒譜Hurst 指數的分布類型進行驗證，并在此基礎上設計了一種基于多普勒譜Hurst 指數的恒虛警檢測器；最后使用實測數據驗證了所提目標檢測方法的有效性。

1 基本理論

大量文獻已經證明時域海雜波可以使用FBM模型進行建模［17］，事實上，海雜波頻譜（多普勒譜）仍具有自相似性，可當作分形集處理。本節簡要說明對海雜波頻譜（多普勒譜）進行分形特性分析的理論方法。

1.1 FBM在多普勒域的自相似性

FBM 模型可以用來建模海雜波，文獻［12］對時域FBM 模型BH(t) 的頻譜進行理論推導，得到下式：

其中時域FBM 模型BH（t）定義在時間區間（0,T1）內，t′=κt是推導時的尺度變換，FB(f)是FBM 的頻譜，κ為尺度變換系數，H為Hurst指數，表示在統計意義下相等。FBM 模型BH(t) 的功率譜滿足以下等式：

SB(f)是FBM 的功率譜。通過式（1）和式（2）可知，如果頻率尺度變為原來的1/κ，那么頻譜密度變為原來的κH+1，而功率譜密度變為原來的κ2H+1，這個尺度關系說明FBM的頻譜、功率譜密度都是頻率的冪函數，均具有統計意義上的自相似性，故可直接使用分形理論對海雜波的頻譜（多普勒譜）進行處理。統計意義上自相似性成立的尺度區間稱為無標度區間，為與時域中的無標度區間區分，本文將在頻域中自相似性成立的區間稱為頻率無標度區間。

1.2 多普勒譜Hurst指數的計算

假設高分辨率對海探測雷達，在某波束方位上發射長度為N的相干脈沖串，并在某距離單元上接收到長度為N的海雜波序列x(n),n=1,2,…,N，通過快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform, FFT）得到其多普勒譜X(k),k=1,2,…,K，將其建模為“隨機游走”模型，驗證其是否滿足以下關系：

若滿足式（3）的冪律關系，則認為多普勒譜序列是分形體。其中F(m)為配分函數；m為頻率采樣間隔，即頻率尺度；H為多普勒譜序列的Hurst 指數，即海雜波的多普勒譜Hurst指數，Hurst指數能夠從整體上描述分形特性。事實上，海雜波多普勒譜的自相似性僅存在于其頻率無標度區間內，即在此無標度區間上，海雜波多普勒譜具有分形特性。雙對數坐標系中，log2(F(m))與log2(m)在頻率無標度區間上通過直線擬合得到的斜率即為多普勒譜Hurst指數，可通過下式描述：

實際上，也可通過判斷log2(F(m))與log2(m)是否具有線性關系，判斷海雜波多普勒譜是否具有分形特性。

2 實測海雜波多普勒譜Hurst 指數統計特性分析

2.1 實測數據簡介

本文所做實驗均基于實測數據完成，實測數據來自兩個公開的數據集。一是IPIX 雷達數據集中1993 年采集的10 組數據，每組數據包含HH、VV、HV、VH 四種極化模式數據，每組數據含14 個距離單元。數據采集時，雷達工作于凝視模式，凝視時間約131 s，脈沖重復頻率（Pulse Repetition Frequency, PRF）為1 kHz，距離向分辨率為30 m，目標為金屬絲包裹的直徑1 m的漂浮小球［18］，更詳細數據介紹見表1。

表1 1993年IPIX雷達數據說明

二是海軍航空大學“雷達對海探測數據共享計劃”數據集（2020年第1期）。該數據集主要包括不同海況等級下的海雜波和目標回波數據，數據采集時，雷達主要工作于凝視模式，極化方式為HH 極化，距離向采樣率為60 MHz，雷達架高80 m，PRF 為1.6 kHz［19-20］，更詳細數據介紹見文獻［19］和表2，每個數據編號包含2 至3 組數據，本文采用序號代替相應數據編號對數據進行引用。

