Huber損失下線性模型的序列相關檢驗

譚祥勇,胡天英,劉 鋒

(1.江西財經大學 統計與數據科學學院, 南昌 330013;2.重慶理工大學 理學院, 重慶 400054)

0 引言

進行序列分析時,隨機誤差的潛在相關,不僅會導致模型估計的偏誤,而且相關的統計推斷也會失效,所以檢驗誤差是否存在相關性是非常重要的。目前,模型序列誤差的相關性檢驗是在最小二乘估計(OLS)的基礎上,假設隨機誤差與模型中的參數相關,在實際應用中也可以采用多種方法來檢驗相關性,例如使用經典的線性回歸方法、圖示法和相關系數檢驗法等。Durbin等[1]最早提出DW方法檢驗序列相關,但這只能用來檢驗一階自相關,無法對高階相關序列進行檢驗。近些年來,劉鋒等[2]基于經驗似然方法提出了高階相關序列檢驗方法,譚祥勇等[3]、Liu等[4]和劉鋒等[5]基于此方法進一步將其延伸至其他模型,研究了部分線性回歸模型、EV模型、變系數模型的序列相關性問題。

對于誤差滿足正態分布的序列而言,相關系數檢驗法可以取得很好的效果,因為正態分布是一個非常經典的模型;而對于非正態分布或異常值存在的序列而言,經典的相關系數檢驗法就失去了優勢,此時如果仍然采用常規的相關系數檢驗法進行序列分析,那么得到的結果將會失之偏頗。眾所周知,厚尾和非對稱現象常常出現在各個科學領域[6],經濟和金融業尤為突出。Fama[7]發現金融資產數據會出現厚尾特征,并對其進行了建模預測;肖慶憲[8]討論了金融數據正態性假設的檢驗問題,并給出了厚尾金融數據的計量分析方法。在此情形下,對于非正態誤差項而言,使用標準正態分布下的相關系數檢驗法不能準確地判斷出各個誤差項對檢驗結果所產生的影響。Smith[9]提出logistic分布比正態分布更能表現股票收益率的厚尾特征,隨后Peiro[10]驗證了這一結論,之后也有很多研究者通過不同的分布去表現非正態序列的數據特征。因此對序列的隨機誤差為非對稱分布的相關性檢驗十分重要,這也將進一步改善序列數據分析的研究。

在模型的參數估計中,通常會采用L2損失函數,但是這些傳統的損失函數在誤差為厚尾和非對稱的情況下,并不能滿足模型假設。由于經典的線性回歸估計方法存在一定的局限性,因此需要尋求一種新的方法來代替它。厚尾和非對稱分布的誤差中,異常值有較高的出現頻率,將不再符合常用的損失函數條件,而Huber損失對異常值的敏感度不高,且能結合L1和L2損失函數的優點,適合用來對厚尾和非對稱誤差進行參數估計[11-12]。

鑒于上述情況,針對傳統序列相關檢驗方法在檢驗存在厚尾和非對稱序列時表現不佳的問題,本文基于秩相關系數提出檢驗統計量,同時利用Huber損失函數對模型參數進行估計。該統計量既能檢驗一般序列相關,又能檢驗具有厚尾和非對稱特征的序列相關,且弱化了誤差矩的假設。最后,在原假設下,給出了檢驗統計量的漸近分布及其證明過程,模擬結果表明,提出的檢驗方法具有良好的表現。

剩余部分的內容安排如下:第1節在線性模型下構造了基于Huber損失估計的檢驗統計量,同時給出了其漸近分布;第2節考慮了檢驗統計量在不同模型和檢驗方法下的模擬情況;第3節對結果進行了分析探討;第4節給出了主要定理的證明。

1 方法及主要結果

假設觀測數據(Yi,Xi),1≤i≤n是來自模型(1)的一組樣本:

(1)

其中,Yi為響應變量,Xi為p維的隨機向量,β=(β1,β2,…,βp)T為未知參數向量,εi為隨機誤差。假定隨機誤差項滿足如下k階自回歸AR(k)序列相關形式:

