驅動學生積極探索的情境創設
——以“方差”的教學為例

房山區教師進修學校 張 勃

房山區良鄉第六中學 高榮濤

北京教育學院 伍春蘭

《義務教育數學課程標準（2022年版）》對核心素養從以下三方面做出了界定：“會用數學的眼光觀察現實世界”“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”。怎樣地學習，才能使學生面對“現實世界”，“會用數學的眼光觀察”“會用數學的思維思考”“會用數學的語言表達”？本文認為：創設“學生熟悉的生活與社會情境，以及符合學生認知發展規律的數學與科技情境”，讓學生在四類情境中發現提出問題，進而分析解決實際問題，不僅可以實現數學知識的建構，數學思維的發展，同時還可以實現核心素養的培育。基于以上分析，本文以義務教育教科書（北京出版社）數學八年級下冊“方差”的教學內容為載體，通過創設真實情境，調動學生參與學習的積極性。

一、教學背景分析

（一）內容分析

在統計學中，反映數據“集中趨勢”有平均數、中位數、眾數，刻畫數據“離散程度”的常用統計量有極差、方差、標準差等。

教材將一組數據x1，x2，x3，…，xn的“方差”s2界定為，這組數據與其平均數的差的平方數的平均值，即

教材采用“波動”“大小”的形象語言，幫助學生理解“離散”“程度”的含義。即由“波動”定性體會“離散”，由“大小”定量體會“程度”。教材指出“方差”描述了“數據波動的大小”“方差的值越小，數據波動越小、越整齊”。

“方差”的命名可以顧名思義，“方差”的公式表達也不難理解，通過公式再借助計算器計算“方差”更是易如反掌。如果將教學重點放在對“方差”概念的了解及公式的應用上，則喪失了學生做思維體操的一次機會。因此，創設適切的情境，探究方差概念定義的必要性和合理性將是學習的重點，經歷“用數學的眼光觀察”“用數學的思維思考”“用數學的語言表達”的過程。

（二）學情分析

知識儲備方面：學生在此之前學習了“數據的集中趨勢”，能用平均數、中位數、眾數去解決生活中的統計問題，具備了一定的數據處理能力。但對于“數據的離散程度”缺乏認知，所以研究數據波動的必要性需要學生充分體會。

認知能力方面：學生之前經歷過統計活動，有一定的活動經驗，具備了一定的合作與交流的能力。因此，教師應發揮學生的主體作用，適時引導，調動學生的積極性，讓學生主動探究，在合作中獲得新知。

信息素養方面：學生在生活中能熟練使用手機、電腦等電子信息設備，對于信息技術有很強的學習興趣和動手能力，但由于學生首次使用圖形計算器，因此還需要教師的指導以及同伴幫助。

（三）教學目標

（1）通過對兩組數據的平均數相同的實際問題的解決，探究方差概念定義的必要性和合理性，體會方差的統計意義，會用方差比較兩組數據的波動大小；

（2）能借助圖形計算器繪制折線圖（散點圖）、計算方差，解決簡單實際問題；

（3）感受統計與實際生活密切聯系，增強基于數據表達現實問題的意識，經歷數據分析觀念指導解決實際問題的全過程。

（四）教學重難點

重點：探究方差概念定義的必要性和合理性。

難點：探究方差的合理性。

二、教學過程

（一）創設情境，引出問題

活動1：創設情境

李琳同學準備在足球、籃球、排球三個球類項目中選擇其中一項作為體育學業水平考試，你們幫助李琳同學設計一個能表現自己優勢項目的方案。

生1：統計李琳同學在三類球幾次練習測試中的成績，然后看平均值。

生2：如果平均值一樣，這個方案就不行了，還要看眾數、中位數，還要比較最大、最小值等。

師：同學們說得都有道理，下面展示一下李琳同學統計的三類球10次練習測試中的成績（滿分都是10分）。根據她的練習成績，請你幫助她分析一下應如何選擇更科學？

表1

學生1：通過估算發現排球10次成績普遍偏低，因此先排除了排球。

學生2：籃球得10分的次數最多，說明她籃球水平更高，選籃球。

學生3：我們可以比較一下各組數據的平均分，看看哪類球水平較高。

師生活動：學生暢所欲言，從不同的角度表達自己的觀點，對于學生的各種觀點都予以積極的肯定。學生通過計算發現：足球和籃球的平均分相同。進而產生了困惑：足球和籃球水平相當，無法做出判斷。

