若干特殊二面體群的正規子群包含圖的譜

霍麗君,冉 莎

(重慶理工大學 理學院, 重慶 400054)

0 引言

近幾十年來,研究代數結構上的圖一直受到了人們的廣泛關注,目前已經有許多關于由環、半群或群構造圖的重要結果,見文獻[1-6]及其參考文獻等,這在研究各種代數結構與圖的關系方面具有重要的理論研究意義。在文獻[2]中,Aksbari等首次提出了環的理想包含圖的概念,一個環R的理想包含圖是一個簡單無向圖,它的頂點集是R的非平凡的左理想,2個非平凡理想I和J鄰接當且僅當I?J或者J?I。并研究了理想包含圖的各種不變量,如圖的連通性、完備性以及直徑。與此密切相關的一個課題就是利用有限群的子群包含關系來構造圖,比如Ou等[7]對有限群的子群包含圖進行了研究,有限群的子群包含圖是一個簡單無向圖,它以有限群G的所有非平凡子群為頂點集,2個不同頂點H、K鄰接當且僅當H?K或者K?H。同時確定了相應子群包含圖是平面圖的有限冪零群,并利用特征矩陣的技巧刻畫了不動集。關于圖的譜理論的研究始于Biggs[8]的工作,是代數圖論中的一個重要研究課題,它主要研究一些與圖相關的矩陣,如鄰接矩陣、拉普拉斯矩陣、距離矩陣等的譜性質,包括其特征值、特征向量、特征多項式系數的性質等。圖譜理論在量子化學、計算機科學、通訊網絡等方面有廣泛的應用,近幾十年來該課題受到了人們的廣泛關注,其中圍繞二面體群構造的圖及其相關譜問題研究見文獻[9-13],這使得圖譜理論的研究內容得以不斷豐富與發展。

主要對特殊二面體群研究了非平凡正規子群包含圖In(D2n)的相關譜,得到了該圖的鄰接譜、拉普拉斯譜以及擬拉普拉斯譜等。

1 預備知識

定義1有限群的正規子群包含圖是一個簡單無向圖,它以有限群G的所有非平凡正規子群為頂點集,2個不同頂點H、K鄰接當且僅當H?K或者K?H,記為In(G)。

設圖Γ=(V,E),其中V=V(Γ)={v1,v2,…,vn}是圖Γ的頂點集,E=E(Γ)={e1,e2,…,em}是圖Γ的邊集。設u,v∈V,若u,v相鄰,記為u～v或者uv∈E;若它們不相鄰,記為uv或者uv?E。所有與頂點v相關聯的邊的總數稱為v的度數,記為dv。n階圖Γ的鄰接矩陣記為A(Γ)=(aij),是一個方陣,其中aij=1,如果vivj∈E(Γ);aij=0,如果vivj?E(Γ)。顯然,A(Γ)是一個對稱矩陣。n階圖Γ的度矩陣記為D(Γ)=(dij),其中dij=dvi,如果vi=vj;dij=0,如果vi≠vj。易知Γ的度矩陣是一個n階對角矩陣。

定義2[14]設圖Γ的鄰接矩陣為A(Γ),度矩陣為D(Γ),稱L(Γ)=A(Γ)-D(Γ)為圖Γ的拉普拉斯矩陣;稱Q(Γ)=A(Γ)+D(Γ)為擬拉普拉斯矩陣。

易知Q(Γ)是實對稱正定(或半正定)非負矩陣,其特征值都是非負的。

定義3[15]設B為n階對稱矩陣,det(λI-B)為B的特征多項式,λi(i=1,2,…,n)是其特征值,B的譜是指其所有不同的特征值以及它們(作為特征多項式的根)的重數,將B的譜記為:

式中:mi(λi)表示λi的重數;稱max{|λi|,i=1,2,…,n}為B的譜半徑。

一個圖Γ的鄰接譜(拉普拉斯譜、擬拉普拉斯譜)即為其對應的鄰接矩陣A(Γ)(L(Γ)、Q(Γ))的譜,Γ的鄰接譜(拉普拉斯譜、擬拉普拉斯譜)半徑即為其對應矩陣A(Γ)(L(Γ)、Q(Γ))的特征值絕對值的最大值。

一個正n邊形的對稱群稱為二面體群,用生成元和定義關系表示為D2n=〈a,b|an=b2=1,bab=a-1〉。易知,當n為奇數時,二面體群D2n的非平凡正規子群為〈ar〉,其中r|n;n為偶數時,二面體群D2n的非平凡正規子群為〈ar〉,其中r|n,以及〈a2,ab〉,〈a2,b〉。