εi=a1εi-1+a2εi-2+…+akεi-k+εi

(2)

或者k階移動平均MA(k)序列相關形式:

εi=a1ei-1+a2ei-2+…+akei-k+ei

(3)

H0:a=0?H1:a≠0

(4)

令vj=εiεi+j,V=(v1,v2,…,vk),則由文獻[2]可知,檢驗模型(4)中誤差序列是否存在相關性等價于檢驗如下問題:

H0:E(V)=0?H1:E(V)≠0

(5)

(6)

為檢驗問題(5),基于秩相關系數(6)提出如下檢驗統計量:

(7)

(8)

(9)

其中

(10)

且τ→∞。

為此,借鑒文獻[14]的思想,結合檢驗統計量HubT(基于Huber損失的檢驗統計量)和LsT(基于L2損失的檢驗統計量),得到檢驗統計量CCT。其構造過程如下:

令p1、p2分別為檢驗統計量HubT和LsT所得到的p值。令

(11)

(C4)ei的概率密度函數fe(x)有上界。

注1條件(C1)表明,所提檢驗統計量能夠處理厚尾、非對稱的誤差,條件(C2)可由文獻[13]中的定理1得到,條件(C3)、(C4)都是一般的常規性假設。

定理1在零假設H0和條件(C1)—(C4)下,當n→∞時,有

(12)

2 模擬研究

本節用蒙特卡洛模擬說明提出的方法的有限樣本性質,數據從下面模型中產生:

(13)

對于誤差εi,考慮4種相關性結構:

1)AR(1)模型:εi=ρεi-1+ei;

2)AR(2)模型:εi=a1εi-1+a2εi-2+ei;

3)MA(1)模型:εi=ρei-1+ei;

4)MA(2)模型:εi=a1ei-1+a2ei-2+ei。

對于誤差ei,考慮以下3種情況:

1) 非對稱誤差:ei～logN(0,4)-E(logN(0,4));

2) 高斯誤差:ei～N(0,1);

3) 厚尾誤差:ei～t(1.5)。

模擬中,取顯著性水平為α=0.05,樣本量取100、300和500時,各做2 000次模擬,得到圖1、圖2和表1。

表1 AR(1)、MA(1)、AR(2)、MA(2)的size值

圖1 AR(1)、MA(1)結構下功效圖

圖2 AR(2)、MA(2)結構下功效圖

3 分析結果及結論

在金融數據分析中,常會遇到數據呈現出厚尾或非對稱特征的情況,這種數據特征會給模型相關性檢驗帶來很大困擾,因為傳統的線性模型假設數據服從正態分布,這顯然不能適應金融市場或其他存在此類數據分布的行業所存在的一些特殊情況。

為解決厚尾或非對稱情況下的序列相關問題,結合秩相關系數和Huber損失,提出了一種新的檢驗方法。數值模擬結果表明,隨著樣本量的增加或相關性的增強,提出的HubT和CCT統計量的檢驗功效都能夠逐漸接近于1,即其具有較高的檢驗功效。與此同時,還將提出的HubT和CCT統計量與常用的LsT統計量進行了比較。圖1、圖2的結果顯示,提出的HubT和CCT統計量在正態誤差下表現類似于LsT統計量,說明2種統計量幾乎沒有效率損失。表1的結果也表明在原假設下,3種統計量的表現十分接近,但是當數據誤差具有厚尾或非對稱特征時,提出的HubT和CCT檢驗統計量表現明顯優于LsT,特別是在樣本量較小的情況下更為明顯。綜上,提出的檢驗統計量在厚尾和非對稱分布的序列相關性檢驗問題上表現良好。

4 引理和定理的證明

引理1在原假設下,

(14)

證明見文獻[13]中的定理3.1。

(15)

令

(16)

和

(17)

(18)

(19)

再結合文獻[16]的定理5.1得到:

(20)

顯然,由條件(C3)、(C4)可得

(21)