到底怎樣選擇才更合理呢？在學生的困惑中開始了本節課的學習。

設計意圖：情境創設，意在激發學生的學習興趣，引起認識沖突，讓學生對新知識產生強烈的好奇心和求知欲望，使學生“疑中生奇”，從而達到“疑中生趣”的效果，變被動學習為主動探究。足球和籃球的平均水平相同，利用刻畫數據集中趨勢的統計量已經很難對這個問題進行決策，學生產生疑問和困惑，這不僅激起學生探究的欲望，同時也讓學生初步感受到研究數據波動性的必要性。

（二）合作探究，形成概念

活動2：動手操作，觀察分析

指導學生利用圖形計算器分別畫出足球和籃球成績的折線圖。

圖1

師生活動：指導學生利用圖形進行繪制折線圖，學生借助折線圖進行直觀觀察和對比。

師：請你進行對比觀察，你能從折線圖中發現什么信息？你可以從哪些角度分析這些數據來幫助李琳做出適當的選擇？

學生4：我發現兩組數據的變化范圍不同，籃球的最高分是10分，最低成績是5分，相差了5分，而足球最高分和最低分相差了6分，籃球成績的變化范圍更小，選擇籃球合適。

學生5：我反對，變化范圍只考慮兩個極端數值，沒有考慮到另外8次成績，這樣的判斷“以偏概全”，不夠全面。

師生活動：針對學生提出的質疑，引導學生再次借助折線圖進行深入分析、小組討論。

學生6：我發現兩組數據的波動程度不同，籃球成績的波動更大，足球的成績波動更小、成績更穩定。

教師追問：你們是如何看出波動的大與小的？波動大小跟誰比？

學生7：和平均數比。

師生活動：指導學生用圖形計算器畫出代表平均數的直線，學生再次借助折線圖從“形”的角度比較兩組數據波動情況，直觀感知了數據波動的大小。

學生8：表示籃球10次成績的點到平均數水平線的距離遠的次數更多，而足球偏離平均數距離的遠的次數更少、更趨于平均數，波動更小，更穩定。

設計意圖：初中生喜歡動手操作，學習信息技術速度快，課堂上利用圖形計算器自己繪制散點圖、折線圖，不僅能激發學生學習的興趣，讓每個學生都主動參與其中，還能讓學生獲得感性認識和直觀感受，為學生自主探究、發現問題、提出猜想、驗證猜想提供了空間。

（三）學習新概念

活動3：合作探究，學習新概念

師：我們從“形”的角度可以比較數據的波動，那能不能從“數量”上找到一個量來反映一組數據波動的大小呢？

師生活動：學生獨立思考、小組討論后，進行分享交流，教師予以點撥和肯定。

學生9：用每個數據與平均數差的總和來比較波動大小。

學生10：這個方法不行，因為每個數據與平均數差有正有負，相加后就會出現抵消。

教師追問：怎么解決正負抵消的問題？

學生11：距離可以用絕對值來表示，可以求出每個數據與平均數差的絕對值之和。

學生12：要避免正負抵消的問題，還可以求每個數據與平均數差的平方和……

師生活動：教師充分肯定學生的想法。在統計學中，到底用一個什么樣的量來描述數據的波動大小呢？學生帶著這個問題自主閱讀教科書、獨立尋找答案，然后進行小組交流，最終明確方差的概念、計算公式和統計含義。

教師追問：為什么方差公式中要求“差的平方和”的均值？

學生13：因為當數據的數量較多時，即使波動小它的平方和也會大于數據少波動大那組平方和。當數據個數不一致時，無法進行客觀比較數據波動大小，所以要比較個數不同的兩組數據的波動，就要求它們的平均差距。