所使用的符號是標準的,見文獻[14-15]。為方便下文進行描述和計算,給出以下符號說明:| |n表示一個n階行列式;ri、cj分別表示行列式的第i行和第j列;ri+krj(ci+kcj)表示行列式的第j行(列)的各元素乘以k加到第i行(列)。

2 D2pα的正規子群包含圖In(D2pα)的譜

本節考慮當n=pα時,D2pα的正規子群包含圖In(D2pα)的譜,這里p是奇素數,且α(≥2)是一個整數。

定理1In(D2pα)的譜為:

式中:A1為In(D2pα)的鄰接矩陣,且其譜半徑為α-1。

證明由于二面體群In(D2pα)的非平凡正規子群為〈a〉,〈a2〉,〈a22〉,…,〈a2α-1〉,將圖的頂點仍按照此順序進行標號,可得In(D2pα)的鄰接矩陣為如下的α階矩陣:

容易計算鄰接矩陣的特征多項式為:

故其鄰接譜為:

由于α≥2,其譜半徑為α-1。

定理2In(D2pα)的拉普拉斯譜為:

式中:L1為In(D2pα)的拉普拉斯矩陣,且其拉普拉斯譜半徑為α。

證明由定理1的證明,易得In(D2pα)的度矩陣為如下的α階對角矩陣:

D(In(D2pα))=diag(α-1,…,α-1)

從而該二面體群的正規子群包含圖In(D2pα)的拉普拉斯矩陣為如下α階矩陣:

容易計算拉普拉斯矩陣的特征多項式為:

定理3In(D2pα)的擬拉普拉斯譜為

式中:Q1為In(D2pα)的擬拉普拉斯矩陣,且其擬拉普拉斯譜半徑為2α-2。

證明根據定理1的證明及擬拉普拉斯矩陣的定義,該二面體群的正規子群包含圖In(D2pα)的拉普拉斯矩陣為如下α階矩陣:

則其擬拉普拉斯矩陣的特征多項式為:

故其擬拉普拉斯譜為:

譜半徑為2α-2。

3 D2α+1的正規子群包含圖In(D2α+1)的譜

本節考慮當n=2α時,二面體群D2n=D2α+1的正規子群包含圖In(D2α+1)的譜,其中α(≥2)是一個整數。

定理4In(D2α+1)的譜為:

證明由于二面體群D2α+1的非平凡正規子群有〈a〉,〈a2〉,〈a22〉,…,〈a2α-1〉,〈a2,ab〉,〈a2,b〉,故其正規子群包含圖In(D2α+1)由以上頂點組成,并將圖仍按照此順序進行標號,得In(D2α+1)的鄰接矩陣為如下α+2階矩陣:

其鄰接矩陣特征多項式為:

將以上2個行列式每行都加到最后一行,可得

λ2(λ+1)α-2[λ(λ-α+2)-3(α-1)]

故In(D2α+1)的譜為:

定理5In(D2α+1)的拉普拉斯譜為:

式中:L2為In(D2α+1)的拉普拉斯矩陣,且其拉普拉斯譜半徑為α+2。

證明根據定理4的證明,易知In(D2α+1)的度矩陣為如下α+2階對角矩陣:

D(In(D2α+1))=diag(α-1,α+1,…,α+1,α-1,α-1)

則該二面體群的正規子群包含圖的拉普拉斯矩陣為如下α+2階矩陣:

則其拉普拉斯矩陣的特征多項式為:

故In(D2α+1)的拉普拉斯譜為:

顯然譜半徑為α+2。

定理6In(D2α+1)的擬拉普拉斯譜為:

證明由上面定理的證明及擬拉普拉斯矩陣的定義,In(D2α+1)的拉普拉斯矩陣為如下α+2階矩陣:

則Q2的特征多項式為:

(α-1-λ)2(α-λ)α-2(λ2-(3α-2)λ+2(α2-3α+2))

故In(D2α+1)的擬拉普拉斯譜為:

4 結論

利用二面體群的非平凡的正規子群及其之間的包含關系構造了正規子群包含圖In(D2n),通過計算特殊二面體群的正規子群包含圖的相關矩陣所描述的鄰接譜及擬拉普拉斯譜參數揭示了圖的結構性質與其各類譜之間的聯系,進一步豐富了有限群與圖的研究內容,為深入研究有限群的子群包含圖的譜理論奠定了一定的理論基礎。