表2 “雷達對海探測數據共享計劃”數據介紹

2.2 海雜波多普勒譜分形特性及多普勒譜Hurst指數統計特性的影響因素

分析不同因素對海雜波多普勒譜Hurst 指數統計特性影響的同時，也需要分析不同因素對海雜波多普勒譜分形特性的影響，以確定不同條件下計算多普勒譜Hurst 指數的參數選擇規則。海雜波多普勒譜分形特性及多普勒譜Hurst 指數統計特性的影響因素眾多，本文主要研究時間序列長度（脈沖數）、FFT 的頻率點數、雷達極化方式和海況等級的影響。需要注意的是，本文分析均采用“隨機游走”模型對多普勒譜進行建模。

首先分析脈沖數對海雜波多普勒譜分形特性及多普勒譜Hurst指數統計特性的影響。FFT點數設為216，HH#26 數據在不同脈沖數下得到的典型多普勒譜配分函數如圖1所示。可知，脈沖數對頻率無標度區間存在影響，脈沖數越多，配分函數無標度區間線性程度越好。當脈沖數足夠長時（大于210），頻率無標度區間范圍始終保持在25～210；脈沖數較少時（遠小于210），頻率無標度區間范圍明顯縮小。這主要是由于脈沖數越少，頻率分辨率越差，多普勒譜配分函數的計算誤差越大導致。實際檢測過程中，為減小多普勒譜Hurst 指數的計算誤差，時間序列長度一般取210及以上。圖2 展示了脈沖數對海雜波單元和目標單元多普勒譜Hurst 指數統計分布的影響，其中數據是HH#311，FFT 點數均為216，頻率無標度區間為25～210。本文使用概率密度函數（Probability Density Function，PDF）刻畫多普勒譜Hurst指數的分布情況。顯然，隨著脈沖數的增加，海雜波多普勒譜Hurst 指數分布的收束性變好，拖尾變短，海雜波單元和目標單元提取多普勒譜Hurst 指數的整體分離程度增加。這表明虛警概率一定時，目標檢測的正確檢測概率有增大的趨勢。

圖1 脈沖數對多普勒譜分形特性影響

圖2 脈沖數對多普勒譜Hurst指數分布影響

FFT 點數對海雜波多普勒譜分形特性及多普勒譜Hurst 指數統計特性也存在影響。時間序列長度設為211，HH#311 數據在不同FFT 點數下得到的典型多普勒譜配分函數如圖3所示。可知，隨著FFT點數的增加，頻率無標度區間的范圍在逐漸增大，配分函數的線性程度無明顯變化。由于Fourier 變換是一種線性變換，FFT 點數增大，并不會明顯改變多普勒譜的自相似結構，所以頻率無標度區間范圍隨FFT 點數增大而近似線性增大，配分函數的線性程度基本不變。圖4 展示了FFT 點數對海雜波單元和目標單元多普勒譜Hurst 指數統計分布的影響，時間序列長度均為211。隨著FFT點數的增加，海雜波多普勒譜Hurst 指數分布的收束性和拖尾并無明顯變化，但海雜波單元和目標單元提取多普勒譜Hurst 指數的整體分離程度明顯增加。這表明虛警概率一定時，正確檢測概率有增大的趨勢。綜上分析可知，實際應用過程中，為提升檢測性能和便于選擇頻率無標度區間，FFT點數可固定為216，時間序列長度足夠時，頻率無標度區間基本為25～210。

圖3 FFT點數對多普勒譜分形特性影響

圖4 FFT點數對多普勒譜Hurst指數分布影響

其次分析雷達工作極化方式對海雜波多普勒譜分形特性及多普勒譜Hurst 指數統計特性的影響。時間序列長度均為211，FFT 點數為216，#311數據在4 種極化方式下得到的典型多普勒譜配分函數如圖5所示。顯然，極化方式對于海雜波多普勒譜配分函數的無標度區間無明顯影響。圖6 展示了極化方式對海雜波單元和目標單元多普勒譜Hurst 指數統計分布的影響，其中時間序列長度為211，FFT 點數為216，頻率無標度區間為25～210。可知VV 極化時，海雜波多普勒譜Hurst 指數分布的聚集性最好，拖尾最短；HV 極化和VH 極化效果基本一致，HH 極化最差。4種極化方式下，海雜波單元和目標單元提取多普勒譜Hurst 指數的整體分離程度基本相同。這表明使用多普勒譜Hurst 指數進行目標檢測時，VV 極化數據效果最佳，其次是HV和VH極化，HH極化效果最差。