設計意圖：建構主義認為，知識不是通過老師傳授的，而是學習者在一定的情境中，借助他人（包括教師和學習伙伴）的幫助，利用必要的學習資料，通過主動建構的方式獲得的。對于方差概念和計算公式的得出，在課堂上留給學生充足的時間和空間，讓學生獨立思考，合作探究，交流互動，暢所欲言。老師耐心傾聽、及時捕捉課堂生成的動態資源，尤其是發現學生思維中萌發的新知識和新問題，給予肯定和鼓勵，培養學生樂于發現問題和提出問題，積極探索、大膽實踐的精神。

（四）解決問題

活動4：回頭看，解決問題

通過計算比較，李琳應該初步選擇________作為體育學業水平考試項目，推斷的理由：________________。

師生活動：學生利用圖形計算器計算出兩組數據的方差，在數量上進行比較，最終幫李琳做出了合理決策。進而總結：當平均數相差很小或近似相等時，可以用方差來比較兩組數據的離散程度。方差越小、波動越小，越穩定。

設計意圖：解決情境問題，利用圖形計算器求出兩組數據的方差，進行對比，做出決策，直觀感受數據可以反映現實生活，進一步發展學生的數據分析觀念和應用意識，同時體會現代信息技術處理數據的優勢和便捷。

（五）歸納總結，提升能力

活動5：歸納總結

本節課你有什么收獲？你還學習過哪些統計量？統計含義分別是什么？

設計意圖：開放式的課堂小結可以鍛煉學生的歸納能力和表達能力，在回顧極差和方差的概念和統計意義的同時，明晰各統計量適用的生活情境，幫助學生建構知識體系。

（六）作業設計，關注收獲

（1）以2022年北京冬奧會為契機，某學校開展以“弘揚奧林匹克精神，感受冰雪運動魅力”為主題的冰雪嘉年華實踐課程。為了解學生掌握滑雪技巧及滑雪水平等情況，教練分別對甲、乙兩名學生10次訓練的結果進行了統計，其中每次訓練的成績分別為5分，4分，3分，2分，1分五檔。統計結果如圖所示，下列結論正確的是（ ）。

圖2

（2）某區學生在“垃圾分類知識”線上答題活動中，甲、乙、丙、丁四所學校參加線上答題的人數相同，四所學校答題所得分數的平均數和方差的數值如表2所示。

表2

則這四所學校成績發揮最穩定的是______。

（3）你還能再發現并提出一個新問題，利用方差等統計量予以解決？

學生活動：以上三個問題任選一個完成。

設計意圖：采取分層作業和開放性作業形式，為不同層面的孩子服務，讓不同的學生得到不同的收獲。

三、反思

（一）創設有效情境，喚醒學生問題意識

本節課以和學生密切相關的體育學業水平考試選考為情境，先讓學生發現決策的基礎是必要的統計數據，再呈現利用集中趨勢的統計量無法做出合理決策的統計數據，于是研究數據離散程度成了必要。教學實踐表明，從學生身邊的實際問題出發，創設認知沖突的問題情境，能激發學生的好奇心和求知欲。

（二）注重信息技術與數學教學融合

《義務教育數學課程標準（2022版）》提出：“在實際問題解決中，創設合理的信息化學習環境，提升學生的探究熱情，開闊學生的視野，激發學生的想象力，提高學生的信息素養。”本節課借助信息技術探究數據的波動，利用圖形計算器繪制折線圖，直觀呈現出數據的波動情況，再用圖形計算器進行數據處理并做出決策，在這個過程中，不僅發揮了信息技術的優勢，為學生發現、提出問題提供了更大的空間，助益學生數形結合地積極探索，也幫助學生更好地建立了數據觀念和應用意識。

總之，現實生活是數學的源泉，數學問題是現實生活數學化的結果。有意義的學習一定要把數學內容放在真實且有興趣的情境中，讓學生在問題情境中會用數學的思維方法去觀察、分析、解決生活問題，從而體會數學的價值。因此，創設有效的情境不僅可以提升課堂的有效性，真正幫助學生減負，還能促進學生核心素養的提升。