圖5 極化方式對多普勒譜分形特性影響

圖6 極化方式對多普勒譜Hurst指數分布影響

以往研究已經證明海況等級對海雜波分形特性存在明顯影響［17］，海況等級對海雜波多普勒譜分形特性同樣存在影響，本文主要分析不同海況對海雜波多普勒譜分形特性及多普勒譜Hurst 指數統計特性的影響。時間序列長度均為211，FFT點數為216，2 級海況和3、4 級海況數據的典型多普勒譜配分函數如圖7 所示，其中2 級海況為數據2，3、4 級海況為數據6。顯然，2 級和3、4 級海況對應的海雜波多普勒譜配分函數的無標度區間基本相同，均為25～210。圖8 展示了海況等級對海雜波單元和目標單元多普勒譜Hurst 指數統計分布的影響。可知，海況等級越高，海雜波多普勒譜Hurst指數分布的聚集性越好，拖尾越短。一般情況下，海況等級和有效浪高越高，海面的白浪、破碎浪越多，海面粗糙度越大，海雜波多普勒譜的不規則程度增大，而Hurst 指數表征了分形集的粗糙度和不規則程度，故高海況海雜波的多普勒譜Hurst 指數整體偏小。4級海況時，海面已比較粗糙，2級海況時，仍存在較多的規則海面，故整體而言，4 級海況海雜波多普勒譜Hurst 指數的統計分布拖尾較短、聚集性更好。事實上，有效波高和海況等級越高，海面粗糙度存在變大趨勢，但并不一定更大，這與有效波高計算方法和海況等級的劃分標準有關，詳情見文獻［20］。這表明隨著海況等級和有效浪高的增加，海雜波多普勒譜Hurst 指數的統計分布具有聚集性變好、拖尾變短的趨勢。需要注意的是，這并不說明海況等級越高，海雜波單元和目標單元所提取多普勒譜Hurst 指數的整體分離程度越好，因為當海況等級足夠大時，目標單元的SCR過低，海雜波單元和目標單元提取多普勒譜Hurst指數的分離程度反而變差。

圖7 海況等級對多普勒譜分形特性影響

圖8 海況等級對多普勒譜Hurst指數分布影響

經過上述分析，可得出以下結論：當使用多普勒譜Hurst 指數進行目標檢測時，為提升檢測性能，應首選VV極化數據，其次是HV和VH極化，最差是HH 極化；時間序列長度足夠長時（一般不少于210），最佳FFT 點數為216，此時最佳頻率無標度區間為25～210；當時間序列長度遠小于210或FFT 點數變化較大時，會影響最佳頻率無標度區間范圍；海況等級在2～4 級之間變化時，不會影響上述結論。

2.3 海雜波多普勒譜Hurst指數的統計特性分析

基于表1和表2中介紹的47組實測數據，利用6 種經典統計分布模型（高斯分布、瑞利分布、韋布爾分布、對數正態分布、K分布和KK分布），本文驗證了海雜波多普勒譜Hurst指數的最佳統計分布類型，以便設計相應的恒虛警檢測器。從47組實測數據中提取海雜波單元多普勒譜Hurst指數，利用6種分布模型分別對其進行擬合，使用卡方檢驗的擬合誤差值大小判斷模型擬合適用度，得到的實驗結果如圖9 和表3 所示。其中脈沖數為210，FFT 點數為216，頻率無標度區間為25～210。

圖9 典型海雜波多普勒譜Hurst指數分布的擬合與誤差結果

表3 實測海雜波多普勒譜Hurst指數分布擬合最小誤差統計

47 組實測數據中，45 組數據的最佳分布類型是對數正態分布，只有2組數據的最佳分布類型為韋布爾分布，這說明實測海雜波多普勒譜Hurst 指數的最佳分布類型基本為對數正態分布。47 組數據包含了2～4 級海況、4 種極化方式下的數據。顯然，海況和極化方式的不同不會改變海雜波多普勒譜Hurst 指數的最佳分布類型，事實上，脈沖數的改變也不會影響最佳分布類型。

3 基于多普勒譜Hurst 指數的目標檢測方法

上文已經指出，對數正態分布是海雜波多普勒譜Hurst指數的最佳分布類型，Log-t檢測器是在形狀和尺度參數都未知的韋布爾或對數正態雜波中提供CFAR 檢測的一種準最優單脈沖檢測策略。故本文將Log-t 檢測器引入，設計基于多普勒譜Hurst指數的CFAR檢測器，檢測流程如圖10所示。

圖10 基于多普勒譜Hurst指數的目標檢測方法流程圖

其中，Log-t CFAR檢測器的檢測統計量如下：

Y0是待檢測單元提取多普勒譜Hurst 指數的對數變換值，Yi,i= 1,2,…,R是參考單元提取多普勒譜Hurst 指數的對數變換值，R表示參考單元數目。判決門限T可通過下式計算：

Pfa為提前給定的虛警概率。需要注意的是，在提取多普勒譜Hurst 指數過程中，參數設置規則如上文所述，即當脈沖數足夠（一般不少于210）、FFT 點數為216時，頻率無標度區間為25～210；當脈沖數遠小于210或FFT 點數變化較大時，需要改變頻率無標度區間。

4 檢測性能分析

使用IPIX 數據集驗證所提目標檢測方法的有效性。實驗過程中，1 024 個脈沖計算一次多普勒譜Hurst 指數，FFT 點數設為216，頻率無標度區間為25～210，虛警概率Pfa為0.001。為比較分析，本文使用文獻［21］所提三特征檢測器、時域多重分形檢測器［11］和散斑一致性因子檢測器［22］進行了對比實驗，其中提取單個特征所使用脈沖數均為1 024。檢測結果如圖11 所示，可知本文所提檢測方法在VV 極化數據中效果最佳，其次是HV 和VH 極化，HH 極化效果最差，這與上文分析結果相同。通過比較發現，4種檢測器中，本文所提檢測器在VV 極化數據中的檢測效果能達到最佳，在HV、VH 和HH 極化數據中效果不如三特征檢測器；在4 種極化數據中的檢測效果基本都優于時域多重分形檢測器和散斑一致性因子檢測器，這表明本文所提檢測方法具有較好的小目標檢測性能和穩定性。

圖11 所提檢測器與其余檢測器的檢測概率

表4 給出了4 種檢測器在#40 數據中的其他檢測結果。可知，當使用脈沖數為512 時，所提檢測器的正確檢測概率小于0.5，主要原因有兩點：一是脈沖數過少，頻率分辨率較差，多普勒譜配分函數和多普勒譜Hurst 指數計算誤差較大；二是相參積累之后的SCR 仍較低。隨著脈沖數增加，4 種檢測器的正確檢測概率均有所提升，其中分形類特征檢測器的提升比例最大；脈沖數為1 024 和2 048時，所提檢測器在VV 極化數據中的性能基本達到最佳。

表4 4種檢測器的其他檢測概率

5 結束語

本文基于實測數據，詳細分析了時間序列長度（脈沖數）、FFT 點數、極化方式和海況等級對海雜波多普勒譜分形特性及多普勒譜Hurst 指數統計特性的影響，并給出了相關結論，為多普勒譜Hurst 指數實際應用于目標檢測提供了支撐。其次，本文利用6種常用統計分布模型（高斯分布、瑞利分布、韋布爾分布、對數正態分布、K 分布和KK分布），驗證了海雜波多普勒譜Hurst 指數的最佳統計分布模型為對數正態分布，且海況等級、極化方式和脈沖數的改變基本不會影響其最佳分布類型。最后，結合多普勒譜Hurst 指數與Log-t CFAR檢測器，提出了基于多普勒譜Hurst 指數的CFAR檢測算法。實測數據測試結果表明，本文所提檢測器具有較好的小目標檢測性能和穩定性，且在VV極化數據中性能最佳。